有限域基础选讲

不可约多项式的阶
设 f(x)Fq[x]是 m 次不可约多项式, f(0) 0, 则 f(x) | qm 1. 本原多项式
设f(x)Fq[x]是 m 次不可约多项式, f(0) 0, 如果 p(f) qm 1, 则称f(x)为Fq[x]中本原多项式.
作业
• 作业3：克莱茵4元群克表示为G={1, a, b, c}，其运算为 ：1x=x, x∈G, ab=c, ac=b, bc=a, 请实现上述运算。
有
限
域
基
础
选
讲
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有限域基础
1. 群
群的定义 设G是一个集合, G上定义了一种运算, 记为“•”, 如果该运
算满足
i) a, bG, (a b)c a (b c); ii)存在一个eG, 对于aG, 有ae ea a成立, 称e为G的 单位元; iii) aG, 存在a1G, 使得aa1 a1a e成立, 称a1为a的 逆元; 则称G在定义的运算下构成一个群. 若该运算还满足条件 iV) a, bG, a b b a; 则称G在定义的运算下构成一个交换(abel)群.
若环R的每个理想都是主理想, 则称R为主理想整环, 易知, 剩余类环和多项式环都是主理想整环.
3. 有限域
3.1 有限域的概念 在有限集合F上定义了两个二元运算:
加法“”和乘法“•”, 如果(F , )是交 换群, F的非零元素对乘法构成交换群, 而 且乘法对加法满足分配律, 则称(F , , •) 是有限域.
设R是一个交换环且J是R的理想, 如果存在 aR, 使J (a) {ka | kJ}, 则称J为R的主理想, a为J的生成元.
例2.1: 全体整数Z对于数的加法和乘法构成一个环, 通常称 为整数环. 但全体正整数对于加法和乘法就不构成一 个环, 因为不满足加法条件iii, iv.
例2.2: 设f(x)Fp[x]是Fp上的多项式环中n次多项式, 则
则称R在定义的运算下构成一个环. 若该运算还满足条件 iV) a, bG, a b b a则称R为交换环.
子环
设R是一个环, 如果S R在R的运算下仍是一个 环, 称S为R的子环. 理想
设J R, 如果J满足 i)J为R的子环; ii)aJ, rR, 有ar J且raJ, 则称J为R的理想. 交换环的主理想
例1.2: 集合Fp {0, 1, …, p 1}在加法的运算下构成一个 交换(abel)群, Fp*在乘法运算下构成一个交换群, 且都是 循环群.
2. 环
环的定义 设R是一个集合, R上定义了两种运算, 加法“”和
乘法“•”, 如果运算满足 i)加法运算构成abel群; ii) a, b, cR, (a b)c a (b c); iii) a, b, cR, a (b c) a b a c, (b c) a b a c a;
g(x) h(x) (ai bi)xi,
max( l , k )
g(x) h(x) ci xi,
i0
其中ci ai b0 ai 1b1 … a0bi. (F[x] , , •)是有限域F上的多项式环.
不可约多项式
F[x]中次数大于1的多项式 f(x)不能写成两个低次多项式 的乘积, 称f(x)是F上不可约多项式. 因子
x3 x2 x 1 mod f(x).
3.3 有限域上的多项式环
有限域F上定义的多项式集合
F[x] {f(x) | f(x) anxn … a1x a0 , aiF, an 0, n 0}
令g(x) , h(x)分别是k次多项式和l次多项式,
g(x) akxk … a1x a0, ak 0, h(x) blxl … b1x b0, bl 0. 在F[x]上定义标准的加法和乘法:
F24 {a3x3 a2x2 a1x a0 | ai{0 , 1}} {a3 a2 a1 a0 | ai{0 , 1}}
则有(1 0 1 1 ) (1 0 0 1) (0 0 1 0)
(1 0 1 1 ) (1 0 0 1) (1 1 1 1) 这是因为 (x3 x2 1)(x3 1) x6 x5 x2 1
循环群
设G是一个群, 如果存在一个gG, 对任意的bG, 有整 数jZ, 使得b aj, 称G为循环群, a为G的生成元.
子群
设G是一个群, 子集HG, 如果H在G的运算下仍构成一 个群, 则H为G的子群.
例1.1: 全体整数Z构成的集合在加法的运算下构成一个交 换(abel)群.
H {hZ | h 0 mod 3}构成G的一个子群.
若f(x)是g(x), h(x)的最大公因子, 则Fp[x]中存在s(x), 使得s(x)g(x) t(x)h(x) f(x).
3.4 有限域上的多项式
多项式的阶(周期) 设f(x)Fq[x], deg(f) m 1, f(0) 0, 则存在正整数 e qm 1, 使得 f(x) | xe 1成立的最小的正整数e称为多 项式f(x)的阶, 记为ord( f )或p(f).
•
作业4： 式。
有限域F2m
=F2[x]/((f(x)),
f(x)是m次不可约多项
F2m {am 1xm 1 … a1x a0 | ai{0 , 1}} 为了方便, 表示成向量的集合
F2m {(am 1 … a1 a0 )| ai{0 , 1}},
若设α为f(x)的一个根，f(α)=0,则F2m={1,α,1+α,…}。
Fp[x] / f(x) {g(x) Fp[x] | deg(g(x)) < n} 构成一环, 称为Fp[x]模f(x)的剩余类环. 令 f(x) g(x)h(x); A {k(x) Fp[x] / f(x) | g(x)整除k(x)} Fp[x] / f(x) 则A构成Fp[x] / f(x)的一个理想且为主理想. 主理想整环
iv)利用F2上的m次不可约多项式f(x)定义有限域F2m: F2m =F2[x]/((f(x)) F2m {am 1xm 1 … a1x a0 | ai{0 , 1}}
为了方便, 表示成向量的集合
F2m {(am 1 … a1 a0 )| ai{0 , 1}}, F2m多中项加式法相是乘简模单f(的x)向的量结按果位. 相加, 乘法是向量对应的 若设α,αα为2…f(αxm)的-1根一是个线根性，空f(间α)=F02m,则/FF2的2m=一{1组,α基,1。+α,…}且1, 例: F2上的4阶不可约多项式f(x) x4 x 1,
任意输入x, 文件中 。
y
∈
F2m,
试实现x+y,
x y，并将结果写入
感谢观赏
多项式环F[x] 中, 对次数不为零的两个多项式g(x), h(x), 存在惟一的F[x]中的多项式q(x), r(x), 使得 g(x) q(x)h(x) r(x), 其中r(x)的此时小于h(x)的次数, 如 果r(x) 0, 则称h(x)是g(x)的因子. 例3.3.1: F2[x]中g(x) x6 x5 x3 x2 x 1, h(x) x4 x3 1, 那么q(x) x2, r(x) x3 x 1.
最大公因子
有限域Fp {0, 1, …, p 1}上的多项式环Fp[x] 中, 若 f(x)同时是非零多项式g(x), h(x)的因子, 而且是所有g(x), h(x)公共因子中次数最高的, 则称f(x)是g(x), h(x)的最大 公因子, 当f(x) 1时, 称g(x), h(x)互素. 可以使用 Euclidean算法计算最大公因子.
3.2 有限域的主要性质
i) 在有限域中所有的元素的加法阶都相同而且 都是素数, 称该素数为有限域的特征. (或者有 另外的定义: 对于aF, 满足na 0的最小正 整数n为F的特征)
ii) p素数, 阶为q pm的有限域Fq的特征为p; iii)Fq的非零元素对乘法构成循环群, 循环群的生
成元为该有限域的生成元;