2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(12 圆锥曲线与方程)

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （12圆锥曲线与方程）
一、选择题
1．（2018浙江）双曲线2
21 3
=x y -的焦点坐标是（ ）
A ．(
，0)，
，0) B ．(−2，0)，(2， 0) C ．(0，
)，(0
) D ．(0，−2)，(0，2)
1．.答案：B
解答：∵2
314c =+=，∴双曲线2
213
x y -=的焦点坐标是(2,0)-，(2,0).
2. （2018上海）设P 是椭圆 ²5
x +
²3
y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦
点的距离之和为（ ）
（A ）2 （B ）2
（C ）2 （D ）4
3．（2018天津文、理）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴
的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且
126,d d += 则双曲线的方程为（ ）
（A ）
22139x y -= （B ）22193x y -=（C ）221412x y -= （D ）22
1124
x y -= 3．【答案】A
【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c ，()0c >，则A B x x c ==， 由22
221c y a b
-=可得2b y a =±，
不妨设2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，
据此可得21bc b d c -
，22bc b d c +， 则12226bc
d d b c +===，则3b =，29b =，
双曲线的离心率：2c e a ====，
据此可得2
3a =，则双曲线的方程为22139
x y -
=．故选A ．
4．（2018全国新课标Ⅰ文）已知椭圆C ：22
214
x y
a +=的一个焦点为(20)，
，则C 的离心率为（
） A ．1
3
B ．1
2
C
D
4、答案：C
解答：知2c =，∴2228a b c =+=，a =，∴离心率e =
.
5．（2018全国新课标Ⅰ理）已知双曲线C ：2
213
x y -=，O 为坐标原点，F 为C
的右焦点，过F 的
直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则|MN |=（ ）
A
．3
2
B ．3
C ．D
．4
5. 答案：B
解答：渐近线方程为：2203x
y -=，即y
=，∵OMN ∆
为直角三角形，假设
2ONM π∠=，如图，∴NM k =MN 方程为
2)y x =-.
联立2)
y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩
∴
3(,2N ，即ON =，∴3MON π∠=，∴3MN =，
故选B.
6．（2018全国新课标Ⅰ理）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为2
3
的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
6. 答案：D
解答：由题意知直线MN 的方程为2
(2)3
y x =+，设1122(,),(,)M x y N x y ，与抛物线方程联
立有22(2)34y x y x
⎧=+⎪
⎨⎪=⎩
，可得1112x y =⎧⎨=⎩或2244x y =⎧⎨=⎩，
∴(0,2),(3,4)FM FN ==，∴03248FM FN ⋅=⨯+⨯=.
7．（2018全国新课标Ⅱ文）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且
2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）
A
．1 B
．2- C
D
1- 7．【答案】D
【解析】在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2160PF F ∠=︒，设2PF m =，则1222c F F m ==
，1PF =，
又由椭圆定义可知)
1221a PF PF m =+=+
则离心率
212c c e a a
=
===-，故选D ．
8.(2018全国新课标Ⅱ文、理）双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
则其渐近线方程为（ ）
A
．y = B
．y = C
．y = D
．y =
8．【答案】A
【解析】c e a ==，2222
221312b c a e a a -∴==-=-=
，b a ∴=，因为渐近线方程为b y x a =±
，
所以渐近线方程为y =，故选A ．
9．（2018全国新课标Ⅱ理）已知1F ，2F 是椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左
顶点，点P 在过A
12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心
率为（ ）
A.23 B ．12 C ．13 D ．14
9．【答案】D
【解析】因为12PF F △错误！未找到引用源。

为等腰三角形，12120F F P ∠=︒错误！未找到引用源。

，所以2122PF F F c ==， 由AP 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

得，2tan PAF ∠=，2sin PAF ∴∠=
，2cos PAF ∠=错误！未找到引用源。

，
由正弦定理得22
22
sin sin PF PAF AF APF ∠=
∠错误！未找到引用源。

，
225c a c ∴===+， 4a c ∴=，1
4
e =错误！未找到引用源。

，故选D ．
10．（2018全国新课标Ⅲ文）已知双曲线2
2
221(00)x y C a b a b
-=>>：
，
，则点(4,0)到C
的渐近线的距离为（ ）
A B ．2 C D ．
10．答案：D
解答：由题意c e a ==1b
a
=，故渐近线方程为0x y ±=，则点(4,0)到渐近线的距离
为d ==.故选D.
11．（2018全国新课标Ⅲ理）设12F F ，是双曲线22
221x y C a b
-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是
坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P
则C 的离心率为（
） A B
．2
C
D
11．答案：C
解答：∵2||PF b =，2||OF c =，∴
||PO a =；
又因为1||||PF OP =
，所以1||6PF a =；
在2Rt POF ∆中，22||cos ||PF b
OF c
θ==；
∵在12Rt PF F ∆中，2222121212
||||||cos 2||||PF F F PF b
PF F F c
θ+-=
=⋅⋅， 222222224644633b
b c a b c a c a c
=⇒+-=⇒-=-
223c a ⇒=e ⇒=.
二、填空
1．（2018北京文）已知直线l 过点()1,0且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________．
1．【答案】()1,0
【解析】1a =，24y x ∴=，由抛物线方程可得，24p =，2p =，12
p
=， ∴焦点坐标为()1,0
．
2．（2018北京文）若双曲线()
222104
x y a a -=>，则a =_________
．
2．【答案】4
【解析】在双曲线中，
c ==，且c e a ==
=，22
454a a +=，216a ∴=，04a a >∴=Q ．
3．（2018北京理）已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22
221x y N m n
-=：．若双曲线N 的两条渐近
线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________． 3．【答案】31-；2 【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为3c c +，再根据椭圆定义得32c c a +=，
所以椭圆M 的离心率为2
3113
c a ==-+．
双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为π
3
，
222πtan 33n m ∴==，2222222
34m n m m e m m ++∴===，2e ∴=．
4. （2018上海）双曲线2
214
x y -=的渐近线方程为。

5．（2018江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点(,0)F c 到一条
3
，则其离心率的值是 ▲ ．
5．【答案】2
【解析】因为双曲线的焦点(),0F c 到渐近线b
y x a
=±
即0bx ay ±=的距离为 220
bc bc b c a b
±=
=+，所以3b =，
因此2222223144a c b c c c =-=-=，1
2
a c =，2e =．
6．（2018浙江）已知点P (0，1)，椭圆24
x +y 2
=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________
时，点B 横坐标的绝对值最大．
6.答案：5
解答： 方法一：设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 当直线斜率不存在时，9m =，20x =.
当直线斜率存在时，设AB 为1y kx =+.联立2
241x y m
y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得
22(41)8440k x kx m +++-=，20410mk m ∆>⇒+->，122841
k
x x k +=-
+，
122
4441
m
x x k -=
+. ∵2AP PB =，∴122x x =-，解得121641k x k -=
+，2
2841
k
x k =+. ∴228821
414k x k k k
==≤++（当且仅当1
2k =
时取“=”）. 122216884141k k x x k k -=
⋅=-++，122
442241m
x x m k -==-+，得5m =， ∴当5m =时，点B 横坐标最大.
方法二：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,1)AP x y =--，22(,1)PB x y =-， ∵2AP PB =，∴12
12
232x x y y =-⎧⎨
=-⎩，
∴22
222222
(2)(32)(1)4
(2)
4x y m x y m ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，由(1)(2)得234m y +=.(3)
将(3)代入(2)，得22
2(5)164m x --+=
，
∴当5m =时，2x 取最大值.
7．（2018全国新课标Ⅲ理）已知点()11M -，
和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________．
7．答案：2
解答：依题意得，抛物线C 的焦点为(1,0)F ，故可设直线:(1)AB y k x =-，联立2
(1),
4,
y k x y x =-⎧⎨
=⎩消去y 得2
2
2
2
(24)0k x k x k -++=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122
24
k x x k
++=，121x x =，∴
12124
()2y y k x x k k
+=+-=
，2121212[()1]4y y k x x x x =-++=-.又11(1,1)MA x y =+-，22(1,1)MB x y =+-，∴1212(1)(1)(1)(1)MA MB x x y y ⋅=+++-- 12121212()1()1x x x x y y y y =++++-++22244
11410k k k
+=+
+--+=， ∴2k =.
三、解答题
1．（2018北京文）已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>
k 的直
线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ． （1）求椭圆M 的方程；
（2）若1k =，求||AB 的最大值；
（3）设()20P -,，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，
D 和点7142Q ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
,共线，求k ．
1．【答案】（1）2
213
x y +=；（2
；（3）1．
【解析】（1
）由题意得2c =
c =
又c e a ==
a =2221
b a
c =-=，
所以椭圆M 的标准方程为2
213
x y +=．
（2）设直线AB 的方程为y x m =+，
由22
13
y x m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩消去y 可得22
46330x mx m ++-=， 则()
22236443348120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，
设()11A x y ,，()22B x y ,，则1232m
x x +=-，212334m x x -=，
则
AB ==
， 易得当20m
=时，max ||AB =
，故AB 的最大值为． （3）设()11A x y ,，()22B x y ,，()33C x y ,，()44D x y ,，
则221133x y += ①，222
233x y += ②， 又()20P -,
，所以可设1112
PA y
k k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由()122
213
y k x x y =++=⎧⎪⎨⎪⎩消去y 可得()
222211113121230k x k x k +++-=，
则2113211213k x x k +=-+，即2
1312
11213k x x k =--+，
又1112y k x =
+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以1
3147
y y x =+， 所以11117124747x y C x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,，同理可得22227124747x y
D x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,．
故3371,44QC x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭uuu r ，447144QD x y ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭uuu r ,，
因为Q ，C ，D 三点共线，所以3443717104444x y x y ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
将点C ，D 的坐标代入化简可得12
12
1y y x x -=-，即1k =．
2.（2018北京理）已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．
（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11
λμ
+为定值．
2．【答案】（1）取值范围是()()(),33,00,1-∞--U U ；（2）证明过程见解析． 【解析】（1）因为抛物线22y px =经过点()1,2P ， 所以42p =，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为()10y kx k =+≠．
由24 1
y x y kx =+⎧⎨⎩=得()222410k x k x +-+=． 依题意()2
224410k k ∆=--⨯⨯>，解得0k <或01k <<．
又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点()1,2-，从而3k ≠-， 所以直线l 斜率的取值范围是()()(),33,00,1-∞--U U ． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ．
由（1）知12224k x x k -+=-
，12
2
1
x x k =，直线PA 的方程为()112–211y y x x -=--． 令0x =，得点M 的纵坐标为1
11121
2211
M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为221
21
N kx y x -+=
+-． 由=QM QO λuuur uuu r ，=QN QO μuuu r uuu r
得=1M y λ-，1N y μ=-．
()()()2212121212122
22421111111121111111
M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+
-+--∴+=+=+=⋅=⋅
=------， 所以11
λμ
+为定值．
3. （2018上海） 设常数t >2，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x=t ，曲线τ：²8y x =00x t y （≦≦，≧）
，l 与x 轴交于点A ，与τ交于点B ，P 、Q 分别是曲线τ与线段AB 上的动点。

（1） 用t 为表示点B 到点F 的距离； （2）设t =3，2FQ =∣∣，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；
（3）设t =8，是否存在以
FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在τ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由。

4
．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C
过点
1
)2
，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．
（1）求椭圆C 及圆O 的方程；
（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．
①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；
②直线l 与椭圆C
交于,A B 两点．若OAB △，
求直线l 的方程．
4．【答案】（1）椭圆C 的方程为2
214
x y +=；圆O 的方程
为223x y
+=； （2）①点P
的坐标为
)
；②直线l 的方程为y =
+．
【解析】（1）因为椭圆C
的焦点为()1F ，)
2
F ，
可设椭圆C 的方程为()222210x
y a b a b +=>>．又点12⎫⎪⎭在椭圆C 上，
所以2222311
43a b
a b +=-=⎧⎪⎨⎪⎩，解得2241a b ==⎧⎨⎩，因此，椭圆C 的方程为2214x y +=． 因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．
（2）①设直线l 与圆O 相切于()()00000,,0P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为()000
0x y x x y y =-
-+，即000
3
x y x y y =-+． 由2
2000143x y x y x y y ⎧⎪⎪⎨+==-+⎪⎪⎩
，消去y ，得()222200004243640x y x x x y +-+-=．（*）
因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，
所以()()()()
2
2222200000024443644820x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为0x ，00y >
，所以0x =01y =． 因此，点P
的坐标为
)
．
②因为三角形OAB
，所以1
2AB OP ⋅=，从而AB =． 设()11,A x y ，()22,B x y ，由（*）得12x =，
所以()()()()22
22
2
002012122222000
48214y x x AB x x y y y x y -⎛⎫=-+-=+⋅ ⎪⎝⎭+． 因为22003x y +=， 所以()
()
2022
2
16232
49
1x AB x
-==
+，即42
002451000x x -+=， 解得2052x =
（2
020x =舍去）
，则201
2y =，因此P
的坐标为． 综上，直线l 的方程为y =+．
5．（2018浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，
B 满足P A ，PB 的中点均在
C 上．
P
M
B
A
O
y x
（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；
（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24
y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围． 5.答案：（1）略；（2
）. 解答：（1）设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，2
2
2(,)4
y B y ，
则PA 中点为20011(,)282x y y y ++，由AP 中点在抛物线上，可得2
20101()4()228
y y x y +=+，
化简得22
10100280y y y x y -+-=，显然21y y ≠，
且对2y 也有2220200280y y y x y -+-=，
所以12,y y 是二次方程22000280y y y x y -+-=的两不等实根，
所以1202y y y +=，12
02
M P y y y y y +=
==，即PM 垂直于x 轴. （2）121
()(||||)2
M P M M S x x y y y y =--+-0121()||2M x x y y =--，
由（1）可得1202y y y +=，2
12008y y x y =-，
2220000012(2)4(8)8(4)0()y x y y x y y ∆=--=->≠，
此时00(,)P x y 在半椭圆2
2
1(0)4
y x x +=<上， ∴2
220000008(4)8[4(1)4]32(1)y x x x x x ∆=-=--=--， ∵010x -≤<，∴0∆>，
∴12||y y -=
==， 22222
20000121212
000042(8)6(44)()2||38888M P y x y x y y y y y y x x x x x x ---++--=-=-=-=-
2
003(1)x x =--，
所以23
012001()||2
M S x x y y x x =--=--=，
t =
，所以3S =∈，
即PAB ∆
的面积的取值范围是.
6．（2018天津文）设椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的右顶点为A，上顶点为B.
，||
AB=
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线:(0)
l y kx k
=<与椭圆交于,P Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限.若BPM
△的面积是BPQ
△面积的2倍，求k的值.
6．【答案】（1）
22
1
94
x y
+=；（2）
1
2
-．
【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知得
2
2
5
9
c
a
=，又由222
a b c
=+，可得23
a b
=．
由AB==,从而3
a=，2
b=．所以，椭圆的方程为
22
1
94
x y
+=．
（2）设点P的坐标为()
11
,x y，点M的坐标为()
22
,
x y，由题意，
21
x x
>>，
点Q的坐标为()
11
,x y
--．由BPM
△的面积是BPQ
△面积的2倍，可得PM PQ
=2，
从而()
2111
2
x x x x
-=--
⎡⎤
⎣⎦，即21
5
x x
=．
易知直线AB的方程为236
x y
+=，由方程组
236
x y
y kx
+=
=
⎧
⎨
⎩
消去y，可得
2
6
32
x
k
=
+
．
由方程组
22
1
94
x y
y kx
⎧
+=
=
⎪
⎨
⎪
⎩
，消去y
，可得
1
x=
21
5
x x
=，
()
532
k
=+，两边平方，整理得2
182580
k k
++=，解得
8
9
k=-，或
1
2
k=-．
当
8
9
k=-时，
2
90
x=-<，不合题意，舍去；
当
1
2
k=-时，
2
12
x=，1
12
5
x=，符合题意．所以，k的值为
1
2
-．
7．（2018天津理）设椭圆
22
22
1
x x
a b
+=(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.
，点A的坐标为(,0)
b
，且FB AB
⋅=.
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l：(0)
y kx k
=>与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.
若
AQ
AOQ
PQ
=∠(O为原点) ，求k的值.
7．【答案】（1）
22
1
94
x y
+=；（2）
1
2
或
11
28
．
【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知有
2
2
5
9
c
a
=，
又由222
a b c
=+，可得23
a b
=．由已知可得，FB a
=
，
由FB AB
⋅=，可得6
ab=，从而3
a=，2
b=．
所以，椭圆的方程为
22
1
94
x y
+=．
（2）设点P的坐标为()
11
,x y，点Q的坐标为()
22
,
x y．
由已知有
12
y y
>>，故12
sin
PQ AOQ y y
∠=-．
又因为2
sin y AQ OAB =∠，而π
4
OAB ∠=，故2AQ =．
由
AQ AOQ PQ
=
∠，可得1259y y =． 由方程组2219
4y kx
x y =+
=⎧⎪
⎨⎪⎩消去x ，可得1y =
易知直线AB 的方程为–20x y +=，
由方程组20y
kx x y =+-=⎧⎨⎩
消去x ，可得221k
y k =+．
由1259y y =，可得()51k +=，
两边平方，整理得25650110k k -+=， 解得12k =，或1128k =．所以，k 的值为12或11
28
．
8．（2018全国新课标Ⅰ文）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交
于M ，N 两点．
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．
8.答案：（1）220y x ++=或220y x --=；（2）见解析
解答：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为2x =，代入22y x =，∴(2,2),(2,2)M N -或
(2,2),(2,2)M N -，∴BM 的方程为：220,y x ++=或220y x --=.
（2）设MN 的方程为2x my =+，设1122(,),(,)M x y N x y ，联立方程22
2x my y x =+⎧⎨=⎩
，得
2240y my --=，∴12122,4y y m y y +==-，11222,2x my x my =+=+，
∴1212
12122244BM BN y y y y k k x x my my +=
+=+
++++ 12
1212
24()0(4)(4)my y y y my my ++==++，
∴BM BN k k =-，∴ABM ABN ∠=∠.
9．（2018全国新课标Ⅰ理）设椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，
点M 的坐标为(2,0).
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.
9.答案：（1
）2)y x =-；
（2）略. 解答：（1）如图所示，将1x =代入椭圆方程得2
112y +=
，得y =
，∴(1,A ，
∴AM k =，∴直线AM
的方程为：2)y x =-
.
（2）证明：当l 斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当l 斜率存在时，设其方程为
(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ，联立椭圆方程有2
2
(1),12y k x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩即2222
(21)4220k x k x k +-+-=，∴2122421k x x k +=+，21222221
k x x k -=+，
1212121212[(23()4]22(2)(2)
AM BM y y k x x x x k k x x x x -+++=+=----22
22124412(4)
21210(2)(2)
k k k k k x x --+++==--，∴AM BM k k =-，∴OMA OMB ∠=∠.
10．（2018全国新课标Ⅱ文、理）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程 （2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
10．【答案】（1）–1y x =；（2）()()223216x y -+-=或()()22
116144x y -++=． 【解析】（1）由题意得()1,0F ，l 的方程为()–1y k x =，()0k >．
设()11,A x y ，()22,B x y ．由()214y k x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得()
2222240k x k x k -++=．
2
16160k ∆=+=，故2122
24k x x k ++=
． 所以()()2122
44
11k AB AF BF x x k +=+=+++=．
由题设知22
44
8k k +=，解得1k =-（舍去），1k =．因此l 的方程为–1y x =． （2）由（1）得AB 的中点坐标为()3,2，所以AB 的垂直平分线方程为
()23y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为()00,x y ，则
()()002
2
0005
11162
y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=
+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩或00116x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为()()223216x y -+-=或()()22
116144x y -++=．
11．（2018全国新课标Ⅲ文）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22
143
x y C +=：交于A ，B 两点．
线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．
（1）证明：1
2
k <-；
（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．
11.答案：见解答： 解答：（1）设直线l 方程为y kx t =+，设11(,)A x y ,22(,)B x y ,
22
14
3y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立消y 得222
(43)84120k x ktx t +++-=， 则2222
644(412)(34)0k t t k ∆=--+>，
得22
43k t +>…①，
且1228234kt x x k -+==+，1212
2
6()2234t
y y k x x t m k +=++==+， ∵0m >，∴ 0t >且0k <.
且2
344k t k
+=-…②.
由①②得222
2
(34)4316k k k ++>，
∴1
2
k >或12k <-.
∵0k <，∴ 1
2
k <-.
（2）0FP FA FB ++=uu r uu r uu r r ，20FP FM +=uu r uuu r r , ∵(1,)M m ，(1,0)F ，∴P 的坐标为(1,2)m -.
由于P 在椭圆上，∴ 214143m +
=，∴3
4
m =，3(1,)2M -， 又2211143x y +=，22
22143
x y +=， 两式相减可得1
2121212
34y y x x
x x y y -+=-⋅-+， 又122x x +=，123
2
y y +=，∴1k =-，
直线l 方程为3
(1)4y x -=--，
即7
4
y x =-+，
∴22
7414
3y x x y ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 消去y 得2
285610x x -+=
，1,2x =
，
||||3FA FB +=+=uu r uu r
， 3||22
FP ==uu r ,
∴||||2||FA FB FP +=.
12．（2018全国新课标Ⅲ理）知斜率为k 的直线l 与椭圆22
143
x y C +
=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．
（1）证明：1
2
k <-；
（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等
差数列，并求该数列的公差．
12．答案：见解答：
解答：
（1）设直线l 方程为y kx t =+，设11(,)A x y ,22(,)B x y ,
22
14
3y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立消y 得222
(43)84120k x ktx t +++-=， 则2222
644(412)(34)0k t t k ∆=--+>，
得22
43k t +>…①，
且1228234kt x x k -+==+，12122
6()2234t
y y k x x t m k
+=++==+， ∵0m >，∴ 0t >且0k <.
且2
344k t k
+=-…②.
由①②得222
2
(34)4316k k k ++>，
∴1
2
k >或12k <-.
∵0k <，∴ 1
2
k <-.
（2）0FP FA FB ++=uu r uu r uu r r ，20FP FM +=uu r uuu r r , ∵(1,)M m ，(1,0)F ，∴P 的坐标为(1,2)m -.
由于P 在椭圆上，∴ 214143m +
=，∴3
4
m =，3(1,)2M -， 又2211143x y +=，22
22143
x y +=，
两式相减可得
12121212
34y y x x
x x y y -+=-⋅-+，
又122x x +=，123
2
y y +=，∴1k =-，
直线l 方程为3
(1)4y x -=--，
即7
4y x =-+，
∴22
7414
3y x x y ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 消去y 得2
285610x x -+=
，1,2x =，
||||3FA FB +=+=uu r uu r
， 3||22
FP ==uu r ,
∴||||2||FA FB FP +=.
∴FA ，FP ，FB 成等差数列，
12122||||||||||c
c c
d FA FB a x a
x x x a a a
=-=-
-+=±-
===±.∴d =.。