2019-2020学年数学人教A版选修4-1课件：第1讲 第1课时平行线等分线段定理
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第1课时 平行线等分线段定理
1．平行线等分线段定理： 如果一组平行线在_一__条__直__线___上截得的__线__段____相等，那 么在其他__直__线____上截得的线段也相等．
2．推论1： 经过三角形一边的__中__点____与另外一边平行的直线必平分 第三边． 3．推论2： 经过梯形一腰的__中__点____，且与底边平行的直线平分另一 腰．
1 ． 如 图 ， AB∥CD ， AO ＝ OD ， BC ＝ 4，则CO＝____.
【答案】2
2．平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于 O，过
O 点作 AD 的平行线分别交 AB，CD 于 M，N，则ABMM＝______，
DCNN＝______. 【答案】1 1
3．如图所示，已知a∥b∥c，直线AB与a，b，c分别交于点 A，E，B，直线CD与a，b，c分别交于点C，E，D，若AE＝ EB，则有( )
1．如图所示，a∥b∥c，那么下列结论中错误的是( ) A．由 AB＝BC 可得 FG＝GH B．由 AB＝BC 可得 OB＝OG C．由 CE＝2CD 可得 CA＝2BC D．由 GH＝12FH 可得 CD＝DE 【答案】B
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边
【例2】 如图所示，已知在△ABC中，D是 AC 的 中 点 ， DE∥BC ， 交 AB 于 点 E ， EF∥AC ， 交 BC于点F，求证：BF＝CF.
【解题探究】 本题的关键是先证明AN∥CM，然后根据
点M，N分别是□ABCD的边AB，CD的中点，易得点E为BF的 中点，点F为DE的中点，故可得BE＝EF＝FD．
【解析】BE＝EF＝FD．证明如下： ∵M，N分别是□ABCD的边AB，CD的中点，
∴AM＝CN，AM∥CN. ∴四边形ANCM为平行四边形． ∴AN∥CM.
5．在几何证明题中，有很多以中点为条件的证明问题， 合理选取中点，巧妙地运用三角形、梯形中位线的性质，可以 使问题得到有效解决．另外，要注意灵活运用三角形、平行四 边形、等腰梯形的有关定理及性质．
6．平行线等分线段定理应在有线段的中点时应用，在没 有线段的中点时应先构造线段的中点，然后才能应用定理及其 推论证题．
2．如图所示，在△ABC 中，E 是 AB 的中点，CD＝12AD，
EF∥BD，EG∥AC 交 BD 于点 G.若 EG＝5，则 AC＝( )
A．10
B．15
C．20
D．25
【答案】B
经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直 线平分另一腰
【 例 3】 如 图 所 示 ， 已 知 在 梯 形 ABCD 中 ， AD∥BC ， ∠ ADC ＝ 90° ， E 是 AB 边 的 中
点击进入WORΒιβλιοθήκη 链接3．顺次连接等腰梯形各边中点得到的四边形是( )
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
【答案】B
1．定理中的“平行线组”是每相邻两条的距离都相等的 特殊的平行线组．
2．求作等分点或证线段相等常常考虑用平行线等分线段 定理．
3．被平行线组所截的两条直线的相对位置不影响定理的 结论．
4．推论1、推论2是平行线等分线段定理的特殊情形．
在三角形ABF中， ∵AF∥ME，且M为AB的中点， ∴E为BF的中点，故BE＝EF. 同理，在三角形CDE中， ∵CE∥NF，且N为CD的中点， ∴F为DE的中点，故DF＝EF.
∴BE＝EF＝FD．
平行线等分线段定理应在有线段的中点时应 用，在没有线段的中点时应先构造线段的中点，然后才能应用 定理及其推论证题．
【解题探究】 D是AC的中点，利用推论1知E是AB的中 点，再利用推论1得F是BC的中点．
【证明】在△ABC中，∵D是AC的中点，DE∥BC， ∴E是AB的中点(根据推论1)． 又∵EF∥AC且交BC于点F， ∴F是BC的中点(根据推论1)． ∴BF＝CF.
在三角形中，只要给出一边的中点和平行 线，根据平行线等分线段定理的推论1，就可得出平行线与另 一边的交点即是中点．本题也可以利用平行四边形和全等三角 形来证明．
A．AE＝CE B．BE＝DE C．CE＝DE D．CE >DE 【答案】C
4．如图所示，AB∥CD∥EF且AO＝OD＝DF，BC＝6，则
BE等于( )
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】A
平行线等分线段定理
【例1】 如图所示，已知M，N分别是▱ABCD的边AB， CD的中点，CM交BD于点E，AN交BD于点F，请你探讨三条线 段BE，EF，FD之间的关系，并给出证明．
点，连接ED，EC，求证：ED＝EC．
【思路分析】 在梯形中，若已知一腰的中点，一般过这 点作底边的平行线即可得到另一腰的中点，所以由E是AB边的 中 点 ， 作 EF∥BC 交 DC 于 点 F ， 即 可 得 EF⊥DC 且 F 是 CD 的 中 点，从而利用中垂线的性质得到结论．
【证明】过点E作EF∥BC交DC于点F. 因为在梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AD∥EF∥BC．
又因为E是AB边的中点， 所以F是DC边的中点(根据推论2)． 因为∠ADC＝90°，所以∠DFE＝90°. 所以EF⊥DC于点F. 又因为F是DC的中点，所以EF是DC的垂直平分线．所以 ED＝EC(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)．
证明不在同一直线上的两条线段相等，可以 根据等腰三角形的两腰相等，或根据全等三角形对应边相等来 证明．
1．平行线等分线段定理： 如果一组平行线在_一__条__直__线___上截得的__线__段____相等，那 么在其他__直__线____上截得的线段也相等．
2．推论1： 经过三角形一边的__中__点____与另外一边平行的直线必平分 第三边． 3．推论2： 经过梯形一腰的__中__点____，且与底边平行的直线平分另一 腰．
1 ． 如 图 ， AB∥CD ， AO ＝ OD ， BC ＝ 4，则CO＝____.
【答案】2
2．平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于 O，过
O 点作 AD 的平行线分别交 AB，CD 于 M，N，则ABMM＝______，
DCNN＝______. 【答案】1 1
3．如图所示，已知a∥b∥c，直线AB与a，b，c分别交于点 A，E，B，直线CD与a，b，c分别交于点C，E，D，若AE＝ EB，则有( )
1．如图所示，a∥b∥c，那么下列结论中错误的是( ) A．由 AB＝BC 可得 FG＝GH B．由 AB＝BC 可得 OB＝OG C．由 CE＝2CD 可得 CA＝2BC D．由 GH＝12FH 可得 CD＝DE 【答案】B
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边
【例2】 如图所示，已知在△ABC中，D是 AC 的 中 点 ， DE∥BC ， 交 AB 于 点 E ， EF∥AC ， 交 BC于点F，求证：BF＝CF.
【解题探究】 本题的关键是先证明AN∥CM，然后根据
点M，N分别是□ABCD的边AB，CD的中点，易得点E为BF的 中点，点F为DE的中点，故可得BE＝EF＝FD．
【解析】BE＝EF＝FD．证明如下： ∵M，N分别是□ABCD的边AB，CD的中点，
∴AM＝CN，AM∥CN. ∴四边形ANCM为平行四边形． ∴AN∥CM.
5．在几何证明题中，有很多以中点为条件的证明问题， 合理选取中点，巧妙地运用三角形、梯形中位线的性质，可以 使问题得到有效解决．另外，要注意灵活运用三角形、平行四 边形、等腰梯形的有关定理及性质．
6．平行线等分线段定理应在有线段的中点时应用，在没 有线段的中点时应先构造线段的中点，然后才能应用定理及其 推论证题．
2．如图所示，在△ABC 中，E 是 AB 的中点，CD＝12AD，
EF∥BD，EG∥AC 交 BD 于点 G.若 EG＝5，则 AC＝( )
A．10
B．15
C．20
D．25
【答案】B
经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直 线平分另一腰
【 例 3】 如 图 所 示 ， 已 知 在 梯 形 ABCD 中 ， AD∥BC ， ∠ ADC ＝ 90° ， E 是 AB 边 的 中
点击进入WORΒιβλιοθήκη 链接3．顺次连接等腰梯形各边中点得到的四边形是( )
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
【答案】B
1．定理中的“平行线组”是每相邻两条的距离都相等的 特殊的平行线组．
2．求作等分点或证线段相等常常考虑用平行线等分线段 定理．
3．被平行线组所截的两条直线的相对位置不影响定理的 结论．
4．推论1、推论2是平行线等分线段定理的特殊情形．
在三角形ABF中， ∵AF∥ME，且M为AB的中点， ∴E为BF的中点，故BE＝EF. 同理，在三角形CDE中， ∵CE∥NF，且N为CD的中点， ∴F为DE的中点，故DF＝EF.
∴BE＝EF＝FD．
平行线等分线段定理应在有线段的中点时应 用，在没有线段的中点时应先构造线段的中点，然后才能应用 定理及其推论证题．
【解题探究】 D是AC的中点，利用推论1知E是AB的中 点，再利用推论1得F是BC的中点．
【证明】在△ABC中，∵D是AC的中点，DE∥BC， ∴E是AB的中点(根据推论1)． 又∵EF∥AC且交BC于点F， ∴F是BC的中点(根据推论1)． ∴BF＝CF.
在三角形中，只要给出一边的中点和平行 线，根据平行线等分线段定理的推论1，就可得出平行线与另 一边的交点即是中点．本题也可以利用平行四边形和全等三角 形来证明．
A．AE＝CE B．BE＝DE C．CE＝DE D．CE >DE 【答案】C
4．如图所示，AB∥CD∥EF且AO＝OD＝DF，BC＝6，则
BE等于( )
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】A
平行线等分线段定理
【例1】 如图所示，已知M，N分别是▱ABCD的边AB， CD的中点，CM交BD于点E，AN交BD于点F，请你探讨三条线 段BE，EF，FD之间的关系，并给出证明．
点，连接ED，EC，求证：ED＝EC．
【思路分析】 在梯形中，若已知一腰的中点，一般过这 点作底边的平行线即可得到另一腰的中点，所以由E是AB边的 中 点 ， 作 EF∥BC 交 DC 于 点 F ， 即 可 得 EF⊥DC 且 F 是 CD 的 中 点，从而利用中垂线的性质得到结论．
【证明】过点E作EF∥BC交DC于点F. 因为在梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AD∥EF∥BC．
又因为E是AB边的中点， 所以F是DC边的中点(根据推论2)． 因为∠ADC＝90°，所以∠DFE＝90°. 所以EF⊥DC于点F. 又因为F是DC的中点，所以EF是DC的垂直平分线．所以 ED＝EC(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)．
证明不在同一直线上的两条线段相等，可以 根据等腰三角形的两腰相等，或根据全等三角形对应边相等来 证明．