九年级上册第二十一章一元二次方程的解法(2)PPT课件(人教版)

有两个不相 等的实数根
知识讲解
2 . 不解方程，判别方程4y2+1=4y的根的情况.
解：4y2-4y+1=0
∵a=4，b=-4,c=1
∴△= (-4)2 -4×4×1=0
一
所以，方程有两个相等的实数根。
般
1、化为一般式，确定a、b、c的值.
步
2、计算 的值，确定 的符号.
骤
3、判别根的情况，得出结论.
x1=2，x2=－1.
复习导入
1.我们已经学过了哪几种解一元二次方程的方法?
直接开平方法 配方法 公式法 2.什么叫分解因式?
x2=a (a≥0) (x+m)2=n (n≥0)
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.
新知探究
所以，原方程有两个不相等的实数根。
复习导入
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0 (a 0)
∵a≠0,，当b2-4ac≥0
b
b2 4ac
即
x 2a
2a
特别提醒
b b2 4ac x
2a
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac . 2a
一元二次方程 的求根公式
17 0
所以，方程有两个不相等的实数根
小结
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判 别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根 当Δ<0时，方程没有实数根
课堂检测
1.不解方程，判别关于x的方程 x2 2 2kx k 2 0
方程有两个不等的实数根
知识讲解
例2 用公式法解下列方程：
(2)2x2 2 2x 1 0
解： a 2,b 2 2,c 1
b2 4ac (2 2)2 4 21 0
x (2 2) 0 2 2 2
22
42
x1 x2
2 2
知识讲解
例2 用公式法解下列方程:
(3) 5x2 3x x 1
巩固练习
不解方程，判别下列方程的根的情况：
(1) 1 x2 3x 8； 4
(1) 解：1 x2 3x 8 0 4
a 1 ,b 3, c 8 4
(3)2 4 1 (8) 4
(2)5 t2 1 7t 0.
（2）解： 整理得：5t2-7t+5=0 ∵a=5，b=-7，c=5 ∴△= (-7)2 -4×5×5=-51<0 ∴方程没有实数根
b2 4ac 02 41 3 12.
x 0 12 2 3 ,
2 1
2
x1 3 x2= 3
=
-
巩固练习
(4) x2x 4 5 8x
解：化为一般式 2x2 4x 5 0 . a 2,b 4,c 5.
b2 4ac 42 4 25 56.
x1
2 2
14 , x2
2 2
例3 解下列方程：
1 x x 2 x 2 0;
2 5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：（1）因式分解，得
(x－2)(x＋1)=0.
于是得
x－2＝0或x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
(2)移项、合并同类项，得
4x2 1 0.
因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一
元二次方程最多有两个实数根。
新知探究
（1）b2-4ac>0 方程有两个不等的实数根
x1 b
b2 4ac 2a
x2 b
b2 4ac 2a
（2）b2-4ac=0
方程有两个相等的实数根
x1
x2
b 2a
（3）b2-4ac<0
方程无实数根
解：方程可化为: 5x2 4x 1 0
a 5,b 4,c 1
b2 4ac (4)2 4 5 (1) 360
x (4) 36 4 6
25
10
1
x1
1, x2
5
知识讲解
例2 用公式法解下列方程:
(4) x2 17 8x 解：方程可化为: x2 8x 17 0
a 1,b 8,c 17
新知探究
方程有两个相等的实数根
2x＋1=0或2x－1=0,
我们已经学过了哪几种解一元二次方程的方法?
例2 用公式法解下列方程： 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根
方程有两个不等的实数根 2、计算 的值，确定 的符号.
的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式
，当
方程有两个相等的实数根
x1
x2
b 2a
（3）b2-4ac<0
方程无实数根
新知探究
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判 别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac
即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） 反之，
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根
新知探究
用配方法解一元二次方程
移项，得 ax2+bx=-c 二次项系数化为1，得 配方，得
即 因为a≠0,所以4a2>0.式子b2-4ac的值有以下三种情况：
新知探究
（1）b2-4ac>0 方程有两个不等的实数根
x1 b
b2 4ac 2a
x2 b
b2 4ac 2a
（2）b2-4ac=0
解： b2-4ac=(-2) 2-4×1×m=4-4m≥0
∴m≤1
注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两 个不等实根或两个相等实根的两种情况。
课堂检测
2、关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实根，则k的取值范围是 （ ）
∴k＞-1
x1=2，x2=－1.
例2 用公式法解下2列、方程关： 于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实根，
根方据程题 有意两个相( 等r +的5实)2数×根π解=2r:2π∵. b2 -4ac=(-2)2-4k(-1)=4+4k＞0
a=1, b= -4 ,c= -7
∴△= (-4)2 -4×4×1=0 方程有两个相等的实数根
∴k＞-1
又∵k≠0 ∴ k＞-1且k≠0
移项，得 ax2+bx=-c 不解方程，判别关于x的方程 不解方程，判别下列方程的根的情况：
b2 4ac (8)2 4117 40 ∴方程无实数根。
巩固练习
用公式法解下列方程：
（1）3x2 6x 2 0
解： a 3, b 6, c 2.
b2 4ac 62 4 3 2 60.
x 6 60 6 2 15 3 15 ,
6
6
3
x1
3 15 3
2x＋1=0或2x－1=0,
于是得
x1
1 2
,
x2
1 2

巩固练习
用分解因式法解下列方程
1. x2 (5 2)x 5 2 0 ; 2. x2 ( 3 5)x 15 0
3.x2 (3 2)x 18 0;
4. (4x 2)2 x(2x 1)
5.3x(x 2) 5(x 2);
新知探究
由上可知，一元二次方程 ax2 bx c 0 （a 0）.
的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，
可以先将方程化为一般形式 ax2 bx c 0
，当
b2 4ac 0
将a，b，c 代入式子
时， x b b2 4ac
2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利
(1)x2 -时4，x -7=0
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.
解：a=1, b= -4 ,c= -7 不解方程，判别方程4y2+1=4y的根的情况.
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方
程最多有两个实数根。
∆=b2 - 4ac =（-4）2 - 4×1×(-7)=44>0
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方
程式一最子般多 b地2有，-4两式ac个子的实b值2数有-4根a以c。叫下做三一种元情方二况次：程方程a2x2y+b2x+c=20根 的4判y别式，通2(常x用2 希腊1)字母x“Δ”表0示它2，x即2 Δ=3b2x-4a1c 0
方程有两个不等的实数根
Δ的值 例2 用公式法解下列方程:
2、计算 的值，确定 的符号. 用配方法解一元二次方程
0 0
15 0
17 0
即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
根的 例2 用公式法解下列方程：
x1=2，x2=－1.
情况 当方程有两个不相等的实数根时，Δ>0
有两个相等 的实数根
没有实数根
, x2
3 15 3
.
巩固练习
（2） 4x2 6x 0 解： a 4,b 6, c 0.
b2 4ac 62 4 40 36.
6
x
36 6 6 ,
24
8
x1
0,
x2
3 2
.
巩固练习
（3） x2 4x 8 4x 11
解：化为一般式 x2 3 0 .
a 1, b 0, c 3.
一元二次方程解法（2）
判别式，配方法 因式分解法
复习导入
用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把常数项移到方程右边； （2）方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的 解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
当Δ<0时，方程没有实数根
当方程有两个不相等的实数根时，Δ>0 当方程有两个相等的实数根时，Δ=0
当方程没有实数根时，Δ<0
知识讲解
方 所程以有，两 方个 程不 有等 两的 个实 相数 等1.根的按实数要根求。 完成下列表格：
用配方法解一元二次方程的步骤：
方程有两个相等的实数根
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac
的根的情况.
分析：a 1 b 2 2k c k 2
解： 2 2k 2 41 k2
8k 2 4k 2 4k 2 k2 0,4k2 0，即 0,
方程有两个实数根.
课堂检测
2. 不解方程，判别关于x的方程 a2x2 ax 1 0 a 0
的根的情况.
(a)2 4a2 (1) 5a2,且a 0 解：5a2 0,即 0
14 .
小结
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出a、b、c的值。
2、求出b2-4ac的值， 注意：当 b2 4ac 0 时，方程无解。
b b2 4ac 3、代入求根公式 : x
2a
4、写出方程的解：x1、x2
课堂检测
1、关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个实 根，则m的取值范围是______________ .
k>-1 B.
方例程2 有用两公个式相法等解的下实则列数方根k程的： 取值范围是 （ ）
因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
例2 用公式法解下列方程:
2、求出b2-4ac的值，A.k>-1
B. k>-1 且k≠ 0 C. k<1
D. k<1 且k≠0
二次项系数化为1，得
解: ∵ b2 -4ac=(-2)2-4k(-1)=4+4k＞0
所以，方程有两个相等的实数根。 解：4y2-4y+1=0
∆=b2 - 4ac =（-4）2 - 4×1×(-7)=44>0
∴k＞-1
解: ∵ b2 -4ac=(-2)2-4k(-1)=4+4k＞0
x 式子b2-4ac的值有以下三种情况：
(4)
44 4 2 11 2
11
当方程有两个不相等的实数根时，Δ>0
参考答案：
1.x1 5; x2 2.
2.x1 5; x2 3.
3.x1 3; x2 2.
4.x1
1 2
;
x2
4 7
.
5.x1
2;
x2
5. 3
知识归纳
配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求 根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要 先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0， 再分别使各一次因式等于0. 配方法、公式法适用 于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二 次方程．总之，解一元二次方程的基本思路是：将 二次方程化为一次方程，即降次．
21
2
解： b2-4ac=(-2) 2-4×1×m=4-4m≥0
即: x 2 11, x 2 11 一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac
移项，得 ax2+bx=-c
1
2
用配方法解一元二次方程
我们已经学过了哪几种解一元二次方程的方法?