高考数学(文)大一轮复习习题 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 word版含答案

第四章⎪
⎪
⎪
平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节平面向量的概念及其线性运算
1．向量的有关概念 名称 定义
备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小
叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量 非零向量a 的 单位向量为±
a |a |
平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做
共线向量)
0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大
小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2．向量的线性运算
向量运算
定义 法则 (或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
(1)交换律：
a ＋
b ＝b ＋a ；
(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋
c )
平行四边形法则
减法
求a 与b 的相反向量－b
的和的运算叫做a 与b
的差
三角
形法则 a －b ＝a ＋
(－b )
数乘
求实数λ与向量a 的积
的运算
(1)|λa |＝|λ||a |； (2)当λ＞0时，λa
的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，
λa 的方向与a 的
方向相反；当λ＝0
时，λa ＝0
λ(μ a )＝
(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μ
a ； λ(a ＋
b )＝λa ＋λb
向量a (a≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa ．
1．下列四个命题中，正确的命题是( ) A ．若a ∥b ，则a ＝b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若|a |＝|b |，则a ∥b D ．若a ＝b ，则|a |＝|b |
答案：D
2．(教材习题改编)化简：
(1)( AB ―→＋MB ―→)＋BO ―→＋OM ―→
＝________． (2) NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→
＝________． 答案：(1)AB ―→
(2)0
3．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________． 答案：－13
1．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．
2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．
1．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB ―→－CB ―→＋CD ―→
|＝________． 解析：|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝|AB ―→＋BC ―→＋CD ―→|＝|AD ―→
|＝2． 答案：2
2．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的________条件．
解析：若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q ． 若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线， 即a ＝λb ，且λ>0，故q ⇒/ p ． ∴p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要
考点一 平面向量的有关概念
基础送分型考点——自主练透
1．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若
a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0．假命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3．
2．(易错题)给出下列命题： ①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；
②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→
是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；
③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ． 其中正确命题的序号是________．
解析：①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ．
②正确．∵AB ―→＝DC ―→，∴|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→
， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形，
则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，因此，AB ―→＝DC ―→．
③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．
④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①②． 答案：①②
向量有关概念的5个关键点
(1)向量：方向、长度．
(2)非零共线向量：方向相同或相反． (3)单位向量：长度是一个单位长度． (4)零向量：方向没有限制，长度是0．
(5)相等相量：方向相同且长度相等．如“题组练透”第2题易混淆有关概念． 考点二 向量的线性运算基础送分型考点——自主练透
1．(2017·武汉调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→
等于( )
A ．OM ―→
B ．2OM ―→
C ．3OM ―→
D ．4OM ―→
解析：选D 因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OM ―→
，OB ―→＋OD ―→＝2OM ―→，所以OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→＝4OM ―→．
2．(2017·唐山统考)在等腰梯形ABCD 中，AB ―→＝－2CD ―→，M 为BC 的中点，则AM ―→
＝( ) A ．12AB ―→＋12AD ―→ B ．34AB ―→＋12AD ―→
C ．34AB ―→＋14
AD ―→ D ．12AB ―→＋34
AD ―→
解析：选B 因为AB ―→＝－2CD ―→，所以AB ―→＝2DC ―→．又M 是BC 的中点，所以AM ―→＝12(AB
―→
＋AC ―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋AD ―→＋12 AB ―→ ＝34
AB ―→＋12AD ―→
．
3．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23
BC ．若DE ―→＝λ1AB ―→
＋
λ2AC ―→
(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
解析：DE ―→＝DB ―→＋BE ―→＝12AB ―→＋23BC ―→＝12AB ―→＋23(BA ―→＋AC ―→)＝－16AB ―→＋23
AC ―→
，所以
λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12
．
答案：1
2
1．平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求． 考点三 共线向量定理的应用重点保分型考点——师生共研
设两个非零向量a 与b 不共线，
(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→
＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；
(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 同向．
解：(1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→
＝3a －3b ， ∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB ―→． ∴AB ―→，BD ―→
共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵ka ＋b 与a ＋kb 同向，
∴存在实数λ(λ>0)，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )，
即ka ＋b ＝λa ＋λkb ．∴(k －λ)a ＝(λk －1)b ． ∵a ，b 是不共线的两个非零向量，
⎩⎪⎨⎪⎧
k －λ＝0，λk －1＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
k ＝1，
λ＝1
或⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝－1，
λ＝－1，
又∵λ>0，∴k ＝1．
共线向量定理的3个应用
(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB ―→＝λAC ―→
，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．
如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ―→＝23AD ―→，AB
―→
＝a ，AC ―→
＝b ．
(1)用a ，b 表示向量AD ―→，AE ―→，AF ―→，BE ―→，BF ―→
； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解：(1)延长AD 到G ， 使AD ―→＝12
AG ―→，
连接BG ，CG ，得到▱ABGC ， 所以AG ―→
＝a ＋b ， AD ―→＝12AG ―→＝1
2(a ＋b )，
AE ―→＝23AD ―→＝1
3(a ＋b )，
AF ―→＝12AC ―→＝1
2
b ，
BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝1
3(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，
BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝1
2b －a ＝12(b －2a )．
(2)证明：由(1)可知BE ―→＝23
BF ―→
，
又因为BE ―→，BF ―→
有公共点B ， 所以B ，E ，F 三点共线．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若AB ―→＋AD ―→＝λAO ―→
，则λ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4
D ．6
解析：选B 根据向量加法的运算法则可知，AB ―→＋AD ―→＝AC ―→＝2AO ―→
，故λ＝2． 2．在△ABC 中，AD ―→＝2DC ―→，BA ―→＝a ，BD ―→＝b ，BC ―→
＝c ，则下列等式成立的是( ) A ．c ＝2b －a B ．c ＝2a －b C ．c ＝32a －1
2
b
D ．c ＝32b －1
2
a
解析：选D 依题意得BD ―→－BA ―→＝2(BC ―→－BD ―→
)， 即BC ―→＝32BD ―→－12BA ―→＝3
2b －12
a ．
3．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→
＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )
A ．矩形
B ．平行四边形
C ．梯形
D ．以上都不对
解析：选C 由已知，得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC ―→，故AD ―→
∥BC ―→．又因为AB ―→与CD ―→
不平行，所以四边形ABCD 是梯形．
4．(2017·扬州模拟)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ―→＝12NC ―→
，P 是BN 上一点，若
AP ―→＝m AB ―→＋29
AC ―→
，则实数m 的值是________．
解析：如图，因为AN ―→＝12NC ―→，P 是BN ―→上一点．所以AN ―→＝13AC ―→
，
AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→＝m AB ―→＋23AN ―→
，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝
1，则m ＝1
3
．
答案：1
3
5．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则DC ―→＝________，BC ―→
＝________．(用a ，b 表示)
解析：如图，DC ―→＝AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝b －a ，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝－OA ―→－OB ―→
＝－a －b ．
答案：b －a －a －b
二保高考，全练题型做到高考达标
1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ―→＝a ，AD ―→
＝b, 则BE ―→
等于( )
A ．1
2b －a B ．1
2a －b C ．－1
2
a ＋b
D ．1
2
b ＋a 解析：选C BE ―→＝BA ―→＋AD ―→＋12DC ―→
＝－a ＋b ＋12a ＝b －12
a ，故选C ．
2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )
A ．1
B ．－12
C ．1或－1
2
D ．－1或－1
2
解析：选B 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝kd (k ＜0)，于是λa ＋b ＝
k []a ＋2λ－1b ．
整理得λa ＋b ＝ka ＋(2λk －k )b ．
由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨
⎪⎧
λ＝k ，
2λk －k ＝1，
整理得2λ2
－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12．
又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－1
2．
3．下列四个结论：
①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝0；③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→
＝0；④NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→
＝0，
其中一定正确的结论个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选C ①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝AC ―→＋CA ―→＝0，①正确；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→
＝AB ―→＋MO ―→＋OM ―→＝AB ―→，②错；③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DC ―→＝CB ―→＋BC ―→＝0，③正确；④NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝NP ―→＋PN ―→
＝0，④正确．故①③④正确．
4．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC ―→＝2BD ―→，CE ―→＝2EA ―→
，AF ―→＝2FB ―→，则AD ―→＋BE ―→＋CF ―→与BC ―→
( )
A ．反向平行
B ．同向平行
C ．互相垂直
D ．既不平行也不垂直
解析：选A 由题意得AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋13BC ―→
，
BE ―→＝BA ―→＋AE ―→＝BA ―→＋13AC ―→，
CF ―→＝CB ―→＋BF ―→＝CB ―→＋13
BA ―→，
因此AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝CB ―→＋13(BC ―→＋AC ―→－AB ―→)
＝CB ―→＋23BC ―→＝－13
BC ―→
，
故AD ―→＋BE ―→＋CF ―→与BC ―→
反向平行．
5．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA ―→＋OB ―→＋2OC ―→
＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析：选B ∵D 为AB 的中点， 则OD ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，
又OA ―→＋OB ―→＋2OC ―→
＝0，
∴OD ―→＝－OC ―→
，∴O 为CD 的中点， 又∵D 为AB 中点， ∴S △AOC ＝12S △ADC ＝1
4
S △ABC ，
则
S △ABC
S △AOC
＝4． 6．在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，M 为BC 的中点，则MN ―→
＝________(用
a ，
b 表示)．
解析：由AN ―→＝3NC ―→，得AN ―→＝34AC ―→＝34(a ＋b )，AM ―→＝a ＋12b ，所以MN ―→＝AN ―→－AM ―→
＝
34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b ．
答案：－14a ＋1
4
b
7．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC ―→2＝16，|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→
|，则|AM ―→
|＝________．
解析：由|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|可知，AB ―→⊥AC ―→
， 则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线， 因此，|AM ―→|＝12|BC ―→
|＝2．
答案：2
8．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ―→＝a ，CA ―→
＝b ，给出下列命题：①AD ―→＝12a －b ；②BE ―→＝a ＋12b ；③CF ―→＝－12a ＋12
b ；④AD ―→＋BE ―→＋CF ―→
＝0．
其中正确命题的个数为________．
解析：BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，AD ―→＝12CB ―→＋AC ―→
＝－12a －b ，故①错；
BE ―→＝BC ―→＋12CA ―→
＝a ＋12
b ，故②正确；
CF ―→＝12(CB ―→＋CA ―→)＝1
2(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；
AD ―→＋BE ―→＋CF ―→
＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，故④正确．
∴正确命题为②③④． 答案：3
9．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，试用a ，b 表示AD ―→，AG ―→
．
解：AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝1
2a ＋12
b ．
AG ―→＝AB ―→＋BG ―→＝AB ―→＋23BE ―→＝AB ―→＋13(BA ―→＋BC ―→)
＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→
) ＝13AB ―→＋13AC ―→ ＝13a ＋13
b ． 10．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→
＝2e 1－
e 2．
(1)求证：A ，B ，D 三点共线；
(2)若BF ―→
＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．
解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→
＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB ―→
＝2e 1－8e 2， ∴AB ―→＝2BD ―→．
又∵AB ―→与BD ―→
有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD ―→
＝e 1－4e 2，
∵BF ―→
＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF ―→＝λBD ―→
(λ∈R)， 即3e 1－ke 2＝λe 1－4λe 2，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
λ＝3，－k ＝－4λ.
解得k ＝12．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→
，则μ的取值范围是________．
解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ―→＝2DC ―→
． ∵点E 在线段CD 上， ∴DE ―→＝λDC ―→
(0≤λ≤1)． ∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→，
又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλ
DE ―→，
∴
2μ
λ＝1，即μ＝λ
2
．∵0≤λ≤1， ∴0≤μ≤12
．
即μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12． 答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12 2．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→
(m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1． 证明：(1)若m ＋n ＝1， 则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m )OB ―→ ＝OB ―→＋m (OA ―→－OB ―→)， ∴OP ―→－OB ―→＝m (OA ―→－OB ―→)， 即BP ―→＝m BA ―→，∴BP ―→与BA ―→
共线． 又∵BP ―→与BA ―→
有公共点B ， ∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线， 则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→
， ∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)． 又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→．
故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→， 即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→
＝0． ∵O ，A ，B 不共线，∴OA ―→，OB ―→
不共线， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，
∴m ＋n ＝1．
第二节
平面向量的基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．
其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则
a ＋
b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，
λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 2
1．
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→
＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝
x 2－x 1
2
＋y 2－y 1
2
．
3．平面向量共线的坐标表示
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．
1．已知a ＝(4,2)，b ＝(－6，m )，若a ∥b ，则m 的值为______． 答案：－3
2．(教材习题改编)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则3a ＋4b ＝________． 答案：(－6,19)
3．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b ．
解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b ． 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，
所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2．
由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨
⎪⎧
m －n ＝1，
2m ＋n ＝1，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝2
3，n ＝－1
3.
答案：23 －1
3
1．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．
2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1
y 2
，因为x 2，y 2
有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0．
1．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________． 答案：0
2．(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．
解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
2m ＋n ＝9，
m －2n ＝－8，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3．
答案：－3
考点一 平面向量基本定理及其应用基础送分型考点——自主练透
1．如图，在三角形ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则AO ―→
＝( )
A ．12a ＋1
2b B ．12a ＋13b C ．14a ＋12
b D ．12a ＋14
b 解析：选D ∵在三角形ABC 中，
BE 是AC 边上的中线，
∴AE ―→＝12AC ―→．
∵O 是BE 边的中点，
∴AO ―→＝12(AB ―→＋AE ―→)＝12AB ―→＋14AC ―→＝12a ＋1
4
b ．
2．(易错题)如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作▱OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CD ―→
，
用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→
．
解：∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→
＝a －b ， BM ―→＝16BA ―→＝1
6a －16b ，
∴OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝16a ＋56b ．
∵OD ―→
＝a ＋b ， ∴ON ―→＝OC ―→＋13CD ―→
＝12OD ―→＋16OD ―→ ＝23OD ―→＝2
3a ＋23
b ， ∴MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝23a ＋23b －16a －5
6b ＝12a －16b ．
综上，OM ―→＝16a ＋56b ，ON ―→＝23a ＋23b ，MN ―→＝1
2a －16
b ．
用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理，如“题组练透”第2题．
考点二 平面向量的坐标运算
基础送分型考点——自主练透
1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4)
D ．(－3，－4)
解析：选A 由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b ＝1
2
(－6,8)＝(－3,4)，故选A ．
2．已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ―→
＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(－3,6) C ．(6,2)
D ．(－2,0)
解析：选A MN ―→
＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 设N (x ，y )，则MN ―→
＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
x －5＝－3，y ＋6＝6，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝0.
3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→
＝
3c ，CN ―→
＝－2b ，
(1)求3a ＋b －3c ；
(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→
的坐标．
解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝－1，n ＝－1.
(3)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→
＝3c ， ∴OM ―→＝3c ＋OC ―→
＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．
又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→
＝－2b ，
∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→
＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ―→
＝(9，－18)．
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 考点三 平面向量共线的坐标表示重点保分型考点——师生共研
已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．
(1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线；
(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→
＝a ＋mb ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解：(1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，
∴ka －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，
a ＋2
b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，
∵ka －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－1
2
．
(2)AB ―→
＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC ―→
＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0， ∴m ＝32
．
向量共线的充要条件
(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)；
(2)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))．当涉及向量或点的坐标问题
时一般利用(2)比较方便．
1．已知向量OA ―→＝(k,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→
＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则
k 的值是( )
A ．－23
B ．43
C ．12
D ．13
解析：选A AB ―→＝OB ―→－OA ―→
＝(4－k ，－7)， AC ―→＝OC ―→－OA ―→
＝(－2k ，－2)． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→，AC ―→
共线， ∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )， 解得k ＝－2
3
．
2．(2017·贵阳监测)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )∥(m －n )，则
λ＝________．
解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，又(m ＋n )∥(m －n )，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0．
答案：0
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，若AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BD ―→
＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)
D ．(2,4)
解析：选B 由题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝BC ―→－AB ―→＝(AC ―→－AB ―→)－AB ―→＝AC ―→－2AB ―→＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．
2．已知A (－1，－1)，B (m ，m ＋2)，C (2,5)三点共线，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选A AB ―→
＝(m ，m ＋2)－(－1，－1)＝(m ＋1，m ＋3)， AC ―→
＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥AC ―→
，
∴3(m ＋3)－6(m ＋1)＝0， ∴m ＝1．故选A ．
3．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→
，且BP ―→＝2PA ―→
，则( )
A ．x ＝23，y ＝1
3
B ．x ＝13，y ＝2
3
C ．x ＝14，y ＝3
4
D ．x ＝34，y ＝1
4
解析：选A 由题意知OP ―→＝OB ―→＋BP ―→，又BP ―→＝2PA ―→，所以OP ―→＝OB ―→＋23BA ―→＝OB
―→
＋23(OA ―→－OB ―→)＝23OA ―→＋13OB ―→
，所以x ＝23，y ＝13
． 4．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝________．
解析：因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得cos 2θ＝1
2
，所以cos
θ＝±
22，又∵θ为锐角，∴θ＝π
4
． 答案：
π
4
5．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ―→＝2PC ―→，点Q 是AC 的中点，若 PA ―→＝(4,3)，PQ ―→
＝(1,5)，则BC ―→
＝________．
解析：AQ ―→―→＝PQ ―→－PA ―→＝(－3,2)， ∴AC ―→＝2AQ ―→
＝(－6,4)． PC ―→＝PA ―→＋AC ―→
＝(－2,7)， ∴BC ―→＝3PC ―→
＝(－6,21)． 答案：(－6,21)
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12)
B ．(23,12)
C ．(7,0)
D ．(－7,0)
解析：选A 由题意可得3a －2b ＋c ＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨
⎪⎧
23＋x ＝0，
12＋y ＝0，
解
得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝－23，y ＝－12，
所以c ＝(－23，－12)．
2．已知向量a ，b 不共线，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向
D ．k ＝－1且c 与d 反向
解析：选D 由题意可得c 与d 共线，则存在实数λ，使得c ＝λd ，即⎩⎪⎨⎪
⎧
k ＝λ，1＝－λ，
解得k ＝－1．c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d ，故c 与d 反向．
3．在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(1,2)，a －1
2b ＝(3,1)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b )
∥c ，则x ＝( )
A ．－2
B ．－4
C ．－3
D ．－1
解析：选D ∵a －1
2
b ＝(3,1)，
∴a －(3,1)＝1
2b ，则b ＝(－4,2)．∴2a ＋b ＝(－2,6)．
又(2a ＋b )∥c ，∴－6＝6x ，x ＝－1．故选D ．
4．已知点A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→
(λ∈R)，且点P 在直线
x －2y ＝0上，则λ的值为( )
A ．23
B ．－23
C ．32
D ．－32
解析：选B 设P (x ，y )，则由AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→
，得(x －2，y －3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，∴x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5．
又点P 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－2
3．故选B ．
5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→
＝( )
A ．14a ＋12
b B ．12a ＋14
b
C ．23a ＋13b
D ．13a ＋23
b 解析：选C 如图，∵AC ―→＝a ，BD ―→
＝b ， ∴AD ―→＝AO ―→＋OD ―→＝12AC ―→＋12BD ―→＝12a ＋1
2b ．
∵E 是OD 的中点， ∴
|DE ||EB |＝1
3
， ∴|DF |＝13|AB |．∴DF ―→＝13AB ―→＝13(OB ―→－OA ―→)＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12BD ―→－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AC ―→ ＝16AC ―→－16BD ―→＝1
6a －16
b ，
∴AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝12a ＋12b ＋16a －1
6b ＝23a ＋13
b ，故选C ．
6．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2,1)，c ＝(3,2)．若向量c 与向量ka ＋b 共线，则实数
k ＝________．
解析：ka ＋b ＝k (1,3)＋(－2,1)＝(k －2,3k ＋1)，因为向量c 与向量ka ＋b 共线，所以2(k －2)－3(3k ＋1)＝0，解得k ＝－1．
答案：－1
7．已知向量OA ―→＝(1，－3)，OB ―→＝(2，－1)，OC ―→
＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．
解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB ―→，AC ―→
不共线． ∵AB ―→＝OB ―→－OA ―→
＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC ―→＝OC ―→－OA ―→
＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1． 答案：k ≠1
8．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ
＝________．
解析：以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边
长为1)，
则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，
∴a ＝AO ―→＝(－1,1)，b ＝OB ―→＝(6,2)，c ＝BC ―→
＝(－1，－3)． ∵c ＝λa ＋μb ，
∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)， 即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3， 解得λ＝－2，μ＝－12，∴λ
μ＝4．
答案：4
9．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k ． 解：(1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
－m ＋4n ＝3，
2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝5
9，n ＝8
9.
(2)a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，
由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－16
13
．
10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝1
3BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设
BA ―→＝a ，BC ―→＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ―→，DF ―→，CD ―→．
解：EF ―→＝EA ―→＋AB ―→＋BF ―→
＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，
DF ―→＝DE ―→＋EF ―→＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝1
6b －a ，
CD ―→＝CF ―→＋FD ―→＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b ．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且
P ，G ，Q 三点共线．设OP ―→＝x OA ―→，OQ ―→＝y OB ―→，则1x ＋1
y
＝________．
解析：∵点P ，G ，Q 在一条直线上，∴PG ―→＝λPQ ―→
． ∴OG ―→＝OP ―→＋PG ―→＝OP ―→＋λPQ ―→＝OP ―→＋λ(OQ ―→－OP ―→) ＝(1－λ)OP ―→＋λOQ ―→
＝(1－λ)x OA ―→＋λy OB ―→
，① 又∵G 是△OAB 的重心， ∴OG ―→＝23OM ―→＝23×12(OA ―→＋OB ―→)
＝13OA ―→＋13
OB ―→
．② 而OA ―→，OB ―→
不共线，∴由①②，得
⎩⎪⎨⎪⎧
1－λ
x ＝1
3
，
λy ＝13.
解得⎩⎪⎨⎪⎧
1x ＝3－3λ，1
y ＝3λ.∴1x ＋1
y
＝3．
答案：3
2．已知三点A (a,0)，B (0，b )，C (2,2)，其中a >0，b >0．
(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值； (2)若A ，B ，C 三点共线，试求a ＋b 的最小值． 解：(1)因为四边形OACB 是平行四边形， 所以OA ―→＝BC ―→
，即(a,0)＝(2,2－b )，
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，2－
b ＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝2.
故a ＝2，b ＝2．
(2)因为AB ―→＝(－a ，b )，BC ―→
＝(2,2－b )， 由A ，B ，C 三点共线，得AB ―→∥BC ―→
，
所以－a (2－b )－2b ＝0，即2(a ＋b )＝ab ， 因为a >0，b >0， 所以2(a ＋b )＝ab
≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22，
即(a ＋b )2
－8(a ＋b )≥0， 解得a ＋b ≥8或a ＋b ≤0． 因为a >0，b >0，
所以a ＋b ≥8，即a ＋b 的最小值是8． 当且仅当a ＝b ＝4时，“＝”成立．
第三节
平面向量的数量积与平面向量应用举例
1．向量的夹角 定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量a 和b ，作OA ―→＝a ，OB ―→
＝b ，则∠AOB 就是a
与b 的夹角
设θ是a 与b 的夹角，则θ的取值范围
是0°≤θ≤180°
θ＝0°或θ＝180°
⇔a ∥b ，θ＝90°⇔a
⊥b
定义
设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b
投影 |a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影， |b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影
几何 意义
数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积
(1)a·b ＝b·a ．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ．
结论几何表示坐标表示
模|a|＝a·a|a|＝x2
1＋
y21
夹角cos θ＝
a·b
|a||b|
cos θ＝
x1x2＋y1y2
x21＋y21·x22＋y22
a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋
y1y2|≤x21＋y21x22＋y22
1．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－63，则a与b的夹角θ为( )
A．π
6
B．
π
3
C．
2π
3
D．
5π
6
答案：D
2．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则a·b＝_____．
答案：－10
3．(2016·山东高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t 的值为________．
解析：∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，
∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)．
又a⊥(ta＋b)，则a·(ta＋b)＝0，
即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5．
答案：－5
1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．
2．两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立．
3．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b．
4．在用|a|＝a2求向量的模时，一定要把求出的a2再进行开方．
1．给出下列说法：
①向量b 在向量a 方向上的投影是向量；
②若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角，若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角； ③(a ·b )c ＝a (b ·c )；
④若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0． 其中正确的说法有________个． 答案：0
2．(2016·北京高考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________．
解析：由题意得|a |＝1＋3＝2，|b |＝3＋1＝2，
a·b ＝1×3＋3×1＝23．
设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝232×2＝3
2．
∵θ∈，∴θ＝π
6．
答案：
π6
考点一 平面向量的数量积的运算
基础送分型考点——自主练透
1．(易错题)设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝( ) A ．(－15,12) B ．0 C ．－3
D ．－11
解析：选C ∵a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)， ∴(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－3．
2．已知AB ―→＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB ―→在CD ―→
方向上的投影为( ) A ．－
32
2
B ．－3 5
C ．
32
2
D ．3 5
解析：选C 因为点C (－1,0)，D (4,5)，所以CD ―→＝(5,5)，又AB ―→
＝(2,1)，所以向量AB ―→在CD ―→
方向上的投影为
|AB ―→|cos 〈AB ―→，CD ―→
〉＝AB ―→·CD ―→|CD ―→|
＝1552＝322．
3．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________． 解析：因为a ＝(－2，－6)， 所以|a |＝
－2
2
＋－6
2
＝210，
又|b|＝10，向量a 与b 的夹角为60°，
所以a ·b ＝|a|·|b|·cos 60°＝210×10×1
2＝10．
答案：10
4．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，D 为BC 的中点，则AB ―→·AD ―→
＝________．
解析：法一：由题意知，AC ＝BC ＝2，AB ＝22， ∴AB ―→·AD ―→＝AB ―→·(AC ―→＋CD ―→) ＝AB ―→·AC ―→＋AB ―→·CD ―→
＝|AB ―→|·|AC ―→|cos 45°＋|AB ―→|·|CD ―→
|cos 45° ＝22×2×
22＋22×1×2
2
＝6． 法二：建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意得A (0,2)，B (－2,0)，
D (－1,0)，
∴AB ―→
＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)， AD ―→
＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，
∴AB ―→·AD ―→
＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6． 答案：6
向量数量积的2种运算方法 方法
运用提示
适用题型
定义法
当已知向量的模和夹角θ时，可
利用定义法求解，即a ·b ＝|a |·|b |cos θ
适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题
坐标法
当已知向量的坐标时，可利用坐标
法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2
适用于已知相应向量的坐标求解
数量积的有关计算问题，如“题组
练透”第1题易错
考点二 平面向量数量积的性质题点多变型考点——多角探明
平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．
常见的命题角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角；
(3)平面向量的垂直．
角度一：平面向量的模
1．已知e 1，e 2是单位向量，且e 1·e 2＝1
2．若向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝
________．
解析：∵e 1·e 2＝1
2，
∴|e 1||e 2|cos
e 1，e 2＝12
，∴e 1，e 2＝60°．
又∵b ·e 1＝b ·e 2＝1＞0，∴
b ，e 1＝b ，e 2＝30°．
由b ·e 1＝1，得|b ||e 1|cos 30°＝1，∴|b |＝
1
32
＝233．
答案：23
3
角度二：平面向量的夹角
2．(2017·山西四校联考)已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( )
A ．
π
6
B ．π4
C ．
π3
D ．
2π
3
解析：选B ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2
－a ·b ＝1－2cos a ，b ＝0，∴cos a ，
b ＝
2
2
，∴a ，b ＝π4
．
3．(2017·江西八校联考)在△ABC 中，AB ―→＝(2，3)，AC ―→
＝(1，2)，则△ABC 的面积为________．
解析：由题意得，(|AB ―→|· |AC ―→|)2＝(|AB ―→|·|AC ―→|·cos〈AB ―→，AC ―→〉)2＋(|AB ―→
|·|AC ―→|·sin〈AB ―→，AC ―→〉)2
，
即(|AB ―→|·|AC ―→|)2＝(AB ―→·AC ―→)2＋(|AB ―→|·|AC ―→|·sin〈AB ―→，AC ―→〉)2
， ∴|AB ―→|·|AC ―→|·sin〈AB ―→，AC ―→
〉＝2－3， ∴S △ABC ＝12|AB ―→|·|AC ―→|·sin〈AB ―→，AC ―→
〉＝1－32．
答案：1－32
角度三：平面向量的垂直
4．(2016·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝1
3
，若n⊥(t
m ＋n )，则实数t 的值为( )
A ．4
B ．－4
C ．94
D ．－94
解析：选B ∵n⊥(t m ＋n )，∴n·(t m ＋n )＝0， 即t m·n ＋|n |2
＝0，
∴t|m||n|cos 〈m ，n 〉＋|n |2
＝0． 又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n|2×13＋|n |2
＝0，
解得t ＝－4．故选B ．
平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角：cos θ＝a ·b
|a |·|b |
，要注意θ∈．
(2)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
①a 2＝a ·a ＝|a |2
或|a |＝a ·a ． ②|a ±b |＝
a ±b
2
＝a 2±2a ·b ＋b 2
．
③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2
＋y 2
．
(3)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |．
1．(2017·合肥质检)已知不共线的两个向量a ，b 满足|a －b |＝2且a ⊥(a －2b )，则|b |＝( )
A ． 2
B ．2
C ．2 2
D ．4
解析：选B 由a ⊥(a －2b )得，a ·(a －2b )＝|a |2
－2a ·b ＝0，则|a －b |＝a －b
2
＝|a |2
－2a ·b ＋|b |2
＝|b |＝2，故选B ．
2．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝1
3，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2
的夹角为β，则cos β＝________．
解析：a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9＋2－9×1×1×1
3＝8．
∵|a |2＝(3e 1－2e 2)2
＝9＋4－12×1×1×13＝9，
∴|a |＝3．
∵|b |2＝(3e 1－e 2)2
＝9＋1－6×1×1×13＝8，
∴|b |＝22，
∴cos β＝a ·b |a |·|b |＝83×22＝22
3
．
答案：
223
3．已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2．若AP ―→＝λ AB ―→＋AC ―→
，且AP ―→⊥BC ―→
，则实数λ的值为________．
解析：BC ―→＝AC ―→－AB ―→，由于AP ―→⊥BC ―→， 所以AP ―→·BC ―→
＝0，
即(λAB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)
＝－λAB ―→2＋AC ―→2＋(λ－1)AB ―→·AC ―→
＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12 ＝0，解得λ＝7
12．
答案：
712
考点三 平面向量与三角函数的综合重点保分型考点——师生共研
已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R ． (1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．
解：(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2
x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3， 令2k π≤2x ＋
π
3
≤2k π＋π(k ∈Z)， 解得k π－π6≤x ≤k π＋π
3
(k ∈Z)，
所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)．
(2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝
⎛
⎭
⎪⎫
2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1．
又π3<2A ＋π3＜7π
3， ∴2A ＋
π3＝π，即A ＝π
3
． ∵a ＝7，
由余弦定理得a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ＝(b ＋c )2
－3bc ＝7．① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， 所以2sin B ＝3sin C ．由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②，可得b ＝3，c ＝2．
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等．
(2017·临沂模拟)已知向量m ＝(sin α－2，－cos α)，n ＝(－sin α，cos α)，其中α∈R ．
(1)若m ⊥n ，求角α；
(2)若|m －n |＝2，求cos 2α的值． 解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0，
即为－sin α(sin α－2)－cos 2
α＝0，
即sin α＝12，可得α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π
6，k ∈Z ．
(2)若|m －n |＝2，即有(m －n )2＝2， 即(2sin α－2)2
＋(2cos α)2
＝2， 即为4sin 2
α＋4－8sin α＋4cos 2
α＝2， 即有8－8sin α＝2，可得sin α＝3
4，
即有cos 2α＝1－2sin 2
α＝1－2×
916＝－18
．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．设x ∈R ，向量a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，则a ·b ＝( ) A ．－6 B ．10 C ． 5
D ．10
解析：选D ∵a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)且a ∥b ，
∴－4－2x ＝0，x ＝－2，∴a ＝(1，－2)，a ·b ＝10，故选D ．
2．(2017·河南八市重点高中质检)已知平面向量a ，b 的夹角为2π
3，且a ·(a －b )＝8，
|a |＝2，则|b |等于( )
A ． 3
B ．2 3
C ．3
D ．4
解析：选D 因为a ·(a －b )＝8，所以a ·a －a ·b ＝8，即|a |2
－|a ||b |cos a ，b
＝8，所以4＋2|b |×1
2
＝8，解得|b |＝4．
3．已知|a |＝3，|b |＝2，(a ＋2b )·(a －3b )＝－18，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°
D ．150°
解析：选B (a ＋2b )·(a －3b )＝－18， ∴a 2
－6b 2
－a ·b ＝－18，
∵|a |＝3，|b |＝2，∴9－24－a ·b ＝－18， ∴a ·b ＝3，∴cos a ，b ＝
a ·
b |a ||b |＝36＝1
2
，
∴a ，b
＝60°．
4．已知a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，且(a ＋b )⊥(a －b )，则m 的值是________． 解析：a ＋b ＝(m ＋2，m －4)，a －b ＝(m ，－2－m )， ∵(a ＋b )⊥(a －b )，∴m (m ＋2)－(m －4)(m ＋2)＝0， ∴m ＝－2． 答案：－2
5．△ABC 中，∠BAC ＝
2π3
，AB ＝2，AC ＝1，DC ―→＝2BD ―→，则AD ―→·BC ―→
＝________． 解析：由DC ―→＝2BD ―→，得AD ―→＝13(AC ―→＋2AB ―→
)．
∴AD ―→·BC ―→＝13(AC ―→＋2AB ―→)·(AC ―→－AB ―→)
＝13(AC ―→2＋AC ―→·AB ―→－2AB ―→2) ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2×22＝－83． 答案：－83
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( ) A ． 2 B ． 3 C ．2
D ．4
解析：选C 由已知得2a －b ＝(3，x )，而(2a －b )·b ＝0⇒－3＋x 2
＝0⇒x 2
＝3，所以|a |＝1＋x 2
＝4＝2．
2．(2017·贵州适应性考试)若单位向量e 1，e 2的夹角为π
3
，向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R)，。