福建省漳州外国语学校高三数学上学期第二次月考试卷 理(含解析)

福建省漳州外国语学校2015届高三数学上学期第二次月考试卷 理
（含解析）
时量：120分钟 满分：150分
(考试范围：集合，常用逻辑用语，函数，导数及其应用) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．命题：
0R,21x x ∃∈≥的否定是 A ．00R,21x x ∃∈< B ．
0R,21x x ∃∉≥ C ．R,21x x ∀∈≥ D ．R,21x
x ∀∈< 答案：D
2．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是
A ．y ＝－x ＋1
B ．12
y x = C ．y ＝x2－4x ＋5 D ．
1y x =
答案：B
3．设全集U ＝R ，集合A ＝{x | x(x ＋3)＜0}，B ＝{x | x ＜－1}，则右图中阴影部分表示的集合为
A ．{x |－3＜x ＜－1}
B ．{x |－1≤x ＜0}
C ．{x |－3＜x ＜0}
D ．{x |－1＜x ＜0} 答案： B
4．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ） A.充分条件 B.必要条件
C.充分必要条件
D.既非充分又非必要条件 5.
函数y x)=-的定义域为（ ）
A.(0,1)
B.[0,1)
C.(0,1]
D.[0,1]
【解析】选B.要使函数有意义，则x 01x 0≥⎧⎨
->⎩
，解得0x 1≤<.故函数的定义域为[0,1).
6.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x2+x 1
,则f(-1)= ( )
A.-2
B.0
C.1
D.2
【解析】选A. 因为函数f(x)为奇函数，所以f(-1)=- f(1)，又因为当x>0时, f(x) =x2+x 1
，
所以
()11
112+
=f =2，f(-1)=- f(1)=-2.
7.设a=log36,b=log510,c=log714,则 ( )
A.c>b>a
B.b>c>a
C.a>c>b
D.a>b>c
【解题指南】将a,b,c 利用对数性质进行化简,分离出1后,再进行比较大小即可.
【解析】选D.由题意知:a=log36=1+log32=
211,log 3+
5521
log 101log 21log 5b ==+=+
7721
c=log 14=1+log 2=1,
log 7+
因为log23<log25<log27,所以a>b>c,故选D.
8．已知函数f(x)＝(x －a)(x －b)(其中a ＞b)，若f(x)的图象如右图所示，则函数g(x)＝ax ＋b 的图象大致为
A B C D 答案：A
9．设函数f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f(1)＞1且
23
(2)1a f a -=
+，则
A ．
23a <
B ．213a a <≠-且
C ．213a a ><-或
D ．
2
13a -<<
答案：D
10．已知函数
13
()ln 144f x x x x =-
+-，g(x)＝x2－2bx ＋4，若对任意x1∈(0，2)，存在
x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数b 的取值范围是
A ．
17(2,
]8 B ．[1，＋∞] C ．17
[,)8+∞ D ．[2，＋∞]
答案：C
解析：
2(1)(3)
()4x x f x x ---'=
，令f ′(x)＝0得x1＝1，x2＝3∉(0，2)．
当x ∈(0，1)时，f ′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x ∈(1，2)时，f ′(x)＞0，函数f(x)
单调递增，所以f(x)在(0，2)上的最小值为
1
(1)2f =-
．
由于“对任意x1∈(0， 2)，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)”等价于“g(x)在[1，2]
上的最小值不大于f(x)在(0，2)上的最小值1
2-
”． （*）
又g(x)＝(x －b)2＋4－b2，x ∈[1，2]，所以
①当b ＜1时，因为[g(x)]min ＝g(1)＝5－2b ＞0，此时与（*）矛盾； ②当b ∈[1，2]时，因为[g(x)]min ＝4－b2≥0，此时与（*）矛盾； ③当b ∈(2，＋∞)时，因为[g(x)]min ＝g(2)＝8－4b ．
解不等式
1
842b -≤-
，可得178b ≥
． 综上，b 的取值范围是17
[
,)
8+∞．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
11．幂函数f(x)＝x α(α为常数)
的图象经过，则f(x)的解析式是 ． 答案：12
()f x x =
12. 若函数f(x)＝ax －x －a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． (1，＋∞)
13．已知函数()32,0,
4tan ,0,
2x x f x f f x x ππ⎧<⎛⎫⎪
⎛⎫==
⎨ ⎪ ⎪-≤≤⎝⎭⎝⎭⎪⎩则 .
【解析】()tan 144f ππ=-=-，则 (())(1)2
4f f f π
=-=-
14．若函数()(4)2(1)2x
a f x a
x x ⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围
是 ．答案：[4，8)
15．定义min{p ，q}表示p 、q 中的较小者，若函数
214
()min{log ,3log }
f x x x =+，则满
足f(x)＜2的x 的取值范围是 ． 答案：(0，4)∪(4，＋∞)
三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．(本小题满分13分)
计算：（1）25
.021
21
32
5.032
0625.0])32.0()02.0()008.0()94
5()833[(÷⨯÷+---
（2）2
(lg2)lg2lg50lg25+⋅+；
解：（1）原式=41
322132)10000625(]102450)81000()949()278[(÷⨯÷+-
92
2)2917(21]10
24251253794[=⨯+-=÷⨯⨯+-=； （1）原式
22
(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=；
17．(本小题满分13分)
已知a ＞0且a ≠1，设命题p ：函数y ＝ax ＋1在R 上单调递减，命题q ：曲线y ＝x2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果“p ∨q ”为真，且“p ∧q ”为假，求a 的取值范围． 解析：若命题p 为真，则0＜a ＜1． …………2分
若命题q 为真，则(2a －3)2－4＞0，即
1522a a <
>或． …………5分
∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 有且只有一个为真． …………7分
（1）若p 真q 假，则01
151122a a a <<⎧⎪⎨≤<<≤⎪⎩或，∴112a ≤<．…………9分 （2）若p 假q 真，则11522a a a ≥⎧⎪⎨<>⎪⎩
或，∴52a >．…………11分 综上所述，a 的取值范围是15
[,1)
(,)2
2+∞．…………12分
18．(本小题满分13分)
已知函数
2()(0,)a
f x x x a x =+
≠∈R ．
（1）判断函数f(x)的奇偶性；
（2）若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围． 解析：（1）当a ＝0时，f(x)＝x2为偶函数；…………2分 当a ≠0时，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．…………5分
（2）设x2＞x1≥2，
22
12121212121212
()()[()]x x a a f x f x x x x x x x a x x x x --=+
--=⋅+-．…………8分
由x2＞x1≥2得x1x2(x1＋x2)＞16，x1－x2＜0，x1x2＞0， 要使f(x)在 [2，＋∞)上是增函数，只需f(x1)－f(x2)＜0， 即x1x2(x1＋x2)－a ＞0恒成立，则a ≤16．…………12分
另解：
2()2a
f x x x '=-
，要使f(x)在 [2，＋∞)上是增函数，
只需当x ≥2时，f ′(x)≥0恒成立， ………8分
即
220a x x -
≥恒成立．…………10分
∴a ≤2x2．
又x ≥2，∴a ≤16，故当a ≤16时，f(x)在 [2，＋∞)上是增函数． …………12分 19．(本小题满分13分)
某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件多少元？
解析 设售价提高x 元，则依题意 y ＝(1 000－5x)×(20＋x) ＝－5x2＋900x ＋20 000 ＝－5(x －90)2＋60 500.
故当x ＝90时，ymax ＝60 500，此时售价为每件190元． 20．(本小题满分14分)
已知函数f(x)对任意x ，y ∈R ，都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，且x ＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.
(1)求证f(x)是奇函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
(1)证明 令x ＝y ＝0，知f(0)＝0；再令y ＝－x ， 则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数．
(2)解 任取x1＜x2，则x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为减函数．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.
所以f(x)max ＝f(－3)＝6，f(x)min ＝f(3)＝－6. 21．(本小题满分14分)
已知函数
))1(,1()(,)(2
3f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1
（Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；
（Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围
解析：（1）由
.23)(,)(2
23b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得 过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：
).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即
而过.13)]
1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上 故⎩⎨
⎧-=-=+⎩⎨
⎧-=-=++3023
3
23c a b a c a b a 即
∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③
由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴
.542)(2
3+-+=x x x x f （2）).2)(23(443)(2
+-=-+='x x x x x f
当;
0)(,32
2;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时
13)2()(.0)(,132
=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是
13。

（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又
,23)(2
b ax x x f ++='由①知2a+b=0。

依题意)(x f '在[－2，1]上恒有)(x f '≥0，即.032≥+-b bx x
①当
6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥=
b b b f x f b
x 时； ②当
φ∈∴≥++=-'='-≤=
b b b f x f b
x ,0212)2()(,26min 时；
③当.
60,01212)(,1622min ≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时
综上所述，参数b 的取值范围是),0[+∞
① ②。