湖南省三湘名校教育联盟2018届高三第三次联考数学(文)试卷(含答案)

湖南省三湘名校教育联盟2018届高三第三次联考
数学（文）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{}{}0,1,2,3,4,360A B x x ==->，则A B ⋂=（ ） A ．{}3 B ．{}4 C ．{}3,4 D ．{}2,3,4
2.已知i 为虚数单位，若()()12i z i i +-=+，则复数z =（ ） A ．
2 B ．5 C ．5 D ．10 3.已知以原点O 为圆心，1为半径的圆以及函数3y x =的图象如图所示，则向圆内任意投掷一粒小米（视为质点），该小米落入阴影部分的概率为（ ）
A ．
12 B ．14 C ．16 D ．18
4.已知3,6P 为双曲线2
2
2:1y C x b
-=上一点，则点P 到双曲线C 的渐近线的距离为（ ）
A 36+
B 36+或36-
C 36-
D 36+63
- 5.已知等差数列{}n a 的各项都为整数，且1345,1a a a =-=-，则1210a a a +++=L （ ） A ．70 B ．58 C ．51 D ．40
6.函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则（ ）
A.()f x 在,313ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上是增函数
B.()f x 在,213ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上是增函数
C.()f x 在27,36ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上是増函数
D.()f x 在,212ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上是增函数
7.设非零向量,a b r r 满足()
a a
b ⊥+r r r ，且2b a =r r
，则向量a r 与b r 的夹角为（ ）
A ．
4π B ．3π C ．2π D ．34
π 8.执行如图所示的程序框图，当7t =时，输出的S 值为（ ）
A ．3
B ．0
C 3
D 39. 如图所示，格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．205π+
B ．245π
C ．)2051π+
D ．)
2451π+
10.已知点(),P x y 满足004080
x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+-≥⎪⎪+-≤⎩，直线y kx =与圆22
1x y +=交于,Q R 两点，则PQ PR ⋅u u u r u u u r 的最小值
为（ ）
A ．21
B ．4
C ．7
D ．4211. 已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交拋物线于,A B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为
E ，当A 点坐标为()03,y 时，AE
F ∆为正三角形，则此时OAB ∆的面积为（ ） A 43323 D 3
12.已知函数()()()()()22,,1ln 1f x kx x g x x h x x x =+==++， 若当[]1,x e ∈时，不等式组
()()()()2f x g x f x x h x ⎧≥⎪⎨
-≤⎪⎩
恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[]1,2- B ．[]2,1e - C ．[]2,2e - D ．[]1,2e --
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知1cos 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
． 14. 已知定义在R 上的函数()f x 满足:①函数()f x 的图象的对称中心为()1,0，且对称轴为1x =-；
②当[]
1,1
x∈-时，()
(]
[]
2
1,0,1
1,1,0
x x
f x
x x
⎧-∈
=⎨
-∈-
⎪⎩
，则
7
2
f
⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
．
15.已知正四棱锥P ABCD
-
的内切球的表面积为4π，且底面ABCD是边长为6的正方形，则正四棱锥P ABCD
-的体积是．
16.已知首项为2的数列{}n a的前n项和n S满足：()()*
1
2210
n n
S a n N
+
-+=∈，记
()()()*
1
2311
2
n
n
a
f n n n N
-
=-+-∈，当()
f n取得最大值时，n的值为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 如图，,,
a b c分别为ABC
∆中角,,
A B C的对边，
1
,cos
37
ABC ADC
π
∠=∠=，8,2
c CD
==.
（1）求a的值；
（2）求ADC
∆的外接圆的半径R.
18. 《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：
（1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程$$
y bx a
=+
$；
（2）预测该路口 9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；
（3）若从表中3、4月份分别抽取4人和2人，然后再从中任选2 人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率.
参考公式：1
2
21
n
i i
i n i i x y
nxy
b
x nx
==-=-∑∑$()()
(
)
1
2
1
n
i
i i n
i i x
x y y x x
==--=
-∑∑，$a
y bx =-$. 19.如图所示，底面ABCD 为菱形，60,//ADC EF CD ∠=︒,224CD EF AE ===,EA ⊥平面ABCD .
（1）设AC 与BD 交于点O ，求证：//OF 平面AED ； （2）求多面体ABCDEF 的体积.
20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3，,4a M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭为焦点是1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
的抛物线上一点，
H 为直线y a =-上任一点，,A B 分别为椭圆C 的上，下顶点，且,,A B H 三点的连线可以构成三角形.
21.已知函数 ()()2122,0,2x f x xe m x x m ⎛⎫
=++∈ ⎪⎝⎭
.
（1）若1
4
m =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；
（2）若函数()()442x g x f x e m mx =-++，记函数()g x 在()0,+∞上的最小值为A ，求证：
22e A -<<-.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭O 为原点，极轴为x 轴的非负
半轴建立平面直角坐标系，曲线1C 的参数方程为12cos 22sin x y ϕ
ϕ
=-+⎧⎨=-+⎩（ϕ为参数).
（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线1C 的普通方程；
（2）若曲线2C 为曲线1C 关于直线l 的对称曲线，点,A B 分别为曲线1C 、曲线2C 上的动点，点P 坐
标为()2,2，求AP BP +的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()12,f x x x m m R =++--∈. （1）若5m =，求不等式()0f x >的解集；
（2）若对于任意x R ∈，不等式()2f x ≥恒成立，求m 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: CDBBB 6-10: ADDDC 11、12：AC
二、填空题
13.
7
8
14. 15. 27 16. 8
三、解答题
17. （1）∵1
cos 7
ADC ∠=
,
∴sin sin ADC ADB ∠=∠∴(
)11sin sin 27BAD ADC ABC ∠=∠-∠=
-=
在ABD ∆中，由正弦定理得sin 3sin c BAD
BD ADB
⋅∠==∠，∴325a =+=.
（2）在ABC ∆
中，7b =. 在ADC ∆
中，12sin b R ADC =
⋅=
∠18. （1）由表中数据知，3,100x y ==，
∴1
2
21
n
i i
i n
i
i x y
nxy b
x
nx
==-=-∑∑$141515008.55545
-=
=--，$125.5a y bx =-=$， ∴所求回归直线方程为$
8.5125.5y x =-+. （2）由（1）知，令9x =，则$
8.59125.549y =-⨯+=人. （3）设3月份抽取的4位驾驶员编号分别为1234,,,a a a a ，4月份的驾驶员编号分別为12,b b .从这6人
中任选两人包含以下基本事件
()()()()()()()()()()()1213141112232421223431,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a a a a a b a b a a a b ,
()()()()32414212,,,,,,,a b a b a b b b ,共15个基本事件；其中两个恰好来自同一月份的包含7个基本事件，
∴所求概率为715
P =
. 19. （1）取AD 的中点M ，连接OM EM 、.由题意知，O 为AC 中点，∴//
1
2
OM CD =
， 又//12EF CD =，∴//
OM EF =
，则四边形OMEF 为平行四边形， ∴//OF EM ，∴//OF 平面ADE .
（2）过点O 作//GH AD ,分别交,AB CD 于点,G H ,连接FG ,FH .取BC 的中点P ，连接AP ，交GH 于点Q .由题意知，四边形ADHG GHCB 、为平行四边形. ∵ABCD 为菱形，60, 4ADC CD ∠=︒=, ∴ADC ABC ∆∆、为等边三角形， ∴2
134432ADHG GHCB ABCD ABC S S S S ==
==⨯=. ∵ABC ∆为等边三角形，P 为BC 的中点，∴AP BC ⊥, ∵EA ⊥平面ABCD , ∴EA AP ⊥,∴AP ⊥平面EAD ，
∴11
24234322EAD FGH EAD V S AQ -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=.
∵EA ⊥平面ABCD ，1
2
EF AB AG =
=,∴FG ⊥平面ABCD , ∴1834323F GHCB V -=⨯⨯=，∴83203
43ABCDEF V =+=
.
20. （1
）由题意知，222224c a
a b a b c ⎧=
⎪⎪⎪
=⨯⎨⎪⎪=+⎪⎩
，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，
∴椭圆C 的方程为2
214
x y +=.
（2）设点()(),20H m m -≠，易知()()0,1,0,1A B -， ∴直线HA 的方程为31y x m =-
+，直线HB 的方程为1
1y x m
=--. 联立22311
4y x m x y ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22362410x x m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∴222
2436,3636D D m m x y m m -==++， 冋理可得2
22
84,44E E m m x y m m --==
++， ∴直线DE 的斜率为212
16m k m
-=，
∴直线DE 的方程为222241284164m m m y x m m m --⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭，即2121
162m y x m -=-， ∴直线DE 过定点10,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭.
21.（1）由题意知，()()21224x f x xe x x =++，∴()()1
2212
x x f x e xe x '=+++， ∴()502f '=
，()00f =，则所求切线方程为5
2
y x =，即520x y -=. （2）由题意知，()()
22444x x g x xe m x x e m =++-+， ∴()()()()()224222222x x x g x e x e m x x e m x '=+-++=-++。

令()()h x g x '=，∴()220x h x xe m '=+>，则()g x '在()0,+∞上单调递增， 又()()0420,160g m g m ''=-<=>，则存在()0,1t ∈使得()0g t '=成立， ∵()0g t '=，∴()12
t
t e m t -=-
+.
当()0,x t ∈时，()0g t '<，当(),x t ∈+∞时，()0g t '>， ∴()()()()()
2
2min 2422t t g x g t t e m t e t t ==-++=-+-.
令()()
22t h t e t t =-+-，则()()
210t h t e t t '=---<， ∵01t <<，∴()()()10h h t h <<，∴22e A -<<-.
22.（1
）∵sin 4πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
cos sin θθ+=
即cos sin 4ρθρθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为40x y +-=； ∵12cos 22sin x y ϕϕ
=-+⎧⎨=-+⎩，∴曲线1C 的普通方程为()()22
124x y +++=. （2） ∵点P 在直线4x y +=上，根据对称性，AP 的最小值与BP 的最小值相等， 曲线1C 是以()1,2--为圆心，半径2r =的圆. ∴
1min 23AP PC r =-=，
则AP BP +的最小值为236⨯=.
23.（1）令()21,1123,1221,2x x g x x x x x x -+≤-⎧⎪
=++-=-<≤⎨⎪->⎩
.
当5m =时，()0f x >等价于1215x x ≤-⎧⎨-+>⎩或1235x -<≤⎧⎨>⎩或2
215x x >⎧⎨->⎩
，
解得2x <-或∅或3x >，
∴不等式() 0f x >的解集为()(),23,-∞-⋃+∞. （2）由题意知，122m x x ≤++--在R 上恒成立， 又()()1221221x x x x ++--≥+---=， ∴1m ≤，即m 的取值范围是(],1-∞.。