轴向变形
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对于线弹性材料，或者
p
1 v 2 由胡克定律， E
E 2 2 v 2 2E
已知：BC杆为圆钢，直径 d=20mm，长度为1.2 m， BD杆为8号槽钢，长度为1.6 m，F = 60kN，
要求：计算B点的垂直位移
F
C
3
B
解：计算两杆的内力， 取研究对象如图
BC
FN 1 45 103 143MPa 6 A1 314 10 FN 2 75 103 73.5MPa 6 A2 1020 10
D
F B
α
BD
由于
FN 1
BC
所以结构安全
BD
FN 2
3、计算B点位移
BC杆的伸长为：
F C
纵向正应变：
F
l l1 l l l
b1
b
l
l1
F
对于大多数工程材料的小应变阶段，可认为应力与应变成正比。
E
将
胡克定律， E
代入上式，
材料的弹性模量
得：
FN l , A l FN l E A l
解得：
FN l l EA
EA
杆的抗拉（抗压）刚度
拉压杆轴向变形的胡克定律
D
BB1 l1 0.86 103 m ()
F C
3
4
BB2 l2 0.732 103 m ()
理论上说，B点最后位置的确定方法为： 以C为圆心， CB1 为半径作圆， 以D 为圆心，DB2 为半径作圆， 两圆弧的交点，即为B点最后位置。 显然，用此方法，计算非常麻烦。
4 3 3 0.732 0.86 0.732 5 5 4
D
B
l1
B1
1.56mm
B点的位移的大小为：
l2
B2
B4
BB3
xB 2 yB 2
1.78mm
B3
§2-8 轴向拉压杆的应变能
一、应变能的定义
构件在外力作用下,因变形而储存的能量
二、轴向拉压杆的应变能
F
外力功：
当力由F增大到 F+ΔF 时 dF F1
dW Fd (l )
当力增大到 F1时
l
F
l1
W
0
Fd (l )
l
F
l d (l )
l1
l
F
功能原理:
构件的应变能等于外力功
F1 外力功： F dF
W
l1
0
Fd
l
当杆件上受拉力(压力)F1 时,杆件 中所储存的应变能为:
F
V W
l1
0
Fd (l )
F1
应变能等于载荷-变形 曲线下方图形的面积。
l1
l
F
应变能等于载荷-变形 曲线中所围图形的面积。
V
l1
0
Fd (l )
F1
对于线弹性材料，或者
p
l1
1 V F (l ) 2
AB 100mm, BC 150mm
ABC杆为圆杆，直径d=10mm 求：（1）杆的伸长
（2）BC 段变形后的直径
解：作杆的轴力图 钢材的 E 200GPa 0.28 杆的横截面面积
F1 A
F2 B
C F3
FN（kN） 10
A
4
10 2 10 6 m 2 78.5 10 6 m 2
三、横向正应变和泊松比 F
横向正应变：
沿垂直于轴线方向的正应变
b1
b
F
l
l1
b b1 b b b
F
b
F
l1
l
b1
试验表明, 对于小应变阶段, 横向正应变ε’与纵向正应变ε的 比数的绝对值 μ 是一个材料常数, 称为材料的泊松比。
显然，泊松比 μ 是一个负数。
由拉压杆轴向变形的胡克定律
l FN l EA
2 FN l V 2 EA
l
F
F
轴向拉压杆的应变能为：
l
l
二、轴向拉压杆的应变能密度
应变能密度
σ
dσ
v ：单位体积材料中
所储存的应变能
V v V
d
1
σ 1 σ
d
1
应变能密度等于应力-应变曲 线下方图形的面积。
1 W Fy B 2
F
C
3 4
B B1
BC杆的横截面面积
B2
A 1
4
20 2 10 6 314 10 6 m 2
B3
BD杆的横截面面积
A2 10.2cm 2 1020 106 m 2
V
D
1.2 75 10 2 2 200 109 314 106 2 200 109 1020 106
FN l l EA
10
10 103 0.1 10 103 0.15 200 109 78.5 10 6
0.033 103 m 0.033mm
F1 A
BC
10 103 127.3MPa() 6 78.5 10
F2 B
C F3
F 5 F 75kN Fy 0 FN 2 sin 4 3 Fx 0 FN 1 FN 2 cos 75 5 45kN 由功能原理，结构的应变能等于外力功
2 FN l V 2 EA
4
D
F B
α
FN 1
1 W Fy B 2
FN 2
2 FN l V 2 EA
F
F
y
0
0
FN 2
F 5 F 75kN sin 4
3 5
FN 1
x
FN 1 FN 2 cos 75 45kN
FN 2
2、校核强度
BC杆的横截面面积
F
C
3 4
A 1
B
4
20 2 10 6 314 10 6 m 2
AC杆的横截面面积
A2 10.2cm 2 1020 106 m 2
四、杆件结构的变形的计算
现通过一个实例进行说明
F
C
3 4
B
已知：BC杆为圆钢，直径 d=20mm，长度为1.2 m， BD杆为8号槽钢，长度为1.6 m，F = 60kN， 材料的 160MPa 要求：（1）校核结构的强度
（2）计算B点的位移
解：受力分析， 取研究对象如图
D
F B
α
45 10
3 2
3 2
46.92 J
1 由:W Fy B 2
解得：
1 60 103 y B 2
2 FN l 2 EA 46.92 J
yB 1.564 103 m 1.564mm
与小变形结果 yB B1 B3 1.56mm 相同。
BC BC
BC
E
FN（kN） 10
127.3 106 0.28 200 109
10
1.78 10 4
d BC d BC d
d BC d 1 BC
10 1 1.78 104 mm
10.00178mm
B B1
B2
B3
D
B
B1
利用小变形假设：
可以用切线代替圆弧
B2
B3
BB1 l1 0.86 103 m 0.86mm
F C
3 4
BB2 l2 0.732 10 m 0.732mm
由变形图，可以得到：
3
B B1
B2 B3
xB BB1 l1 0.86mm yB B1B4 B4 B3 l2 sin l1 l2 cos cot
§2-7 轴向拉压杆的变形 一、纵向变形和横向变形的概念
纵向变形：
杆件沿轴线方向的变形
F
b1
b
l
l1
F
l l1 l
横向变形：
杆件沿垂直于轴线方向的变形
b b1 b
二、纵向正应变和胡克定律
正应变： 在指定方向上，单位长度的伸长量 纵向正应变： 沿轴线方向的正应变
l l1 l l l
常用材料的 E ， μ 的数值可见p33上的表2-2。
四、变截面直杆纵向变形的计算
1、阶梯形直杆
分段计算，然后求代数和
F
F
FN l l EA
2、连续性变截面直杆 x
FN ( x)dx l l EA( x )
dx
F
例题：
已知 ： F1 =10kN， F2 =20kN， F3 =10kN，
3 4
FN 1l1 45 103 1.2 BB1 l1 EA1 200 109 314 10 6 0.86 10 m ()
AC杆的缩短为：
3
B B1
B2
FN 2l2 75 103 2.0 BB2 l2 EA2 200 109 1020 10 6 0.732 10 3 m ()
p
1 v 2 由胡克定律， E
E 2 2 v 2 2E
已知：BC杆为圆钢，直径 d=20mm，长度为1.2 m， BD杆为8号槽钢，长度为1.6 m，F = 60kN，
要求：计算B点的垂直位移
F
C
3
B
解：计算两杆的内力， 取研究对象如图
BC
FN 1 45 103 143MPa 6 A1 314 10 FN 2 75 103 73.5MPa 6 A2 1020 10
D
F B
α
BD
由于
FN 1
BC
所以结构安全
BD
FN 2
3、计算B点位移
BC杆的伸长为：
F C
纵向正应变：
F
l l1 l l l
b1
b
l
l1
F
对于大多数工程材料的小应变阶段，可认为应力与应变成正比。
E
将
胡克定律， E
代入上式，
材料的弹性模量
得：
FN l , A l FN l E A l
解得：
FN l l EA
EA
杆的抗拉（抗压）刚度
拉压杆轴向变形的胡克定律
D
BB1 l1 0.86 103 m ()
F C
3
4
BB2 l2 0.732 103 m ()
理论上说，B点最后位置的确定方法为： 以C为圆心， CB1 为半径作圆， 以D 为圆心，DB2 为半径作圆， 两圆弧的交点，即为B点最后位置。 显然，用此方法，计算非常麻烦。
4 3 3 0.732 0.86 0.732 5 5 4
D
B
l1
B1
1.56mm
B点的位移的大小为：
l2
B2
B4
BB3
xB 2 yB 2
1.78mm
B3
§2-8 轴向拉压杆的应变能
一、应变能的定义
构件在外力作用下,因变形而储存的能量
二、轴向拉压杆的应变能
F
外力功：
当力由F增大到 F+ΔF 时 dF F1
dW Fd (l )
当力增大到 F1时
l
F
l1
W
0
Fd (l )
l
F
l d (l )
l1
l
F
功能原理:
构件的应变能等于外力功
F1 外力功： F dF
W
l1
0
Fd
l
当杆件上受拉力(压力)F1 时,杆件 中所储存的应变能为:
F
V W
l1
0
Fd (l )
F1
应变能等于载荷-变形 曲线下方图形的面积。
l1
l
F
应变能等于载荷-变形 曲线中所围图形的面积。
V
l1
0
Fd (l )
F1
对于线弹性材料，或者
p
l1
1 V F (l ) 2
AB 100mm, BC 150mm
ABC杆为圆杆，直径d=10mm 求：（1）杆的伸长
（2）BC 段变形后的直径
解：作杆的轴力图 钢材的 E 200GPa 0.28 杆的横截面面积
F1 A
F2 B
C F3
FN（kN） 10
A
4
10 2 10 6 m 2 78.5 10 6 m 2
三、横向正应变和泊松比 F
横向正应变：
沿垂直于轴线方向的正应变
b1
b
F
l
l1
b b1 b b b
F
b
F
l1
l
b1
试验表明, 对于小应变阶段, 横向正应变ε’与纵向正应变ε的 比数的绝对值 μ 是一个材料常数, 称为材料的泊松比。
显然，泊松比 μ 是一个负数。
由拉压杆轴向变形的胡克定律
l FN l EA
2 FN l V 2 EA
l
F
F
轴向拉压杆的应变能为：
l
l
二、轴向拉压杆的应变能密度
应变能密度
σ
dσ
v ：单位体积材料中
所储存的应变能
V v V
d
1
σ 1 σ
d
1
应变能密度等于应力-应变曲 线下方图形的面积。
1 W Fy B 2
F
C
3 4
B B1
BC杆的横截面面积
B2
A 1
4
20 2 10 6 314 10 6 m 2
B3
BD杆的横截面面积
A2 10.2cm 2 1020 106 m 2
V
D
1.2 75 10 2 2 200 109 314 106 2 200 109 1020 106
FN l l EA
10
10 103 0.1 10 103 0.15 200 109 78.5 10 6
0.033 103 m 0.033mm
F1 A
BC
10 103 127.3MPa() 6 78.5 10
F2 B
C F3
F 5 F 75kN Fy 0 FN 2 sin 4 3 Fx 0 FN 1 FN 2 cos 75 5 45kN 由功能原理，结构的应变能等于外力功
2 FN l V 2 EA
4
D
F B
α
FN 1
1 W Fy B 2
FN 2
2 FN l V 2 EA
F
F
y
0
0
FN 2
F 5 F 75kN sin 4
3 5
FN 1
x
FN 1 FN 2 cos 75 45kN
FN 2
2、校核强度
BC杆的横截面面积
F
C
3 4
A 1
B
4
20 2 10 6 314 10 6 m 2
AC杆的横截面面积
A2 10.2cm 2 1020 106 m 2
四、杆件结构的变形的计算
现通过一个实例进行说明
F
C
3 4
B
已知：BC杆为圆钢，直径 d=20mm，长度为1.2 m， BD杆为8号槽钢，长度为1.6 m，F = 60kN， 材料的 160MPa 要求：（1）校核结构的强度
（2）计算B点的位移
解：受力分析， 取研究对象如图
D
F B
α
45 10
3 2
3 2
46.92 J
1 由:W Fy B 2
解得：
1 60 103 y B 2
2 FN l 2 EA 46.92 J
yB 1.564 103 m 1.564mm
与小变形结果 yB B1 B3 1.56mm 相同。
BC BC
BC
E
FN（kN） 10
127.3 106 0.28 200 109
10
1.78 10 4
d BC d BC d
d BC d 1 BC
10 1 1.78 104 mm
10.00178mm
B B1
B2
B3
D
B
B1
利用小变形假设：
可以用切线代替圆弧
B2
B3
BB1 l1 0.86 103 m 0.86mm
F C
3 4
BB2 l2 0.732 10 m 0.732mm
由变形图，可以得到：
3
B B1
B2 B3
xB BB1 l1 0.86mm yB B1B4 B4 B3 l2 sin l1 l2 cos cot
§2-7 轴向拉压杆的变形 一、纵向变形和横向变形的概念
纵向变形：
杆件沿轴线方向的变形
F
b1
b
l
l1
F
l l1 l
横向变形：
杆件沿垂直于轴线方向的变形
b b1 b
二、纵向正应变和胡克定律
正应变： 在指定方向上，单位长度的伸长量 纵向正应变： 沿轴线方向的正应变
l l1 l l l
常用材料的 E ， μ 的数值可见p33上的表2-2。
四、变截面直杆纵向变形的计算
1、阶梯形直杆
分段计算，然后求代数和
F
F
FN l l EA
2、连续性变截面直杆 x
FN ( x)dx l l EA( x )
dx
F
例题：
已知 ： F1 =10kN， F2 =20kN， F3 =10kN，
3 4
FN 1l1 45 103 1.2 BB1 l1 EA1 200 109 314 10 6 0.86 10 m ()
AC杆的缩短为：
3
B B1
B2
FN 2l2 75 103 2.0 BB2 l2 EA2 200 109 1020 10 6 0.732 10 3 m ()