高中数学人教B版必修4：双基限时练(31份打包)双基限时

双基限时练(二十三)
基 础 强 化
1．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝3，则a 2＋a ·b ＝( ) A ．10 B.10 C ．7
D. 49
解析 a 2＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |cos60°＝4＋2×3×12＝7. 答案 C
2．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝2，则|c |＝( )
A ．1
B ．2
C ．4
D. 5
解析 ∵c ＝－(a ＋b )，∴c 2＝a 2＋b 2＋2a ·b . ∵a·b ＝0，∴c 2＝5，即|c |＝ 5.故选D. 答案 D
3．已知向量m ，n 的夹角为π
6，且|m |＝3，|n |＝2，则|m －n |( ) A ．4 B ．3 C ．2
D ．1
解析 |m －n |2＝m 2－2m ·n ＋n 2 ＝3－2×3×2×32＋4 ＝1， ∴|m －n |＝1. 答案 D
4．设a ，b ，c 是任意三个非零向量且互不共线，下列各式正确的个数
是( )
①(a ·b )2＝a 2·b 2； ②a·b a 2＝b a
； ③(a ·b )·c －(a ·c )·b ＝0； ④|a ·b |＝|a |·|b |. A ．0 B ．1 C ．2
D ．4
解析 ①中错误地迁移了实数的乘方运算，事实上，由a·b ＝|a ||b |cos θ得(a·b )2＝(|a ||b |cos θ)2＝|a |2|b |2cos 2θ＝a 2b 2cos 2θ，其中θ＝〈a ，b 〉，只有当cos 2θ＝1，即a ∥b 时(a ·b )2＝a 2·b 2才成立，而当cos 2θ≠1时，a 2·b 2cos 2θ<a 2·b 2，即(a ·b )2
<a 2
·b 2
，故①错；②中运用了实数中的约分，而向量b
a
是没有意义的，
故②错；③错用了实数乘法中的结合律，由于b 与c 是不共线的向量，故③错；④运用了实数中绝对值的意义，导致错误，由a 与b 的数量积两边加绝对值，得|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|，只有当θ＝0或θ＝π时，|a ·b |＝|a |·|b |才成立，故④错．
答案 A
5．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°
D ．150°
解析 ∵(2a ＋b )·b ＝0，∴2a ·b ＋b 2＝0. ∴2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＋|b |2＝0. ∵|a |＝|b |，∴cos 〈a ，b 〉＝－1
2.
∴〈a ，b 〉＝120°. 答案 C
6．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )
A ．三个内角的角平分线的交点
B ．三条边的垂直平分线的交点
C ．三条中线的交点
D ．三条高的交点
解析 由OB →·OC →＝OC →·OA →，∴OC →⊥AB →
. 同理OB →⊥AC →，OA →⊥BC →， ∴O 是△ABC 高的交点． 答案 D
7．已知a ，b 满足|b |＝2，a 与b 夹角为60°，则b 在a 上的投影是________． 解析 b 在a 上的投影为|b |cos 〈a ，b 〉＝2×cos60°＝1. 答案 1
8．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________.
解析 b ·c ＝b ·[t a ＋(1－t )b ]＝t a ·b ＋(1－t )b 2
＝12t ＋1－t ＝1－12t ＝0，解
得t ＝2.
答案 2
能 力 提 升
9．在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC →＝a ，CA →
＝b ，则a ·b ＝________.
解析 a ·b ＝1×1×cos120°＝－12. 答案 －12
10．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝5，|c |＝7.是否存在实数μ，使μ a ＋b 与a －2b 垂直？
解 若(μ a ＋b )⊥(a －2b )， 则(μ a ＋b )·(a －2b )＝0， ∴μ a 2－2b 2－2μ a ·b ＋a ·b ＝0. 又∵a ＋b ＋c ＝0，c ＝－a －b ， 则|c |2＝|a ＋b |2＝9＋25＋2a ·b ＝49， ∴a ·b ＝152.
∴9μ－2×25－2μ×152＋152＝0. ∴μ＝－85
12.
∴存在μ＝－85
12，使得μ a ＋b 与a －2b 垂直． 11．已知|a |＝4，|b |＝3，且(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；
(3)若AB →＝b ，AC →
＝a ，作△ABC ，求△ABC 的面积． 解析 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，
∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.
∴a ·b ＝－6，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.
∴θ＝2π3.
(2)|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16－12＋9＝13.
(3)S △ABC ＝12|AB →||AC →
|sin A ＝12×3×4×sin 2π
3＝3 3.
12．已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.
(1)求证：(a －b )⊥c ；
(2)若|k a ＋b ＋c |>1(k ∈R )，求k 的取值范围． 解析 (1)证明：∵a·b ＝a·c ＝b·c
＝1×1×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝－1
2， ∴(a －b )·c ＝a ·c －b ·c ＝0. ∴(a －b )⊥c .
(2)因为|k a ＋b ＋c |>1， 所以(k a ＋b ＋c )2>1，
即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2b ·c >1. 所以k 2＋1＋1－k －k －1>1. 所以k 2－2k >0.
解得k <0或k >2.
所以实数k 的取值范围为k <0或k >2.
品 味 高 考
13．已知向量AB →与AC →的夹角120°，有|AB →|＝3，|AC →|＝2，若AP →＝λAB →
＋AC →，且AP →⊥BC →
，则实数λ的值为______________．
解析 ∵BC →＝AC →－AB →，由AP →⊥BC →，得(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →
)＝0，∴(λ－1)AB →·AC →＋AC →2
－λAB →2＝0，即(λ－1)×3×2×⎝
⎛⎭
⎪⎫－12＋4－9λ＝0，∴λ＝712.
答案 7
12。