江苏省菁华学校高三数学 培优补差辅导专题讲座-数列单元易错题分析与练习

数列单元易错题分析
1、如何判断等差数列、等比数列？等差数列、等比数列的通项公式和求和公式如何推导？
2、解决等差（等比）数列计算问题通常的方法有哪两种？
① 基本量方法：抓住)(,1q d a 及方程思想；
②利用等差（等比）数列性质）.
[问题]：在等差数列{}n a 中，369181716-==++a a a a ，其前n S n 项的和为，()求1n S 的最小值；()n n a a a T +++= 212求
3、解决一些等比数列的前n 项和问题，你注意到要对公比1=q 及1≠q 两种情况进行讨论了吗？
4、在“已知n S ，求n a ”的问题中,你在利用公式1--=n n n S S a 时注意到2≥n 了吗？(1=n 时，应有11S a =)
5、解决递推数列问题通常有哪两种处理方法？（①猜证法；②转化为等差（比）数列问题）
[问题]：已知:.,32,111n n n n a a a a 求+==-
6、你知道n
n q ∞→lim 存在的条件吗？（)11≤<-q ,你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗？你知道无穷数列}{n a 的前n 项和与所有项的和的不同吗？什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在？
7、数列的求和问题你能够找到一些办法吗?(倒序相加法、错位相减法、拆项裂项法)
*8数学归纳法证明问题的基本步骤是什么？你注意到“用数学归纳法证明中，必须用上归纳
假设”吗？
1、自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：（1）验证命题对于第一个自然数n ＝n 0 (k ≥n 0)时成立；(2)假设n=k 时成立，从而证明当n=k+1时命题也成立，（3）得出结论.
2、.(1)、（2）两个步骤在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。

第二步证明时要一凑假设，二凑结论.
例题选讲
1、不能正确地运用通项与前n 项和之间的关系解题：
例1、已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项公式a n ：（1）S n ＝5n 2＋3n ；（2）S n ＝n
3－2； 【错解】由公式a n =s n －s n －1得：（1）a n =10n －2; （2）123
n n a -=⋅ 【分析】应该先求出a 1，再利用公式a n =s n －s n －1()2n ≥求解.
【正解】（1）a n =10n －2; （2）11 (1)
23 (2)n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩
2、忽视等比数列的前n 项和公式的使用条件：
例2、求和：(a －1)＋(a 2－2)＋(a 3－3)＋…＋(a n －n ) .
【错解】S =(a ＋(a 2＋a 3＋…＋a n
) －(1＋2＋3＋…＋n )=(1)(1)12n a a n n a -+--. 【分析】利用等比数列前n 项和公式时，要注意公比q 的取值不能为1.
【正解】S =(a ＋(a 2＋a 3＋…＋a n ) －(1＋2＋3＋…＋n )
当a =1时，S =22
n n -；当1a ≠时，S =(1)(1)12n a a n n a -+-- 3、 忽视公比的符号
例3、已知一个等比数列{}n a 前四项之积为
116
的公比． 【错解】四个数成等比数列，可设其分别为33,,,,a a aq aq q q
则有4116a a aq q
⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
1q =
或1q =
，故原数列的公比为23q =+
23q =-
【分析】按上述设法，等比数列{}n a 的公比是2q ，是正数，四项中各项一定同号，而原题
中无此条件，所以增加了限制条件。

【正解】设四个数分别为23,,,,a aq aq aq
则4621
16a q aq aq ⎧=⎪⎨⎪+=⎩
，()42164q q ∴+= 由0q >
时，可得2610,3q q q -+=∴=±
当0q <
时，可得21010,5q q q ++=∴=--
变式、等比数列}{n a 中，若93-=a ，17-=a ，则5a 的值
（A ）是3或－3 （B ） 是3 （C ） 是－3 （D ）不存在
【错解】 }{n a 是等比数列， ∴3a ，5a ，7a 成等比，)1)(9(2
5--=a ＝9，35±=∴a
选A
【分析】3a ，5a ，7a 是}{n a 中的奇数项，这三项要同号。

错解中忽视这一点。

【正解】C
4、 (见手写P 13－25 13)
5、 (见手写P 14－25 14)
6、缺乏整体求解的意识
例6、一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的
和为234，求7a
【错解】设该数列有n 项且首项为a 1，末项为a n ，公差为d
则依题意有 510341510146
22234311a d a d a a n n n +=-=+⋅=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()()
，三个方程，四个未知数，觉得无法求解。

【分析】 在数列问题中，方程思想是常见的思想，使用时，经常使用整体代换的思想。

错解中依题意只能列出3个方程，而方程所涉及的未知数有4个，没有将a a n 1+作为一个整体，不能解决问题。

事实上，本题求a 7，而没有要求其他的量，只要巧用等差中项的性质，2
1317a a a +=
，求出131a a +即可。

知识的灵活应用，来源于对知识系统的深刻理解。

【正解】设该数列有n 项且首项为a 1，末项为a n ，公差为d 则依题意有 510341510146
22234311a d a d a a n n n +=-=+⋅=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()()
，()()12+可得 a a n 136+=，代入(3)有n =13 ， 从而有a a 11336+=， 又所求项a 7恰为该数列的中间项，∴=
+==a a a 7113236218 例7 (1)设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q .
错误解法 ,2963S S S =+ q
q a q q a q q a --⋅=--+--∴1)1(21)1(1)1(916131， .012(363）＝整理得--q q q
1q 24
q ,0)1q )(1q 2(.01q q 20q 3
3336=-=∴=-+∴=--≠或得方程由。

错误分析 在错解中，由q
q a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131， 01q q 2(q 363）＝整理得--时，应有1q 0a 1≠≠和。

在等比数列中，01≠a 是显然的，但公比q 完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比1=q 的情况，再在1≠q 的情况下，对式子进行整理变形。

正确解法 若1=q ，则有.9,6,3191613a S a S a S ===但01≠a ，
即得,2963S S S ≠+与题设矛盾，故1≠q .
又依题意 963S 2S S =+ ⇒ q
q a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131 ⇒ 01q q 2(q 363）＝--,即,0)1)(12(33=-+q q 因为1≠q ，所以,013≠-q 所以.0123=+q 解得 .2
43
-=q 说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。

例题7 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .
(Ⅰ)若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，证明a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列；
(Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明.
证 (Ⅰ) ∵S m ＋1＝S m ＋a m ＋1，S m ＋2＝S m ＋a m ＋1＋a m ＋2．
由已知2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，∴ 2(S m ＋a m ＋1＋a m ＋2)＝S m ＋(S m ＋a m ＋1)，
∴a m ＋2＝－12a m ＋1，即数列{a n }的公比q ＝－12
. ∴a m ＋1＝－12a m ，a m ＋2＝14
a m ，∴2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，∴a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列. (Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是：若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列.
设数列{a n }的公比为q ，∵a m ＋1＝a m q ，a m ＋2＝a m q 2．
由题设，2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，即2a m q 2＝a m ＋a m q ，即2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12
. 当q ＝1时，A ≠0，∴S m ， S m ＋2， S m ＋1不成等差数列.逆命题为假.
例题8 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=－13，62212-=+-++n a a a n n n
（Ⅰ）设}{,1n n n n b a a b 求数列-=+的通项公式；
（Ⅱ）求n 为何值时，n a 最小（不需要求n a 的最小值）
解：（I ）622,1121-=-=+-∴-=++++n b b a a a a a b n n n n n n n n
8
7)()1(6)1()1(6)]1(...21[216
2,....,6)2(2,6)1(2212112211--=-+---=∴---+++=---=---=---=-∴---n n a a n n n b n n b b n b b n b b n b b n n n n n n 个等式相加，得将这
即数列{b n }的通项公式为872--=n n b n
（Ⅱ）若a n 最小，则00.1111≥≤≤≤+-+-n n n n n n b b a a a a 且即且
⎪⎩⎪⎨⎧≤----≥--∴0
8)1(7)1(08722n n n n 注意n 是正整数，解得8≤n ≤9 ∴当n=8或n=9时，a n 的值相等并最小
例题9 已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 关于点(1,1)成中心对称，且f '(1)=0．
（Ⅰ)求函数f (x )的表达式；
（Ⅱ)设数列{a n }满足条件：a 1∈(1,2)，a n +1=f (a n )
求证：(a 1－ a 2)·(a 3－1)+(a 2－ a 3)·(a 4－1)+…+(a n － a n+1)·(a n +2－1)＜1 解：(Ⅰ)由f (x )=x 3+ax 2+bx +c 关于点(1,1)成中心对称，所以
x 3+ax 2+bx +c +(2－x )3+a (2－x )2+b (2－x )+c =2
对一切实数x 恒成立．得：a =－3，b +c =3，
对由f '(1)=0，得b=3，c=0，
故所求的表达式为：f (x )= x 3－3x 2+3x ．
(Ⅱ) a n +1=f (a n )= a n 3－3 a n 2+3 a n (1)
令b n =a n －1，0<b n <1，由代入(1)得：b n +1=3n b ，b n =13
1-n b ， ∴ 1＞b n ＞b n +1 ＞0
(a 1－a 2)·(a 3－1)+(a 2－a 3)·(a 4－1)+…+(a n －a n +1)·(a n +2－1)
=∑=++⋅-n k k k k b b b
121)(＜∑=+-n k k k b b 11)(=b 1-b n +1＜b 1＜1。

例题10、平面直角坐标系中，已知(,)n n A n a 、(,)n n B n b 、*(1,0)()n C n n -∈N ，满足向量
1n n A A +与向量n n B C 共线，且点*(,)()n n B n b n ∈N 都在斜率为6的同一条直线上．
（1）试用11,a b 与n 来表示n a ；
（2）设11,a a b a ==-，且12＜a ≤15，求数列{}n a 中的最小值的项．
解：（1） 点*(,)()n n B n b n ∈N 都在斜率为6的同一条直线上， ∴16(1)n n b b n n
+-=+-，即16n n b b +-=， 于是数列{}n b 是等差数列，故16(1)n b b n =+-．
11(1,)n n n n A A a a ++=-，(1,)n n n B C b =--，又1n n A A +与n n B C 共线，
111()(1)()0,.n n n n n n b a a a a b ++∴⨯----=-=即
∴1213212()()()n n n n a a a a a a a a -=+-+-+
+-当≥时， 11231n a b b b b -=+++++
11(1)3(1)(2)a b n n n =+-+--．
当n ＝1时，上式也成立．
所以a n 11(1)3(1)(2)a b n n n =+-+--．
（2）把11,a a b a ==-代入上式，
得n a =(1)3(1)(2)a a n n n --+--23(9)62.n a n a =-+++
12＜a ≤15，79<426
a +∴≤， 当n =4时，n a 取最小值，∴ 最小值为a 4=18－2a ．
基础练习题
1、已知a 1 = 1，a n = a n －1 + 2n －1(n ≥2)，则a n = ________。

2n －1(认清项数)
2、已知 －9、a 1、a 2、－1 四个实数成等差数列，－9、b 1、b 2、b
3、－1 五个实数成等比数列，
则 b 2 (a 2－a 1) = A(符号)
(A) －8 (B) 8 (C) －98 (D) 98
3、已知 {a n } 是等比数列，S n 是其前n 项和，判断S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列吗？
当q = －1，k 为偶数时，S k = 0，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 不成等比数列；
当q ≠－1或q = －1且k 为奇数时，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列。

（忽视公比q = －1）
4、已知等差数列{a n }的首项a 1=120，d =－4，记S n = a 1＋a 2＋…＋a n ，若S n ≤a n （n ＞1），则n 最小值为……………………………………………………………（ B ）
(A)60 (B)62 (C)63 (D)70
5、在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（C ）
(A) 122n +- (B) 3n (C) 2n (D) 31n -
6、若数列{}n a 中，3
11=a ，且对任意的正整数p 、q 都有q p q p a a a =+，则=n a （A ）131-⎪⎭⎫ ⎝⎛n （B ）n ⎪⎭⎫ ⎝⎛312 （C ）n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛31 （D ）31 ( C) 7、已知数列}{n a 的前n 项和q q a aq S n n ,1,0(1≠≠=-为非零常数），则数列}{n a 为（ ）
（A ）等差数列 （B ）等比数列
（C ）既不是等差数列，又不是等比数列 （D ）既是等差数列又是等比数列
8、设数列{a n }是等比数列，2,51211==
q a ，则a 4与a 10的等比中项为 （ ）
A ．41
B ．81
C ．41±
D ．81± 9、设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则2
12
21)(b b a a +的取值范围是____________.（答：(,0][4,)-∞+∞）。

10、设123,,,,x a a a y 成等差数列，123,,,,x b b b y 成等比数列，则2
1313
()a a b b +的取值范围是____________.（答：[4,)+∞）。

11、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0<d . 若存在正整数(3)m m ≥，使得m m a S =，
则当n m >（*N n ∈）时，有_____n n S a （填“>”、“<”、“=”）． <
12、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 12＞0，S 13＜0，则 S 1a 1，S 2a 2，…，
S 12a 12 中最大的是 B
(A) S 1
a 1 (B) S 6a 6 (C) S 7a 7 (D) S 12a 12
13、已知数列{}n a 为等差数列，则“m n p q +=+”是“m n p q a a a a +=+”的（A ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
易错原因：不注意{}n a 为常数列特殊情况.
14、
“b =,,a b c 成等比数列的 （D ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
易错原因：对等比数列的概念理解不全面.
15、等差数列{}n a 中，若9418,240,30n n S S a -===，则n 的值为 （B ）
A.14
B. 15
C. 16
D.17
易错原因：找不到简捷的解法，用联立方程组求解时发生运算错误.
16、等差数列{}n a 中，1011100,||,n a a a S <>为其前n 项的和，则 （B ）
A.1210,,,S S S ⋅⋅⋅都小于0，1112,,S S ⋅⋅⋅都大于0
B.1210,,,S S S ⋅⋅⋅都小于0，2021,,S S ⋅⋅⋅都大于0
C. 125,,,S S S ⋅⋅⋅都小于0，67,,S S ⋅⋅⋅都大于0
D. 1220,,,S S S ⋅⋅⋅都小于0，2122,,S S ⋅⋅⋅都小于0
易错原因：已知条件1110||a a >不会灵活运用.
17、在等差数列{}n a 中，若3915170a a a a +++=，则11a 的值是 （C ）
A.1
B. 1-
C. 0
D.不能确定 易错原因：找不到3915170a a a a +++=与11a 的关系.
18、若{}n a 为等比数列，4738512,124a a a a ⋅=-+=，若公比q 为整数，则10a =（C ）
A.256
B. 256-
C. 512
D. 512-
易错原因：①未考虑q 为整数；②运算发生错误.
19、数列{}n a 中，112,21n n a a a +==-，则n a 为 （C ）
A.21n +
B. 21n -
C. 121n -+
D. 121n --
易错原因：①对取特殊值排除有些选项的意识不强；②构造新数列有困难.
20、数列{}n x 满足31212313521
n n x x x x x x x x n ===⋅⋅⋅=++++-，且128n x x x ++⋅⋅⋅+=， 则首项1x 等于 （D ）
A.21n -
B.n
C. 821n -
D. 28n
易错原因：①不能熟练地运用比的性质；②对连等式如何变换缺少办法.
1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

如
（1）已知*2()156n n a n N n =
∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125
）； （2）数列{}n a 的通项为1n an a bn =+，其中,a b 均为正数，则n a 与1n a +的大小关系为___（答：n a <1+n a ）；
（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n
a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；
（4）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式
)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （）（答：A ）
A B C D
2.等差数列的有关概念：
（1）等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n
n n a a a a n +--=-≥。

如 设{}n a 是等差数列，求证：以bn=n a a a n
+++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差
数列。

（2）等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

如
（1）等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）；
（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833d <≤）
（3）等差数列的前n 和：
1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。

如 （1）数列{}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，
32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝＿，n ＝＿（答：13a =-，10n =）；
（2）已知数列{}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列
{||}n a 的前n 项和n T （答：2*2*12(6,)1272(6,)n n n n n N T n n n n N ⎧-≤∈⎪=⎨-+>∈⎪⎩）.
（4）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且
2a b A +=。

提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S
，
其中1a 、d 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）
3.等差数列的性质：
（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n
a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和
211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数
且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有
2m n p
a a a +=.如（1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____
（答：27）； （2）在等差数列{}n a 中，10
110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则A 、1210,S S S 都小于0，1112,S S 都大于0 B 、1219,S S S 都小于0，2021
,S S 都大于0 C 、125,S S S 都小于0，67,S S 都大于0 D 、1220,S S S 都小于0，2122
,S S 都大于0 （答：B ）
(4) 若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、
*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；若{}n
a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列. 如等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 。

（答：225）
（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd
=偶奇－；项数为奇数21n -时，S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-⋅中（这里a 中即n a ）；:(1):奇偶S S k k =+。

如
（1）在等差数列中，S11＝22，则6a ＝______（答：2）；
（2）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.
（6）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()
n
n A f n B =，则
21
21
(21)(21)
(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.如设{}n a 与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分
别为n S 和n T ，若3413-+=
n n T S n
n ，那么=n n b a ___________（答：6287n n --） (7)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差
数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。

法一：由不等式组
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*
n N ∈。

上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如
（1）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

（答：前13项和最大，最大值为169）；
（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，
200320040a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 （答：4006）
(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新
等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究
n m a b =.
4.等比数列的有关概念：
（1）等比数列的判断方法：定义法1(n n a q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或11n n
n n a a a a +-=
(2)n ≥。

如
（1）一个等比数列{}n a 共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则
1n a +为____
（答：5
6）；
（2）数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b ｝
是等比数列。

（2）等比数列的通项：11n n a a q -=或n m
n m a a q -=。

如设等比数列{}n a 中，1
66n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝126，求n 和公比q . （答：6n =，
1
2q =
或2）
（3）等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，
1(1)1n n a q S q -=
- 11n a a q
q -=
-。

如（1）等比数列中，q ＝2，S99=77，求9963a a a +++ （答：44）；（2）
)
(10
10
∑∑==n n
k k
n
C
的值为__________（答：2046）；
特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q
是否为1时，要对
q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。

（4）等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。

提醒：不是任何两
数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。

如已知两个正数
,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为______（答：A ＞B ）
提醒：（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，
其中
1a 、q 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即
知3求2；
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，22
,,,,a a
a aq aq q q …
（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为 (3)
3
,,,aq aq q a q a ，…，因公比不一定为正
数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2
q 。

如有四个数，其中前三个数成等差数列，
后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求
此四个数。

（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
5.等比数列的性质：
（1）当m n p q +
=+时，则有
m n p q
a a a a =，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a =.
如
（1）在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答：
512）；
（2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=，则3132310log log log a a a +++=
（答：10）。

(2) 若{}n a 是等比数列，则{||}n a 、*{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列；若{}{}n
n a b 、成等比数列，则{}n n a b 、{}
n n a
b 成等比数列； 若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列
232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列。

当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…是常数数列0，它不是等比数列. 如
（1）已知0a >且1a ≠，设数列{}n x 满足1
l o g 1
l o g a n a n x
x +=+(*)n N ∈，且
12100
100x x x
++
+=，则101102200x x x +++= . （答：100100a ）；
（2）在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则20S 的值
为______（答：40） (3)若
10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n
a 为递减数列；若
10,01a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n
a 为递增数列；
若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则
{}n a 为常数列.
(4) 当1q ≠时，
b aq q a
q q a S n n n +=-+--=
1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，这是
等比数列前n 项和公式的一个特征，据此很容易根据
n S ，判断数列{}n
a 是否为等比数列。

如若{}n a 是等比数列，且
3n
n S r =+，则r ＝ （答：－1） (5) m n
m n m n n m S S q S S q S +=+=+.如设等比数列{}n
a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为_____（答：－2）
(6) 在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，
S qS =偶奇
；项数为奇数21n -时，
1S a qS =+奇偶
.
(7)如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列，故常数数列
{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

如设数列{}n a 的前n 项和
为n S （N ∈n ）， 关于数列{}n a 有下列三个命题：①若)(1
N ∈=+n a a n n ，则{}n a 既是等
差数列又是等比数列；②若()R ∈+=b a n b n a S n 、2
，则{}n
a 是等差数列；③若()n
n S 11--=，则{}n
a 是等比数列。

这些命题中，真命题的序号是 （答：②③）
6.数列的通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

如已知数列
,32
19,1617,815,413试写出其一个通项公式：__________（答：
11
212n n a n +=++
）
⑵已知
n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{
11,(1)
,(2)
n n n S n a S S n -==
-≥。

如
已知{}n a 的前n 项和满足
2log (1)1n S n +=+，求n a （答：
{
3,12,2
n n n a n ==
≥）；
②数列{}n a 满足12211
1252
22n n a a a n ++
+
=+，求n a （答：{
114,1
2,2n n n a n +==≥）
⑶已知
12
()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)()
,(2)
(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。

如数列{}n a 中，
,11=a 对所有的2≥n 都有2
321n a a a a n = ，则=+53a a ______（答：61
16）
⑷若
1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+
+-
1a +(2)n ≥。

如已知数列{}n
a 满足11a =，
n n a a n n ++=
--11
1(2)n ≥，则
n a =________
（答：1n a =）
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，
用累乘法：12
1
12
1n n n n n a a
a a a a a a ---=⋅⋅
⋅
⋅(2)n ≥。

如已知数列}{n
a 中，21=a ，前n 项和n S ，若
n n a n S 2
=，求n a （答：4
(1)n a n n =
+）
⑹已知递推关系求
n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。

特别地，
（1）形如1n n a ka b -=+、1n
n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法
转化为公比为k 的等比数列后，再求
n a 。

如
①已知111,32n n a a a -==+，求n a （答：1231n n a -=-）； ②已知111,32n n n a a a -==+，求n a （答：11
532n n n a -+=-）；
（2）形如1
1n n n a a ka b
--=
+的递推数列都可以用倒数法求通项。

如
①已知1111,31
n n n a a a a --==
+，求n a
（答：1
32
n a n =
-）；
②已知数列满足1a =1=n a （答：
21
n a n =
）
注意：（1）用
1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？
（2n ≥，当1n =时，11S a =）；（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常
需运用关系式
1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。

如数列{}n a 满足11154,3n n n a S S a ++=+=，求n a （答：
⎩⎨⎧≥⋅==-2,431,41
n n a n n ）
7.数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：
1123(1)
2
n n n +++
+=+，
222112(1)(21)
6
n n n n ++
+=++，
33332
(1)123[
]2n n n +++++=.如
（1）等比数列{}n a 的前n 项和S ｎ＝2ｎ－１，则2232221n a a a a ++++ ＝_____（答：
41
3n -）；
（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。

二进制即“逢2进1”，如2)1101
(表示二进制数，将它转换成十进制形式是132********
123=⨯+⨯+⨯+⨯，那么将二进制
1
20052)11111(个转换成十进制数是_______（答：2005
2
1-）
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求：1357(1)(21)n
n S n =-+-+-
+--（答：
(1)n
n -⋅） （3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关
联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. 如
①求证：012
35(21)(1)2n
n n n n n C C C n C n +++
++=+；
②已知2
2
()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝___（答：72）
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构
成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 如 （1）设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+
++，已知11T =，24T =，①求数
列{}n a 的首项和公比；②求数列{}n T 的通项公式.（答：①1
1a =，2q =；
②1
22n n T n +=--）；
（2）设函数2
()(1)()4(1)f x x g x x =-=-，，数列{}n a 满足：12,()n a f a =(n a =-
1)()()n n a g a n N ++∈，①求证：数列{1}n a -是等比数列；②令212()(1)(1)h x a x a x =-+-
(1)n
n a x +
+-，
求函数)(x h 在点83x =处的导数8()3h '，并比较8()3
h '与n n -22的大小。

（答：①略；②8()(1)213n
h n '=-+，当1n =时，8()3
h '＝n n -22；当2n =时，
8()3h '<n n -22；当3n ≥时，8
()3
h '>n n -22） （5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
①111(1)1n n n n =-++； ②
1111()()n n k k n n k
=-++； ③
2211111()1211k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k
-=<<=-++--； ④
1111
[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++；
⑤
11
(1)!!(1)!
n n n n =-
++；
⑥
=
<<
=.
如（1）求和：
111
1447
(32)(31)n n +++
=⨯⨯-⨯+ （答：31
n n +）；
（2）在数列{}
n a 中，n a =
S ｎ＝９，则n ＝_____（答：99）；
（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。

如 ①求数列1×4，2×5，3×6，…，(3)n n ⨯+，…前n 项和n S = （答：(1)(5)
3
n n n ++）；
②求和：111112123
123n
+
+++
=++++++
+ （答：
21
n
n +）
8. “分期付款”、“森林木材”型应用问题
(1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.
(2)利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金p
元，每期利率为r ，则n 期后本利和为：(1)(12)(1)n S p r p r p nr =++++
+
(1)
()2
n n p n r +=+
（等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：若贷款（向银行借款）
p 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）
后为第一次还款日，如此下去，分n 期还清。

如果每期利率为r （按复利），那么每期等额
还款x 元应满足：
12
(1)(1)(1)(1)n n n p r x r x r x r x --+=+++++++（等比数列问题）.。