江西省上高二中、宜春一中等四校2016届高三上学期联考数学(文)试题

2016届高三联考文数试卷
一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A ={x ∈R |lg x 2＞0}，集合B ={x ∈R |1≤2x +3＜7}，则（ ）
A ．C U
B ⊆A B ．B ⊆A
C ．A ⊆C U B
D ．A ⊆ B
2、复数3
21i i -（i 为虚数单位）的虚部是（ ）
A.15
B.15i
C.15i -
D.15
- 3、下列说法不正确的是（ ）
A ．若“ p 且q ”为假，则p 、q 至少有一个是假命题
B ．命题“∃ x 0∈R ，x 02－x 0－1＜0”的否定是“∀ x ∈R ，x 2－x －1≥0”
C ．“ϕ =
2
π
”是“y =sin(2x +ϕ)为偶函数”的充要条件 D ．a ＜0 时，幂函数 y =x a 在（0，+∞）上单调递减
4、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．sin()6
y x π
=-
B ．2x
y =
C ．x y =
D ．3
x y -=
5、函数2
3cos 4cos 1,
[0,]2
y x x x π=-+∈的最大值为（ ）
A ．31-
B ．0
C ．3
1
D ．1
6、等比数列{}n a 中， a 4=2，a 5=5，则数列{lg }n a 的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
7. 若实数,a b 满足
12
a b
+=，则ab 的最小值为( )
A B 、2 C 、 D 、4
8.设1e ，2e ，3e 为共起点的单位向量，且31212
e e ke =+ ，(k ＞0)，若以向量1e ，2e
为两边的三角
形的面积为
2
1
，则k 的值为（） A ．
22 B ．23 C ．25 D ．2
7 9、定义运算：
4
3
21a a a a 3241a a a a -=，将函数()x
x x f ωωcos 1
sin 3=
（0>ω）的图象向左平移π
6
5
个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（ ） A ．1 B ． 51 C ．511
D ．2
10、已知数列1a ，
21a a ，3
2a a ，⋅⋅⋅，1
n n a a -，⋅⋅⋅是首项为1，公比为2的等比数列，则下列项中是数列{}n a 中的项是（ ）
A ．16
B ．128
C ．32
D ．64
11.若定义域为R 的函数f(x)的周期为2，当]1,1(-∈x 时，x x f =)(，则函数y =f (x )的图象与
x y 3log =的图象的交点个数为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 12.设)(x f y ''=是)(x f y '=的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数
)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 都有对称中心))(,(00x f x ，其中0x 满足0()0f x ''=.已知
12532131)(23-+-=
x x x x f ，则=+⋅⋅⋅+++)2015
2014
()20153()20152()20151(f f f f （ ） A ．2013 B ．2014 C ．2015 D ．2016
二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．已知函数sin ,1
()(1),1x x f x f x x π⎧=⎨->⎩
≤，则
43f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为 ． 14．设 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，若f (x )在x ＝1处取得极值10，则a ＋b 的值为_____. 15、若实数, x y 满足10
2030
x y x x y -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
，则24x y z =的取值范围是 ．
16、用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为
________ ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为221-=+n n S ，数列{}n b 是首项为1a ，公差为)0(≠d d 的等差数列，且1b ，3b ，9b 成等比数列.
（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）若)()1(2
*∈+=
N n b n c n
n ，求数列{}n c 的前n 项和n T .
18.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角
A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知向量
2(2cos ,cos2)2B m B = ，(4,2)
n =- ，且7m n ⋅= ，且1b =. （1）若512
A π
=，求c 的值；
（2）求ABC ∆的面积的最大值。

19．（本题满分12分）设数列{}n a 满足11=a ，点（n a ，1+n a ）在直线21y x =+上. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）记)1(log 2+=n n a b ，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .
20、(本小题满分12分)已知函数()1
cos cos 2,0,2
f x x x x x R ωωωω=->∈，且函数()
f x 的最小正周期为π.
(1) 求()f x 的单调递增区间；
(2) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，又4
,2235
A f b π⎛⎫+== ⎪⎝⎭，且△ABC 的面积等于3，求边长a 的值.
21．(本小题满分12分)
已知函数()32f x ax bx =+，()f x 在点()()
3,3f 处的切线方程为122270x y +-=. (1)求函数()f x 的解析式；
(2)若对任意的[1,)x ∈+∞，()'ln f x k x ≤恒成立，求实数k 的取值范围.
22、(本小题满分10 分)选修4-5：不等式选讲 设a ∈R ，f （x ）＝｜x －a ｜＋（1－a ）x ，
（1）解关于a的不等式f（2）＜0；（4分）
（2）如果f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．（6分）
上高二中宜春一中2016届高三联考参考答案2015-12-22
一.选择题：
二.填空题： 13.
14. 7- 15. 1[, 1]16
16. 6n+2 三.解答题：
17.解：（1）当2≥n 时，n n n n n n S S a 22211=-=-=+-， 又1211222=-==S a 也满足上式，
所以数列{}n a 的通项公式为n n a 2=，211==a b ， 设公差为d ，则由1b ，3b ，9b 成等比数列，
可得)82(2)22(2d d +⨯=+，所以d=2或d=0（舍去）， 所以数列{}n b 的通项公式为n b n 2=. （2）结合（1）)
1(1
)1(2+=
+=
n n b n c n n ，所以数列{}n c 的前n 项和 1
1111113121211)1(1321211+=+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=
++⋅⋅⋅+⨯
+⨯=
n n n
n n n n T n 18. 解：（1）由已知，7)1cos 2(22cos 182cos 22cos
822=--+⨯=-=⋅B B B B 即76cos 4cos 42
=++-B B ，化简得01cos 4cos 42
=+-B B 解得
cos B ＝12
，
∵0<B <π，∴B ＝π
3. 又∵4
C A B ππ=--=，1b =，
由正弦定理，得sin
sin 4sin sin 3
b C
c B π
π=
=
==。

……………6分 （2）由余弦定理，得22222
2cos 2b a c ac B a c ac ac ac ac =+-=+-≥-=，则1ac ≤，
∵1sin 2ABC S ac B ∆=
=≤
，∴ABC ∆的面积的最大值为4。

………12分 19. 解：（1）121+=+n n a a ，)1(2)1(1+=+∴+n n a a ，
0211≠=+a ，01≠+∴n a ，21
1
1=++∴
+n n a a ，
{}1+∴n a 是以2为公比，2为首项的等比数列，n n a 21=+∴，12-=∴n n a .
（2）12-=n n a ，n a b n n n ==+=∴2log )1(log 22，
n n n a b n n n n -⋅=-⋅=⋅∴2)12(，
记n n A 2222121⋅+⋅⋅⋅+⨯+⨯=，1222)1(212+⋅+⋅-+⋅⋅⋅+⨯=∴n n n n A ，
22)1(22
1)21(22
2222111
2-⋅-=⋅---=⋅-+⋅⋅⋅++=-=-∴+++n n n n n n n n A A A ，
22)1(1+⋅-=∴+n n A ，2
)
1(22)1()21(1+-
+⋅-=+⋅⋅⋅++-=+n n n n A S n n .
20. 解：(1)因为()12cos 2sin 226f x x x x πωωω⎛
⎫=
-=- ⎪⎝
⎭，由()f x 的最小正周期为π，得ω=1. …………………………………………………………………3分 ∵222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈，即,6
3
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈.
所以，函数()f x 的增区间为,,6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
.……………………………6分
(2)∵()4
,0,235
A f A ππ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，∴43cos ,sin 55A A ==.…………………………8分
∵13
S sin 3,b 2,sin ,525
bc A A c =
===∴=. …………………………10分
由余弦定理222
2cosA 13a b c bc =+-=，∴a = …………………………12分
21. 解：(1)将3x =代入直线方程得99
,27922
y a b =-
∴+=- ①…………………1分 ()()2'32,'36,2766f x ax bx f a b =+=-∴+=- ② ……………………………………2分
①②联立，解得()321
111
,,3232
a b f x x x =-=
∴=-+.…………………………………4分 (2) ()2
'f x x x =-+，∴2
ln x x k x -+≤在[)1,x ∈+∞恒成立；
即2
ln 0x x k x -+≥在[)1,x ∈+∞恒成立；………………………………………………5分
设()()2
ln ,10g x x x k x g =-+=，∴只需证对任意[)1,x ∈+∞有()()1g x g ≥.……6分
()[)22'21,1,k x x k
g x x x x x
-+=-+=∈+∞， …………………………………………7分
设()2
2h x x x k =-+，………………………………………………………………………8分
①当180k ∆=-≤，即1
8
k ≥
时，()0h x ≥，∴()'0g x ≥，()g x 在[)1,+∞上单调递增，∴()()1g x g ≥；………………………………………………………………………9分 ②当180k ∆=->，即18k <
时，设12,x x 是方程2
20x x k -+=的两根且12x x <，由1212
x x +=，可知11x <，分析题意可知当21x ≤时对任意[)1,x ∈+∞有()()1g x g ≥；∴()1
110,1,18
h k k k =+≥≥-∴-≤<
，……………………………………………11分 综上分析，实数k 的取值范围为[)1,-+∞. ……………………………………12分 22. 解：（1）解法一:。