最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试卷(答案解析)(1)

一、选择题
1．已知函数()3
sin f x x x ax =+-，则下列结论错误的是（ ）
A ．()f x 是奇函数
B ．若0a =，则()f x 是增函数
C ．当3a
=-时，函数()f x 恰有三个零点
D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点
2．已知函数()3
2
f x x bx cx =++的图象如图所示，则22
12x x +等于（ ）
A ．23
B ．
43
C ．
83
D ．
163
3．已知函数23,0
()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩
的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的
对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( )
A ．1(,1)2
B ．1
(2
，2)
C ．(1,2)-
D ．(1,3)-
4．已知定义在()1,+∞上的函数()f x ，()f x '为其导函数，满足
()()1
ln 20f x f x x x x
++=′，且()2f e e =-，若不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[),e +∞
B ．(
)
2
,2e -
C ．(),2e -
D ．[),e -+∞
5．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()()22f x f x +=-，且当2x ≠时其导函数
()f x '满足()()2xf x f x ''>，若24a <<则（ ）
A ．()
()()223log a
f f f a << B ．()()()
23log 2a
f f a f << C ．()()()2lo
g 32a
f a f f <<
D ．()()
()2log 23a
f a f f <<
6．已知函数1()ln x
f x x ax
-=+，若函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,1
B ．(01]，
C ．()1,+∞
D ．[1,)+∞
7．已知可导函数()f x 的定义域为(,0)-∞，其导函数()'f x 满足()2()0xf x f x '->，则
不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<的解集为（ ） A ．(,2021)-∞- B ．(2021,2020)-- C ．(2021,0)-
D ．(2020,0)-
8．若函数1
()21
x
f x e x =
--(e 为自然对数的底数)，则()y f x =图像大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
9．若对于任意的120x x a <<<，都有2112
12
ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ）
A ．2e
B ．e
C ．1
D ．
12
10．对*n N ∈，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，
[(1)](2,3,...)n n a n x n =+=，其中符号[]x 表示不超过x 的最大整数，则
232020
2019
a a a ++=（ ）
A ．1011
B ．1012
C ．2019
D ．2020
11．已知函数()2x f x e =+，2()21g x x x =-+，若存在123,,,[0,1]n x x x x ∈，使得
*
122-1122-1()()()()+()()()()()+(),N n n n n n n f x f x f x g x g x g x g x g x f x f x n --++++=++
++∈成立，则n 的最大值为（ ）（注：=2.71828e 为自然对数的底数）
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
12．已知函数()2
2ln f x x x =-，若关于x 的不等式()0f x m -≥在[]1,e 上有实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(
)
2
,2e -∞-
B ．(
2
,2e ⎤-∞-⎦
C ．(],1-∞
D ．(),1-∞
二、填空题
13．已知函数(),e ,x x
x a
f x x x a
⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-恰有三个零
点，则a 的取值范围是__.
14．已知直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，则k 的取值范围为___________ 15．已知关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根，则k 的取值范围是
___________．
16．如图，等腰直角ABC 底边4BC =，E 为BC 上异于B ，C 的一个动点，点F 在AB 上，且EF BC ⊥，现将BEF 沿EF 折起到B EF '的位置，则四棱锥B AFEC '-体积的最大值为___________.
17．已知函数()x
f x e =，()
g x ex =，若存在12,x x R ∈，使得()()12f x g x m ==，
则21x x -的最小值为______.
18．已知函数()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示，给出如下命题：①当20x -<<时，()0f x >；②(1)(0)f f -<；③函数()f x 在1
2
x =-处切线的斜率小于零；④0是
函数()f x 的一个极值点；其中正确的命题是___________．（写出所有正确命题的序号）
19．设m R ∈，若函数()3
32f x x x m =-+在3⎡⎣上的最大值与最小值之差为2，
则实数m 的取值范围是______.
20．已知()2
sin cos f x x x x x =++，则不等式()()
1lg lg 22
f x f x f ⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭>的解集为______.
三、解答题
21．已知函数()()211
ln ,022
f x x a x a R a =
--∈≠. （1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；
（3）若对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围.
22．某工厂经奥组委授权生产销售伦敦奥运会吉祥物(精灵“文洛克”）饰品，生产该饰品的全部成本c 与生产的饰品的件数x （单位：万件）满足函数3
2120075
c x =+
(单位：万元)；该饰品单价p （单位：元）的平方与生产的饰品件数x （单位：万件）成反比，现已
知生产该饰品100万件时，其单价50p =元．且工厂生产的饰品都可以销售完．设工厂生产该饰品的利润为()f x （万元）（注：利润=销售额-成本） （1）求函数()y f x =的表达式．
（2）当生产该饰品的件数x （万件)为多少时，工厂生产该饰品的利润最大． 23．设函数32
22ln 11(),()28
a x x f x g x x x x +=
=-+. （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与30x y -+=垂直，求函数()f x 的解析式；
（2）如果对于任意的1213
,[,]22
x x ∈，都有112()()x f x g x ⋅≥成立，试求实数a 的取值范围.
24．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R. (1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x ，求函数g (x )的极值． 25．已知函数()ln f x ax x =-. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 26．已知32()1,f x x ax a R =++∈. （1）若()f x 在2
3
x =
处取极值，求()f x 在点(,1)a -处切线方程； （2）若函数()f x 在区间[]
01，最小值为－1，求a .
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
对A,根据奇函数的定义判定即可. 由条件可得()2
cos 3f x x x a '=+-，则
()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥,所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递
增,且()00f ''=,所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则
()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则
()()01f x f a ''≥=-,将a 的值代入分别计算分析，可判断选项B ，C ，D
【详解】
对A, ()3
sin f x x x ax =+-的定义域为R ,且()()()3
sin f x x x ax -=-+-+
3sin ()x x ax f x =--+=-.故A 正确.
由条件可得()2
cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥
所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''= 所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，
则()2
cos 3f x x x '=+在()0-∞，
上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=-
对B, 当0a =时，()2
'cos 30f x x x =+>，所以()f x 是增函数，故B 正确.
对C,当3a
=-时，由上可知, ()()014f x f a ''≥=-=，
所以()f x 是增函数,故不可能有3个零点.故C 错误.
对D,当3a =时，()2
cos 33f x x x '=+-，由上可知在()0-∞，
上单调递减，在()0+∞，上单调递增.
则()()min 0132f x f ''==-=-，()1cos10f '-=>，()1cos10f '=>
所以存在()()121,0,0,1x x ∈-∈，使得()10f
x '
=，()20f x '=成立
则在()1,x -∞上，()0f x '>，在()12,x x 上，()0f x '<，在()2,x +∞上，()0f x '>.
所以函数()3
sin 3f x x x x =+-在()1,x -∞单调递增，在()12,x x 的单调递减，在()2,x +∞单调递增.
所以函数()f x 恰有两个极值点，故D 正确.
故选：C 【点睛】
关键点睛：本题主要考查利用导数分析函数的单调性从而得出函数的零点和极值情况，解答本题的关键是对原函数的单调性分析，由条件可得()2
cos 3f x x x a '=+-，则
()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,
且()00f ''=，所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则
()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则
()()01f x f a ''≥=-，经过多次求导分析出单调性，属于中档题. 2．C
解析：C 【分析】
先利用函数的零点，计算b 、c 的值，确定函数解析式，再利用函数的极值点为x ，xz ，利
用导数和一元二次方程根与系数的关系计算所求值即可 【详解】
由图可知，()0f x =的3个根为0,1,2，
()()110,28420f b c f b c ∴=++==++=，
解得3,2b c =-=，
又由图可知，12,x x 为函数f (x )的两个极值点，
()23620f x x x ∴=-+='的两个根为12,x x ，
121222,3
x x x x ∴+==
， ()2
22
12121248
2433
x x x x x x ∴+=+-=-
=， 故选：C 【点睛】
本题主要考查了导数在函数极值中的应用，一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值的思想方法.
3．C
解析：C 【分析】
先求出直线1y kx =-关于1y =-对称的直线方程，然后求函数()f x 再0,0x x >≤时的单调性及极值，进而求出k 得取值范围. 【详解】
设函数1y kx =-任意一点00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '， 则0
0,
12
y y x x +==-，所以02y y =--， 而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--， 所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，
（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点
(,ln 3)C x x x x -，
()ln 31
ln 13ln 2x x x f x x x x k x
-+'=+-=-=-=
，
整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =， 所以ln122AC k k =-=-=-； （2）当0x ≤时，()2
3f x x x =+，
设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，
()231
23x x f x x k x
++'=+=-=
，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得1x =-，
所以2(1)31AB k k =-=-+=， 故21k -<-<，即12k -<<时，
在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点； 在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，
故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-. 故选：C.
【点睛】
本题主要考查了直线关于直线对称，以及直线与曲线相切的斜率，以及函数与方程的关系的综合应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
4．D
解析：D 【分析】
利用导数的运算法则，求出函数()f x 的解析式，然后参数分离，将不等式的恒成立问题转化为ln x
a x
≥-
对任意()1,x ∈+∞恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最大值，从而得解. 【详解】
()()1
ln 20f x f x x x
x
++=′， ()2ln f x x x C ∴+=， ()2ln f e e e C ∴+=，
()2f e e =-，∴22e e C -+=，解得0C =，
()2
ln 0f x x x ∴+=，()2
ln x f x x
∴=-()1x >，
不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，
∴2
ln x ax x
-≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，
即ln x
a x
≥-
对任意()1,x ∈+∞恒成立， 令()ln x g x x =-，则()()
21ln ln x g x x -=′，
令()()
2
1ln 0ln x
g x x -=
=′，解得x e =，
∴1x e <<时，()0g x '>，()g x 在()1,e 上单调递增；
x e >时，()0g x '<，()g x 在(),e +∞上单调递减，
∴当x e =时，()g x 取得极大值，也是最大值，
()()max ln e
g x g e e e
==-=-， a e ∴≥-，
∴实数a 的取值范围是[),e -+∞.
故选：D. 【点睛】
本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，具体考查导数的运算法则及利用导数研究函数的最值问题，求出函数()f x 的解析式是本题的解题关键，属于中档题.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：()f x a >恒成立⇔()min f x a >；()f x a <恒成立⇔()max f x a <；()f x a >有解⇔()max f x a >；()f x a <有解⇔()min f x a <；
()f x a >无解⇔()max f x a ≤；()f x a <无解⇔()min f x a ≥. 5．C
解析：C 【分析】
由()f x =(4)f x -得到函数的对称性，(2)()0x f x '->得到函数的单调性，结合关系即可得到结论. 【详解】
由于函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -， 可知函数关于2x =对称，
根据条件2x ≠时，有()2(),xf x f x ''> 得(2)()0x f x '->，
当2x >时()f x 递增，当2x <时()f x 单调递减，
因为24a <<
所以4216a <<，21log 2a <<，因为2x =是对称轴，所以22log 3a <<， 所以22log 32a
a <<<， 所以2(log )(3)(2)a
f a f f <<， 故选：C. 【点睛】
本题主要考查函数值的大小比较，根据导数判断函数的单调性，再利用对称性、单调性比较大小.
6．D
解析：D 【分析】 根据函数1()ln x
f x x ax
-=
+，求导得到()'f x ，然后根据函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，转化为()0f x '≥在[1,)+∞上恒成立求解. 【详解】 函数1()ln x
f x x ax
-=
+， ()
2
2
11()a
ax f x x ax ax --'=
+
=， 因为函数()f x 在[1,)+∞上为增函数， 所以()0f x '≥在[1,)+∞上恒成立， 又0a >，
所以 10ax -≥在[1,)+∞上恒成立， 即1
a x
≥
在[1,)+∞上恒成立， 令()()max 1
1g x g x x
=
=，， 所以1a ≥， 故选：D 【点睛】
本题主要考查函数的单调性与导数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
7．B
解析：B 【分析】
由题可得当(,0)x ∈-∞时，()2()0xf x f x '->，进而构造函数2
()
()f x g x x =
，可判断()g x 在(,0)-∞上的单调性，进而可将不等式转化为(2020)(1)g x g +<-，利用()g x 的
单调性，可求出不等式的解集． 【详解】
解：构造2()()(0)f x g x x x =<，则243()2()()2()
()x f x x f x xf x f x g x x x ''⋅-⋅-'==，因为()2()0xf x f x '->，则()0g x '<
∴函数()g x 在(,0)-∞上是减函数，
∵不等式2
(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<，且()
2
(1)
(1)(1)1f g f --=
=--，
等价于
()
()
()
()
()2
2
20201120201f x f g x +-<
=-+-，
即为(2020)(1)g x g +<-，所以20201
20200x x +>-⎧⎨+<⎩
，解得20212020x -<<-．
故选：B 【点睛】
本题考查函数单调性的应用，构造函数2()
()f x g x x =是解决本题的关键，属于中档题． 8．C
解析：C 【分析】
代入特殊值()10f <可判断,A B 选项，记()21x g x e x =--，结合函数单调性可得当
x →+∞时，()0f x >，从而可选出正确答案.
【详解】
记()21x g x e x =--，则有()2x g x e '=-， 当ln 2x <时，()20x g x e -'=<，()g x 是减函数，
当ln 2x >时，()20x g x e -'=>，()g x 是增函数，因为()130g e =-<， 所以()10f <，排除,A B 选项；()2
250g e =->，所以当x →+∞时，()0>g x ，
即x →+∞时，()0f x >，则D 错误. 故选:C. 【点睛】
本题考查了函数图象的识别，属于中档题.
9．C
解析：C 【分析】
整理所给的不等式，构造新函数，结合导函数研究函数的单调性，即可求得结果. 【详解】
解：由已知可得，211212ln ln x x x x x x -<-，两边同时除以12x x ，
则121221
ln ln 11x x x x x x -<-，化简有1212ln 1ln 1
x x x x ++<， 而120x x <<，构造函数()ln 1x f x x
+=
，()2
ln x f x x -'=， 令()0f x '>，则01x <<；令()0f x '<，则1x > ， 所以函数()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数， 由
1212
ln 1ln 1
x x x x ++<对于120x x a <<<恒成立， 即()f x 在()0,a 为增函数，则01a <≤， 故a 的最大值为1. 故选：C. 【点睛】
本题考查导数研究函数的单调性，考查分析问题能力，属于中档题.
10．A
解析：A 【分析】
根据条件构造函数()3
2f x nx x n =+-，求得函数的导数，判断函数的导数，求出方程根
的取值范围，进而结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】
设函数()3
2f x nx x n =+-，则()2
32f x nx '=+，
当n 时正整数时，可得()0f x '>，则()f x 为增函数， 因为当2n ≥时，()
323
()()2()(1)01111n n n n
f n n n n n n n n =⨯+⨯-=⋅-++<++++， 且()120f =>，
所以当2n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(,1)1
n n
x n ∈+， 所以(1)1,[(1)]n n n n n x n a n x n <+<+=+=， 因此
2320201
(2342020)101120192019
a a a ++=+++
+=.
故选：A. 【点睛】
方法点睛：构造新函数()3
2f x nx x n =+-，结合导数和零点的存在定理，求得当2
n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(
,1)1
n n
x n ∈+是解答的关键.
11．D
解析：D 【分析】
构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数研究函数的单调性，求出函数的值域即可求解. 【详解】 由122-1()()()()+()n n n f x f x f x g x g x -++
++
*122-1()()()()+(),N n n n g x g x g x f x f x n -=++++∈，
变形为：()()()()()()112222n n f x g x f x g x f x g x ---+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
()()()()11n n n n f x g x f x g x --=-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
设()()()h x f x g x =-，则()()()()()1122n n n h x h x h x h x h x --+=++
+，
()()()()2222121x x h x f x g x e x x e x x =-=+--+=-++，
()22'=-+x h x e x ，当[]0,1x ∈时，()0h x '>，
所以[]0,1x ∈时，()h x 单调递增，
()22h x e ∴≤≤+， ()()()122n h x h x h x -∴++
的值域为()()()22,22n e n -+-⎡⎤⎣⎦，
若存在123,,,
[0,1]n x x x x ∈，使得()()()()()1122n n n h x h x h x h x h x --+=++
+，
则()42224n e ≤-≤+，44n e ∴≤≤+，且n *∈N ，
n ∴的最大值为6.
故选：D 【点睛】
关键点点睛：本题考查了导数研究函数方程的根，解题的关键是构造函数
()()()h x f x g x =-，考查了运算能力、分析能力. 12．B
解析：B 【分析】
由题意可得()max m f x ≤，利用导数求出函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】
由题意可知，存在[]1,3x ∈，使得()m f x ≤，则()max m f x ≤.
()2
2ln f x x x =-，则()()()22112222x x x f x x x x x
-+-'=-==
， 当[]1,3x ∈时，()0f x '≥，
所以，函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，则()()2
max 2f x f e e ==-，22m e ∴≤-，
因此，实数m 的取值范围是(
2
,2e ⎤-∞-⎦.
故选：B. 【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.
二、填空题
13．【分析】设函数求得求得函数的单调性和极值画出函数的图象结合图象分类讨论即可求解【详解】设函数则令得：当时函数单调递增；当时函数单调递减又故画出函数的图象如图所示：因为存在实数b 使函数恰有三个零点所以
解析：1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
【分析】 设函数()x x h x e =
，求得()
1x
x
h x e '-=，求得函数的单调性和极值，画出函数的图象，结合图象分类讨论，即可求解. 【详解】 设函数()x x h x e =
，x ∈R ，则()1x x
h x e
'-=，令()0h x '=得：1x =， 当(),1x ∈-∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 又()1
1h e
=
，故画出函数()h x 的图象，如图所示： 因为存在实数b ，使函数()()g x f x b =-恰有三个零点， 所以存在实数b ，使方程()f x b =有三个实数根， 所以存在实数b ，使函数()f x 与y b =的图象有3个交点，
因为函数(),,x x
x a
f x e x x a
⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，结合函数()h x 的图象和函数y x =-单调递减，所以
1a <，
①当01a ≤<时，函数()f x 的图象如图所示：
显然存在实数b ，使函数()f x 与y b =的图象有3个交点，符合题意， ②当0a <时，函数()f x 的图象如图所示：
要存在实数b ，使函数()f x 与y b =的图象有3个交点，则1
a e
-<，解得1a e >-，
所以1
0a e
-
<<， 综上所述，a 的取值范围是：1,1e ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
e ⎪⎝⎭
【点睛】
有关函数零点的判定方法及策略：
（1）直接法：令()0f x =，有几个解，函数就有几个零点；
（2）零点的存在定理法：要求函数()f x 在区间[],a b 上连续不断的曲线，且
()()0f a f b <，再结合函数的图象与性质确定零点的个数；
（3）图象法：利用图象交点的个数，作出两函数的图象，观察其交点的个数，得出函数
()f x 的零点个数.
14．【分析】直线与曲线有公共点等价于方程在时有解即有解构造函数利用导数求出函数的取值情况即可求出k 的取值范围【详解】直线与曲线有公共点等价于方程在时有解即有解设则由解得此时函数单调递增由解得此时函数单调
解析：1,e ⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【分析】
直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，等价于方程ln kx x =在0x >时有解，即ln x
k x
=有解，构造函数()ln x
f x x
=，利用导数求出函数的取值情况，即可求出k 的取值范围. 【详解】
直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，
∴等价于方程ln kx x =在0x >时有解，
即ln x
k x
=
有解， 设()ln x
f x x =， 则()2
1ln x
f x x -'=
， 由()0f x '>，解得0x e <<，此时函数单调递增， 由()0f x '<，解得x e >，此时函数单调递减，
当x e =时，函数()f x 取得极大值，同时也是最大值()ln 1
e f e e e
==， 所以()1f x e ≤
，1
k e
∴≤， 即k 的取值范围为1,e
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.
e
⎥⎝
⎦
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的最值，考查了等价转化的思想，属于中档题.
15．【分析】把关于x 的方程有2个不相等的实数根转化为与函数的图象有两个不同的交点利用导数求得函数的单调性与极值即可求解【详解】由题意关于x 的方程有2个不相等的实数根即函数与函数的图象有两个不同的交点设则 解析：(22ln2,)-+∞
【分析】
把关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根，转化为y k =与函数2x y e x =-的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数()2x f x e x =-的单调性与极值，即可求解. 【详解】
由题意，关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根， 即函数y k =与函数2x y e x =-的图象有两个不同的交点，
设()2x f x e x =-，则()2x f x e '=-，令()20x f x e '=-=，解得ln 2x =， 所以函数的减区间为(,ln 2)-∞，增区间为(ln 2,)+∞， 所以函数()f x 的最小值为(ln 2)22ln 2f =-，
且当x →-∞时，()f x →+∞，当x →∞时，()f x →+∞， 要使得2x e x k -=有2个不相等的实数根，所以22ln 2k >-． 即实数k 的取值范围是(22ln2,)-+∞. 故答案为：(22ln2,)-+∞. 【点睛】
本题主要考查了利用导数研究方程的根，其中解答中把方程根的个数转化为两个函数的图象的交点的个数，利用导数求得函数的单调性与极值是解答的关键，着重考查转化思想，以及运算与求解能力.
16．【分析】设则设根据四棱锥的体积公式可求得四棱锥体积为利用正弦函数的最大值以及导数求得的最大值可得结果【详解】设则设则四棱锥的高四边形的面积为则四棱锥体积为当且仅当时取等号令则令得令得所以函数在上递增
【分析】
设BE x =，则B E EF x '==(04)x <<，设B EC θ'∠=，根据四棱锥的体积公式可求得四棱锥B AFEC '-体积为
31
sin (8)6
x x θ-，利用正弦函数的最大值以及导数求得31
(8)(04)6
y x x x =-<<的最大值可得结果.
【详解】
设BE x =，则B E EF x '==(04)x <<，
设B EC θ'∠=，则四棱锥B AFEC '-的高sin sin h B E x θθ'==， 四边形AFEC 的面积为
22111
424222
x x ⨯⨯-=-， 则四棱锥B AFEC '-体积为211sin (4)32x x θ⨯-3311
sin (8)(8)66
x x x x θ=-≤-，当且仅当sin 1θ=，2
π
θ=时取等号，
令31
(8)(04)6
y x x x =-<<，
则21
(83)6y x '=
-，令0y '>，得0x <<0y '<4x <<，
所以函数31
(8)(04)6y x x x =
-<<在(0,3
上递增，在(3上递减，
所以当3
x =时，3
1(8)6y x x =-
所以当,23x π
θ=
=
时，四棱锥B AFEC '-
【点睛】
本题考查了棱锥的体积公式，考查了正弦函数的最值，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.
17．【分析】由可得则设即求函数的最小值求导得出单调性即可得到答案【详解】由即且所以则设函数则令得令得所以函数在上单调递减在上单调递增则函数的最小值为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查根据题目条件构 解析：
ln 2
2
【分析】
由()()12f x g x m ==，可得212ln ,m x m x e ==,则2
21ln m x x m e -=-，设()2
ln x h x x e
=-，即求函数()h x 的最小值，求导得出单调性即可得到答案.
【详解】
由()()12f x g x m ==，即1x
e m ==且0m >.
所以212ln ,m x m x e ==,则2
21ln m x x m e -=- 设函数()2ln x h x x e =-,则()2212x e
h x x e x ex
-'=-=
.
令()0h x '>，得x >
，令()0h x '<，得0x <<
所以函数()h x 在0⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭
上单调递增.
则函数()h x 的最小值为11
ln 22
2e h e =⨯-=. 所以21x x -的最小值为ln 22
故答案为：ln 2
2
【点睛】
本题考查根据题目条件构造函数，利用导数求函数的最小值，属于中档题.
18．②④【分析】由导数的图象推不出当时；当时函数单调递增由此可判断②正确由可判断③错误由时时时可判断④正确【详解】由导数的图象推不出当时故①不一定正确当时函数单调递增所以故②正确因为所以函数在处切线的斜
解析：②④ 【分析】
由导数的图象推不出当20x -<<时，()0f x >；当20x -<<时0f x ，函数()
f x 单调递增，由此可判断②正确，由102f ⎛⎫
'-
> ⎪⎝⎭
可判断③错误，由0x >时0f x
，
0x =时0f
x ，0x <时0f x 可判断④正确
【详解】
由导数的图象推不出当20x -<<时，()0f x >，故①不一定正确. 当20x -<<时0f x ，函数()f x 单调递增，所以(1)(0)f f -<，故②正确
因为102f ⎛⎫'-
> ⎪⎝⎭
，所以函数()f x 在1
2x =-处切线的斜率大于零，故③错误
因为0x >时0f x ，0x =时0f x ，0x <时0f x
所以0是函数()f x 的一个极值点，故④正确 故答案为：②④ 【点睛】
本题考查命题的真假判断和应用，解题时要熟练掌握导函数的图象和性质.
19．【分析】设结合导数可得函数的值域为最大值与最小值之差为从而得到函数的值域为最大值与最小值之差也为然后根据题意可得或即可求得答案【详解】设则函数在区间上单调递减在区间上单调递增函数的值域为最大值与最小 解析：][(),01,-∞⋃+∞
【分析】
设3()3,g x x x x =-∈结合导数可得函数()y g x =的值域为[]
2,0-，最大值与最小
值之差为2，从而得到函数3
3,2y x x x m ⎡=-+∈⎣的值域为[]22,2m m -+，最大
值与最小值之差也为2．然后根据题意可得220m -+≥或20m ≤，即可求得答案. 【详解】
设()3
3,g x x x x ⎡=-∈⎣，
则()()()2
33311g x x x x ==-'-+，
∴函数()y g x =在区间[)0,1上单调递减，在区间(
上单调递增．
()
00g =，()12g =- ，0g
= ，
∴函数()y g x =的值域为[]2,0-，最大值与最小值之差为2，
∴函数33,2y x x x m ⎡=-+∈⎣的值域[]22,2m m -+，最大值与最小值之差也为2．
()3
32f x x x m =-+在x ∈上的最大值与最小值之差为2，
∴220m -+≥或20m ≤，
解得m 1≥. 或0m ≤. .
∴实数m 的取值范围为][(),01,-∞⋃+∞．
故答案为：][()
,01,-∞⋃+∞． 【点睛】
本题考查用导数研究函数的最值问题，具有综合性和难度，解题的关键是注意将问题进行合理的转化，考查了分析能力和计算能力，属于难题.
20．【分析】先判断函数为偶函数再利用导数判断函数在递增从而将不等式转化为进一步可得不等式解对数不等式即可得答案【详解】的定义域为且即有即为偶函数；又时则在递增不等式即为即有可得即有即或解得或则解集为故答
解析：()10,100,100⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭
【分析】
先判断函数为偶函数，再利用导数判断函数在0x >递增，从而将不等式转化为
()()
lg2
f x f
>，进一步可得不等式lg2
x>，解对数不等式即可得答案.【详解】
()2
sin cos
f x x x x x
=++的定义域为R，
且()()()()()22
sin cos sin cos
f x x x x x x x x x
-=--+-+-=++，
即有()()
f x f x
-=，即()
f x为偶函数；
又0
x>时，()()
sin cos sin22cos0
f x x x x x x x x
'=+-+=+>，
则()
f x在0
x>递增，
不等式
()
()
1
lg lg
2
2
f x f
x
f
⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭>，
即为
()()
()
lg lg
2
2
f x f x
f
+-
>，
即有()()
lg2
f x f
>，
可得()()
lg2
f x f
>，
即有lg2
x>，
即lg2
x>或lg2
x<-，
解得100
x>或1
100
x
<<，
则解集为()
1
0,100,
100
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
.
故答案为：()
1
0,100,
100
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
.
【点睛】
本题考查函数奇偶性、单调性的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意偶函数(||)()
f x f x
=这一性质的应用.
三、解答题
21．（1）22
y x
=-+；（2）答案见解析；（3）()(]
,00,1
-∞.
【分析】
（1）求出切点坐标和切线的斜率即得解；
（2）先求导再对a分类讨论即得函数的单调区间；
（3）任意的[)
1,
x∈+∞，()
min
f x≥，再对a分类讨论即得解.
【详解】
（1）3a =时，()2113ln 22
f x x x =--，()10f = ()3f x x x
'=-，()12f '=- ∴()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为22y x =-+
所以所求的切线方程为22y x =-+; （2）()()20a x a f x x x x x
-'=-=> ①当0a <时，()20x a f x x
-'=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,∞+
②当0a >时，令()0f x '=，解得x =x =
所以函数f x 的递增区间为+∞，递减区间为( 当0a <时，()20x a f x x
-'=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,∞+;
当0a >时，函数()f x 的递增区间为)+∞，递减区间为(. （3）对任意的[)1,x ∈+∞，使()0f x ≥成立，只需任意的[)1,x ∈+∞，()min 0f x ≥ ①当0a <时，()f x 在[)1,+∞上是增函数，
所以只需()10f ≥，
而()111ln1022
f a =--=， 所以0a <满足题意；
②当01a <≤时，01<≤，()f x 在[)1,+∞上是增函数，
所以只需()10f ≥
而()111ln1022
f a =--=， 所以01a <≤满足题意；
③当1a >1>，()f x 在⎡⎣上是减函数，)+∞上是增函数，
所以只需0f ≥即可，
而()10f f <=，
从而1a >不满足题意； 综合①②③实数a 的取值范围为()
(],00,1-∞. 【点睛】
方法点睛：用导数求函数的单调区间的步骤：求函数的定义域D →求导'()f x →解不等式'()f x ＞()<0得解集P →求D P ⋂,得函数的单调递增（减）区间.求函数的单调区间是函数的必备基本功，要熟练掌握灵活运用.
22．（1）()()321200075f x x x =-
>；（2）25万件 【分析】
（1）设2k p x =
，代入100x =，50p =求出k 的值，然后由已知给出的关系式列式即可；
（2）求出（1）中所得函数的导函数，利用导数求函数的极大值，即可得函数的最大值
【详解】
（1）依题意：设2k p x =
，代入100x =，50p =得：41025k =⨯，
∴p
=，故()()321200075
f x x x =-> （2）由(1)得()26
75f x x '=
- 则()260025
75
f x x x '>⇔>⇔<< 所以函数()f x 在()0,25上递增，在()25,+∞上递减，所以函数()f x 在25x =处有极大 值：因为()f x 在0,
上只有唯一极值，所以函数()f x 在25x =处有最大值； 故当生产该饰品25万件时，可以获得最大利润． 【点睛】
此题考查了函数的模型的选择及应用，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题 23．（1）21ln ()x x f x x +=
；（2）12a ≥. 【分析】
（1）求导3ln 4()x x x a f x x --'=，由已知得(1)1f '=-，求出12
a =得解 （2）求导2()34g x x x '=-得到()g x 在(12)32， 上的最大值为1()12g =
转化11()1,x f x ⋅≥ 得到1112ln a x x x ≥-在113
[,]22
x ∈恒成立.构造函数
1111()ln ,h x x x x =-求得1()h x 的最大值为(1)1h =，得解
【详解】
（1）3
ln 4()x x x a f x x --'=， ∵曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与30x y -+=垂直，∴(1)1f '=-， 12a ∴=.2
1ln ()x x f x x +∴= （2）2()34g x x x '=-， ∴14
(,)23x ∈，()0g x '<，43(,)32x ∈，()0g x '>，
∴()g x 在14(,)23上递减，在43(,)32上递增，
∴()g x 在14
(,)23上的最大值为131()1,()224
g g ==较大者，即()1g x ≤， ∵对于任意的113[,]22x ∈，都有112()()x f x g x ⋅≥成立，
∴11()1,x f x ⋅≥ 111
2ln 1,a x x x +∴≥ 即对任意的111113(,),2ln 22
x a x x x ∈≥-成立.
令1111()ln ,h x x x x =-， 11()ln h x x '=-， ∴11(,1)2x ∈，1()0h x '>，13(1,)2x ∈，1()0h x '<，
∴1()h x 在1(,1)2上递增，在3(1,)2上递减，1()h x 的最大值为(1)1h =，
∴21a ≥，12
a ≥
. 【点睛】
本题考查函数导数几何意义及利用导数研究函数最值及不等式恒成立求参数范围.属于基础题.
24．（1）6x ＋2y －1＝0.；（2）15e －3.
【解析】
试题分析：（I ）根据已知中f （x ）=x 3+ax 2+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x ），结合f'（1）=2a ，f'（2）=﹣b ，计算出参数a ，b 的值，然后求出f （1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程．
（II ）根据g （x ）=f′（x ）e ﹣1求出函数g （x ）的解析式，然后求出g （x ）的导数g'（x ）的
解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g （x ）的极值．
解：（I ）∵f （x ）=x 3+ax 2+bx+1∴f'（x ）=3x 2+2ax+b ．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a ，解得b=﹣3
令x=2，得f'（2）=12+4a+b=﹣b ，因此12+4a+b=﹣b ，解得a=﹣，因此f （x ）=x 3﹣x 2﹣3x+1
∴f （1）=﹣，
又∵f'（1）=2×（﹣）=﹣3，
故曲线在点（1，f （1））处的切线方程为y ﹣（﹣）=﹣3（x ﹣1），即6x+2y ﹣1=0．
（II ）由（I ）知g （x ）=（3x 2﹣3x ﹣3）e ﹣x
从而有g'（x ）=（﹣3x 2+9x ）e ﹣
x 令g'（x ）=0，则x=0或x=3
∵当x ∈（﹣∞，0）时，g'（x ）＜0，
当x ∈（0，3）时，g'（x ）＞0，
当x ∈（3，+∞）时，g'（x ）＜0，
∴g （x ）=（3x 2﹣3x ﹣3）e ﹣x 在x=0时取极小值g （0）=﹣3，在x=3时取极大值g （3）=15e ﹣3
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及方程组的求解等有关问题，属于中档题．
25．（1）答案见解析；（2）10,
e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】
（1）当1a =时，求导得到()111x f x x x -'=-
=，然后解不等式()0f x '<和()0f x '>即可..
（2）由()1f x a x '=-，当0a ≤时，()10f x a x
'=-<，()f x 单调减不成立，当0a >时，()11a x a f x a x x
⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-=，易得1x a =是()f x 的极小值点，然后分1a e ≥，10a e
<<两种情况，利用零点存在定理求解. 【详解】
（1）当1a =时，由()111x f x x x
-'=-=， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；
当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；.
（2）由()1f x a x
'=-， 若0a ≤，()10f x a x
'=-<， ()f x 单调减，()f x 最多有一个零点，不合题意；
若0a >，()11a x a f x a x x
⎛⎫- ⎪⎝
⎭'=-=， 当10,x a ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，()f x 单调减； 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，()f x 单调增， 则1x a
=是()f x 的极小值点， （i ）若111110ln 1ln 0a e f a e e a a a a ⎛⎫≥⇒<≤⇒=⋅-≥-= ⎪⎝⎭
， 此时，()f x 最多有一个零点，不合题意；.
（ii ）当111110ln 1ln 0a e f a e e a a a a ⎛⎫<<⇒>⇒=⋅-<-= ⎪⎝⎭
， 又1110f a e e ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭，故在11,
e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，()
f x 有一个零点， 又∵10,
x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减， 在10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
内，()f x 有且只有一个零点. 由（1）知，ln 1ln11x x -≥-=，等号仅当1x =时成立，
22442222ln 2ln 2f a a a a a
a ⎛⎫⎛⎫=⋅-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故在214,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
内，()f x 有一个零点， 又∵1,x a ⎛⎫∈+∞
⎪⎝⎭时，()f x 单调增， 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
内，()f x 有且只有一个零点.
所以a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题主要考查函数的单调性与导数以及函数的零点与导数，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
26．（1）y x =；（2）3a
=-. 【分析】
（1）求出导函数，结合()f x 在23
x =
处取极值，导函数为0，求解a ，然后求解切线的斜率，求解切线方程．
（2）令()0f x '=，求出极值点，若0a ，若32a -，若302a >>-，判断导函数的符号判断函数的单调性求解函数的极值与最值，然后推出结果．
【详解】 解：（1）∵2()3()3f x x x a '=+，又()f x 在23
x =处取极值， ∴2()03
f '=得1a =-， 当1a =-时2()33f x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，函数在(),0-∞和2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，满足题意；
∴32()1f x x x =-+，切点为(1,1)，切线斜率为(1)1k f '==
∴()f x 在点(1,1)的切线方程为y x = （2）∵2()3()3a f x x x '=+，令()0f x '=得0x =或23
a - 若0a ≥，则(0,1)x ∈时()0f x '>，()f x 在[0，1]为增函数
此时min ()(0)11f x f ==>-舍去
若32a ≤-，则213
a -≥，此时(0,1)x ∈时()0f x '<，()f x 在[0，1]为减函数 min ()(1)21f x f a ==+=-，得33(,)2
a =-∈-∞-满足题意 若302a >>-，则2013
a <-<，此时2(0,)3x a ∈-时()0f x '<，2(,1)3a x ∈-时()0f x '> ()f x 在2(0,)3a -单调递减，在2(,1)3
a -单调递增，
此时3min
24()()11327a a f x f =-=+=-解得3(,0)2a =-舍去 综合以上得3a
=-
【点睛】
本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于难题．。