高一数学A版必修二第4章《圆与方程》第四章 章末检测 教学课件

章末检测
一、选择题
1.已知圆C ：x 2＋y 2－4x －5＝0，则过点P (1,2)的最短弦所在直线l 的方程是( ) A.3x ＋2y －7＝0 B.2x ＋y －4＝0 C.x －2y －3＝0 D.x －2y ＋3＝0
答案 D
解析 将圆C 的一般方程化成标准方程为(x －2)2＋y 2＝9，∴C (2,0).由题意知，过点P (1,2)的最短弦所在的直线l 应与PC 垂直，故有k l ·k PC ＝－1.由k PC ＝2－01－2＝－2，得k l ＝1
2.∴直线
l 的方程为y －2＝1
2
(x －1)，即x －2y ＋3＝0.
2.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y －9＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 A
解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，x 2＋y 2＋kx －y －9＝0，
得(1＋k 2)x 2＋2kx －9＝0.设直线与圆的两交点的横坐标
为x 1，x 2.∵x 1，x 2关于y 轴对称，∴x 1＋x 2＝－2k
1＋k 2
＝0，∴k ＝0.
3.空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)与B (x ，－1,6)的距离为86，则x 的值为( ) A.2 B.－8 C.2或－8 D.8或－2 答案 C
解析 由空间中两点的距离公式，得(x ＋3)2＋(－1－4)2＋(6－0)2＝(86)2.解得x ＝2或x ＝－8.
4.圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A.外离 B.相交 C.外切 D.内切 答案 B
解析 由圆的方程，知O 1(1,0)，O 2(0,2)，r 1＝1，r 2＝2. 所以|O 1O 2|＝(1－0)2＋(0－2)2＝ 5. 又因为|r 1－r 2|＜5＜r 1＋r 2，所以两圆相交.
5.已知直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( )
A.32
B.34
C.2 5
D.655 答案 D
解析 该圆的圆心为A (2，－3)，半径长r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|2＋6－3|
1＋4＝5，弦长
为2r 2－d 2＝29－5＝4.因为原点到直线的距离为|0－0－3|1＋4＝3
5，
所以S ＝12×4×35
＝65
5.
6.若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程是( ) A.2x ＋y －3＝0 B.x ＋y －1＝0 C.x －y －3＝0 D.2x －y －5＝0
答案 C
解析 设圆心为C ，则C 点坐标为(1,0)且AB ⊥CP ，k CP ＝－1－0
2－1
＝－1，∴k AB ＝1，直线AB 的方程为y ＋1＝x －2即x －y －3＝0.
7.过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为( ) A.4 B.2 C.85 D.12
5
答案 A
解析 P 为圆上一点，则有k OP ·k l ＝－1，而k OP ＝4－1－2－2
＝－34，∴k l ＝4
3.∴a ＝4，∴m ：4x
－3y ＝0，l ：4x －3y ＋20＝0.∴l 与m 的距离为
|20|
42＋(－3)2
＝4.
8.直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是( )
答案 B
解析 由题意，得圆M ：(x －a )2＋(y ＋b )2＝a 2＋b 2.∵圆M 过原点(0,0)，∴排除A ，C 选项.选项B ，D 中，圆心M (a ，－b )在第一象限，∴a ＞0，b ＜0，∴直线ax －y ＋b ＝0经过第一、三、四象限，故B 选项符合.
9.若x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( ) A.5－5 B.5－ 5 C.30－10 5 D.无法确定
答案 C
解析 设P (x ，y )是圆C 上一点.配方，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，圆心坐标为C (1，－2)，半径r ＝5.∵x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，∴要使x 2＋y 2最小，则线段PO 最短.如图，当点P ，O ，C 在同一直线上时，|PO |min ＝|PC |－|OC |＝5－12＋(－2)2＝5－5，即(x 2＋y 2)min ＝30－10 5.
10.当曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，512 B.⎝⎛⎦⎤
13，34 C.⎝⎛⎦⎤512，34 D.⎝⎛⎭⎫512，＋∞
答案 C
解析 曲线y ＝1＋4－x 2是以(0,1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y ＝k (x －2)＋4是过定点(2,4)的直线.
设切线PC 的斜率为k 0，则切线PC 的方程为y ＝k 0(x －2)＋4，圆心(0,1)到直线PC 的距离等于半径2，即|－1－2k 0＋4|1＋k 20＝2，k 0＝5
12. 直线P A 的斜率为k 1＝34.
所以，实数k 的取值范围是512<k ≤34
. 二、填空题
11.已知M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，则过点M 的最长的弦所在直线方程为________. 答案 x －y －3＝0
解析 因为直径是圆的最长的弦，所以圆心(4,1)在所求的直线上. 所以所求的直线方程为y －01－0＝x －3
4－3，
即x －y －3＝0.
12.对于任意实数k ，直线(3k ＋2)x －ky －2＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的位置关系是________. 答案 相切或相交
解析 ∵(3x －y )k ＋2x －2＝0，∴直线恒过点(1,3).又∵点(1,3)在圆上，∴直线与圆相切或相交.
13.以原点O 为圆心且截直线3x ＋4y ＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________. 答案 x 2＋y 2＝25
解析 原点O 到直线的距离d ＝15
32＋4
2＝3，设圆的半径为r ，∴r 2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x 2＋y 2＝25.
14.过点M (3,2)作圆O ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的切线方程是________________. 答案 y ＝2或5x －12y ＋9＝0
解析 由圆的方程可知，圆心为(－2,1)，半径为1，显然所求直线斜率存在，设直线的方程为y －2＝k (x －3)，
即kx －y －3k ＋2＝0，由|－2k －1－3k ＋2|
k 2＋(－1)2
＝1，
解得k ＝0或k ＝5
12，所以所求直线的方程为y ＝2和5x －12y ＋9＝0.
三、解答题
15.已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点. (1)当直线l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程.
解 (1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1,0)，因为直线l 过点P ，C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.
(2)当弦AB 被点P 平分时，直线l 垂直于PC ，直线l 的方程为y －2＝－1
2(x －2)，即x ＋2y
－6＝0.
16.已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0(m ∈R ). (1)判断直线l 与圆C 的位置关系；
(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦AB 的长. 解 (1)直线l 可变形为y －1＝m (x －1)， 因此直线l 过定点D (1,1)，
又12＋(1－1)2＝1<5，
所以点D 在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交. (2)由题意知m ≠0，所以直线l 的斜率k ＝m ， 又k ＝tan 120°＝－3，即m ＝－ 3.
此时，圆心C (0,1)到直线l ：3x ＋y －3－1＝0的距离d ＝|－3|(3)2＋1
2
＝3
2
， 又圆C 的半径r ＝5， 所以|AB |＝2r 2－d 2＝2
5－⎝⎛
⎭
⎫322
＝17. 17.已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.
(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；
(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值时点P 的坐标.
解 (1)将圆C 整理，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当切线在两坐标轴上的截距为0时，设切线方程为y ＝kx ，∴圆心到切线的距离为|－k －2|k 2＋1＝2，即k 2－4k －2＝0，解得k ＝2±6.∴切线
方程为y ＝(2±6)x .
②当切线在两坐标轴上的截距不为0时，设切线方程为x ＋y －a ＝0，∴圆心到切线的距离为|－1＋2－a |2
＝2，即|a －1|＝2，解得a ＝3或－1.
∴切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上所述，所求切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.
(2)∵|PO |＝|PM |，∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2
－2，即2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x
－4y ＋3＝0上.当|PM |取最小值时，|OP |取得最小值，此时直线OP ⊥l ，∴直线OP 的方程为
2x ＋y ＝0.联立方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，解得
⎩⎨⎧
x ＝－310
，
y ＝35，
∴点P 的坐标为⎝⎛⎭
⎫－310，35. 18.如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M 与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于A ，B 两点，另一圆N 与圆M 外切，且与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于C ，D 两点. (1)求圆M 与圆N 的方程；
(2)过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度.
解(1)因为点M的坐标为(3，1)，
所以点M到x轴的距离为1，即圆M的半径长为1，则圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝1.
设圆N的半径长为r，
连接MA，NC，OM，如图所示，
则MA⊥x轴，NC⊥x轴.
由题意，知点M，N都在∠COD的平分线上，
所以O，M，N三点共线.
由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，
OM∶ON＝MA∶NC，
即
2
3＋r
＝
1
r⇒r＝3.
则|OC|＝33，N(33，3)，则圆N的方程为(x－33)2＋(y－3)2＝9.
(2)由对称性可知，所求的弦长等于过点A与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度，此弦
的方程是y＝3－1
33－3(x－3)＝
3
3(x－3)，即x－3y－3＝0，
圆心N到该直线的距离d＝|33－3×3－3|
1＋(3)2
＝
3
2，
则弦长为2r2－d2＝33.。