湖北省武汉外国语学校2014届高三数学押题卷试题 文 新人教A版

湖北省武汉外国语学校2014届高三数学押题卷试题 文 新人教A 版
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合M ={x |1122x -
<<}，N ={x | x 2
≤ x }，则M ∩N = （A ）1[1,)2- （B ）1
(,1]2-
（C ）1[0,)2 （D ）1
(,0]2
-
2．设a ＞1＞b ＞0，则下列不等式中正确的是
（A ）(-a )7＜(-a )9 （B ）b - 9＜b - 7
（C ）11lg lg a b > （D ）11
ln ln a b
>
3．已知R α∈
，cos 3sin αα+=，则tan2α=
（A ）43 （B ）34 （C ）34- （D ）4
3
-
4．若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确．．的是 （A ）若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则m n ⊥ （B ）若,m n αβ⊥⊥且m n ⊥，则αβ⊥ （C ）若/,/n m αβ⊥且n β⊥，则//m α （D ）若,m n αβ⊂⊂且//m n ，则//αβ 6．已知某锥体的三视图（单位：cm ）如图所示， 则该锥体的体积为
（A ）23cm （B ）43cm （C ）63cm （D ）83
cm 7．设a ∈R，数列{(n －a )2
}（n ∈N *
）是递增数列，则a 的取值范围是
（A ）a ≤ 0
（B ）a < l
（C ）a ≤ l （D ）a <
3
2
8．已知实系数二次函数()f x 和()g x 的图像均是开口向上的抛物线，且()f x 和()g x 均有两个不同的零点．则“()f x 和()g x 恰有一个共同的零点”是“()()f x g x +有两个不同的零点”的
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
(第4题图)
（第6题图）
正视图
侧视图
俯视图
9． 如图，已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，
|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上的一点，F 2P 与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ |=1,则双曲线的离心率是
（A ） 3 （B ）2 （C
（D
10. 已知边长都为1的正方形ABCD 与DCFE 所在的平面互相垂直，点P 、
Q 分别是线段BC 、DE 上的动点（包括端点），PQ
PQ
中点的轨迹为ℜ，则ℜ 的长度为
（A ）2 （B
（C ）2π （D ） 4
π
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．已知复数z 满足
2
2
z z +-= i （其中i 是虚数单位），则z = ▲ ． 12．设25z x y =+，其中实数,x y 满足68x y ≤+≤且20x y -≤-≤，则z 的取值范围是 ▲ ．
13．已知抛物线2
3x y =上两点,A B 的横坐标恰是方程2
510x x ++=的两个实根，则直线AB 的方
程是 ▲ ．
14．已知直线10x y --=及直线50x y --=截圆C 所得的弦长均为10，则圆C 的面积是 ▲ ． 15．在△ABC 中，∠C=90︒，点M 满足3BM MC =，则sin∠BAM 的最大值是 ▲ ．
16． 已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数．．．．x 、
y ，使得AO x AB y AC =+，且21x y +=，则cos ∠BAC = ▲ ．
17．设集合1234212{||||...||,n n n M S S i i i i i i -==-+-++- 122,,...,n i i i 为1,2,...,2n 的一个排列}，
记集合n M 中的元素个数为()n Card M ，例如{}()111,1M Card M ==；{}22,4,M = ()22Card M =，则（1）3M = ▲ ；
（2）()n Card M = ▲ ．
三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分12分） 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，且sin 5B c =，
11
cos 14
B =
．（I ）求角A 的大小；（II ）设BC 边的中点为D
，2AD =，求ABC ∆的面积．
19．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．
数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈． （I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；
（II ）设⎩⎨⎧=为偶数
为奇数
n b n a c n n n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ．
20．（本题满分13分）如图所示，PA ⊥平面ABCD ，
△ABC 为等边三角形，PA AB =，AC ⊥CD ，
M 为AC 中点．
（I ）证明：BM ∥平面PCD ；
（II ）若PD 与平面PAC 所成角的正切值
，求二面角C -PD -M 的正切值．
21．（本题满分14分）已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1
2
，其右焦点F 与椭圆Γ的
左顶点的距离是3．两条直线12,l l 交于点F ，其斜率12,k k 满足123
4
k k =-．设1l 交椭圆Γ于A 、
C 两点，2l 交椭圆Γ于B 、
D 两点．
（I ）求椭圆Γ的方程；
（II ）写出线段AC 的长AC 关于1k 的函
数表达式，并求四边形ABCD 面积S 的最大值．
22．（本题满分14分）已知R λ∈，函数(1)
()ln 1
x f x x x λλ-=-+-，其中[1,)x ∈+∞．
（Ⅰ）当2λ=时，求()f x 的最小值；
（Ⅱ）在函数ln y x =的图像上取点(,ln )n P n n ()n N *∈，记线段P n P n +1的斜率为k n ，
12
111
n n
S k k k =
+++
．对任意正整数n ，试证明： （ⅰ）(2)2n n n S +<
； （ⅱ）(35)
6
n n n S +>． 武汉外国语学校2014届高三（文科）押题卷
P A
B C
D
M
（第20题图）
参考答案
一、选择题
1．C 2．D 3．A 4．C 5． B 6．A 7．D 8．D 9．B 10．D
二、填空题
11．2 12．[21，31] 13．5310x y ++= 14．27π
15．35 16．2
3 17．（1）{}3,5,7,9,（2）
212
n n -+ 三、解答题
18．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）由11
cos 14
B =
，得sin 14B =，
又sin 5B c =，代入得37a c =，
由sin sin a c A C
=
，得3sin 7sin A C =， 3sin 7sin()A A B =+， 3sin 7sin cos 7cos sin A A B A B =+
得tan A =23
A π
=
（Ⅱ）22
192cos 4
AB BD AB BD B +-=，
22771119
()266144c c c c +-⨯⨯=，3c =，则7a =
11sin 3722144
S ac B ==⨯⨯=
19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨
+=⎩，得14
,44
n a a n d =⎧∴=⎨=⎩．
230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，
112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥
数列{}n b 为等比数列，1
32n n b -∴=⋅．
（Ⅱ）1
4 32n n n
n c n -⎧=⎨
⋅⎩
为奇数为偶数 ． 当n 为偶数时，
13124()()n n n P a a a b b b -=++
++++
+2
12(444)6(14)222
2
14
n
n n n n ++-⋅
-=
+=+--．
当n 为奇数时，
（法一）1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++-
（法二）132241()()
n n n n P a a a a b b b --=++
++++++
1
2
21(44)6(14)2221214
n n n n n n -++⋅
-=
+=++-- ．
12222,221n n n
n n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数
，为奇数
20．（本题满分13分） 解：（Ⅰ）证明：因为M 为等边△ABC 的AC 边的中点，所以BM ⊥AC ．
依题意CD ⊥AC ，且A 、B 、C 、D 四点共面，所以BM ∥CD ． 又因为BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以
BM ∥平面PCD ．
（Ⅱ）因为CD ⊥AC ，CD ⊥PA ，
所以CD ⊥平面PAC ，故PD 与平面 PAC 所成的角即为∠CPD ． 不妨设PA =AB =1，则PC ．
由于tan CD CPD PC ∠==
，所以CD ． 在等腰Rt△PAC 中，过点M 作ME ⊥PC 于点
E ，再在Rt△PCD 中作E
F ⊥PD 于点F ． 因为ME ⊥PC ，ME ⊥CD ，所以ME ⊥平面PCD ，可得ME ⊥PD ．
又EF ⊥PD ，所以∠EFM 即为二面角C -PD -M 的平面角．
易知PE =3EC ，ME =
4，EF =34=
所以ta n∠EFM =ME EF ==
， 即二面角C -PD -M ． 21．（本题满分14分）
解：（Ⅰ）设右焦点(,0)F c （其中c =，依题意1
2c a =，3a c +=，所以2,1a c ==．
所以b =Γ的方程是22143
x y +=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F （1,0）．将通过焦点F 的直线方程(1)y k x =-代入椭圆Γ的方程22
143
x y +=，
可得2222(34)8(412)0k x k x k +-+-=，
P
A
B
C
D
M
（第20题图）
F
E
其判别式22222(8)16(3)(34)144(1)k k k k ∆=--+=+． 特别地，对于直线1l ，若设1122(,),(,)A x y C x y ，则
12|||AC x x =
-1
=，
110k R k ∈≠且.
又设3344(,),(,)B x y D x y ，由于B 、D 位于直线1l 的异侧，
所以133(1)k x y --与144(1)k x y --异号．因此B 、D 到直线1l
的距离之和
d =
=
34||x x =
=
-
2
=
．
综合可得，四边形ABCD
的面积121
||2S AC d =⋅=． 因为1234k k =-
，所以22
121232||2t k k k k =+≥=，于是
()S f t ==
= 当3
[,)2
t ∈+∞时，()f t 单调递减，所以当3
2
t =
，即12{,}{k k =时，
四边形ABCD
22．（本题满分14分）
解：（Ⅰ）=2λ时， 2(1)
()ln (1)1
x f x x x x -=-
≥+，求导可得 2
22
12(1)2(1)(1)()0(1)(1)x x x f x x x x x +---'=-=≥++ ……………3分
所以，()f x 在(1,)+∞单调递增，故()f x 的最小值是(1)0f =．…………5分
（Ⅱ）依题意，ln(1)ln 1
ln(1)1n n n k n n n
+-=
=++-．
……………6分
（ⅰ）由（Ⅰ）可知，若取2λ=，则当1x >时()0f x >，即2(1)
ln 1
x x x ->
+． 于是 12(11)
12ln(1)12111n n n n
+
-+>=+++，即知1212n n k +<．…………8分
所以 11
121(2)
22n
n
n i i i i n n S k ==++=<=
∑∑． ……………9分 （ⅱ）取3λ=，则3(1)
()ln (1)2
x f x x x x -=-
≥+，求导可得 22
13(2)3(1)(1)(4)
()(2)(2)x x x x f x x x x x +----'=
-=
++ 当(1,2)x ∈时，()0f x '<，故()f x 在(1,2)单调递减． 所以，(1,2]x ∈时，()(1)0f x f <=，即3(1)
ln 2
x x x -<
+．……………12分 注意到，对任意正整数n ，1
1(1,2]n
+
∈，于是 13(11)
13ln(1)13112n n k n n n
+
-=+<=+++，即知1313n n k +>． ……………13分
所以 11
131(35)
36n
n
n i i i i n n S k ==++=>=
∑∑． ……………14分。