空间中的垂直关系习题课

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B 1
C 1
A 1
D 1
B
A
C
D
空间中的垂直关系习题课
一、知识梳理：
〔一〕.线线垂直的定义： 〔二〕直线与平面垂直〔线面垂直〕
1.定义： 如果 则这条直线和这个平面垂直。

这条直线叫做 ，这个平面叫做 ，交点叫做 ，记作l
α⊥
2.性质定理：
3.推断定理： 推论1： 推论2 〔三〕面面：
1.定义： 如果 则这两个平面互相垂直。

记作αβ⊥
2.判定定理：
3.性质定理： 二、典型例题 【例1】推断题
〔1〕过平面外一点只可做一个平面与平面垂直。

〔 〕
〔2〕过不在平面内的一条直线可以作无数个平面与平面垂直。

〔 〕 〔3〕平行于同一条直线的两条直线平行〔 〕 〔4〕平行于同一条直线的两个平面平行〔 〕 〔5〕平行于同一平面的两条直线平行〔 〕 〔6〕平行于同一个平面的两个平面平行〔 〕 〔7〕垂直于同一条直线的两条直线平行〔 〕 〔8〕垂直于同一条直线的两个平面平行〔 〕 〔9〕垂直于同一平面的两条直线平行〔 〕 〔10〕垂直于同一个平面的两个平面平行〔 〕 【例2】.如图，在正方体
1111ABCD ABC D -中，求证：
〔1〕1BD ACC ⊥面 〔2〕
1AC BD ⊥；
〔3〕平面
1AC D ⊥平面1A BD
【例3】．如下图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，PA ＝AD ＝a ． 〔1〕求证：MN ⊥平面PCD ； 〔2〕求证：平面PMC ⊥平面PCD ． 三、稳固练习：
1、假设平面α外一条直线l 与α内两条直线都垂直，则l 与α位置关系是 〔 〕 A 、//l α B
l α⊥ C 、l 与
α相交 D 、无法确定
2、.关于直线m,n 与平面,αβ，有以下四个命题： 〔1〕假设//,////,//m n m n αβαβ且则 〔2〕假设,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⊥且则
〔3〕假设,////,m n m n αβα
β⊥⊥且则 〔4〕假设//,,//m n m n αβαβ⊥⊥且则
其中真命题的序号是〔 〕 A.〔1〕〔2〕 B.(3)(4) C.(1)(4) D.(2)(3) 3．直线m,n 和平面βα,满足βα⊥⊥⊥,,a m n m
,则 ( )
.A n β⊥ ,//.βn B 或β⊂n α
⊥n C .
,//.αn D 或α⊂n
4、.平面,,αβγ，则以下命题中正确的选项是〔 〕
.,,//.A αββγαγ⊥⊥则 B.//,,αββγαγ⊥⊥则
.,,,C a b a b αγβ
γαβ==⊥⊥则 D.,,,a a b b αβαβα⊥=⊥⊥则
5、直线a,b 和平面,αβ，有以下命题，其中假命题的个数是〔 〕 6．如下图，平面
α、β 互相垂直，棱l 上有两点A 、B ，AC ⊂α ，BD ⊂ β，且
AC ⊥l ，AB ＝8cm ，AC ＝6 cm ，BD ＝24 cm ，则CD ＝_________． 7、如图，在直四棱柱
A 1
B 1
C 1
D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足
条件_________时，有A 1 B ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一
种条件即可，不必考虑全部
8、如图，长方体1111D C B A ABCD -
中，1==AD AB ，21=AA ，
P
D 1
C 1
B 1A 1
D C
B
A
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.
点P 为1DD 的中点。

〔1〕求证：平面PAC ⊥平面1BDD ； 〔2〕求证：直线1PB ⊥平面PAC .
9、
如下图，直角梯形ACDE 与等腰直角△ABC 所在平面互相垂直，F 为BC 的中点，
90BAC ACD ∠=∠=︒，AE ∥CD ，DC=AC=2AE=2.
〔Ⅰ〕求证：平面BCD ⊥平面ABC 〔Ⅱ〕求证：AF ∥平面BDE ；
〔Ⅲ〕求四面体B-CDE 的体积. 8、解：
〔1〕长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，
底面ABCD 是正方形，则AC ⊥BD 又1DD ⊥面ABCD ，则1DD ⊥AC ，
所以AC ⊥面1BDD ，则平面PAC ⊥平面1BDD
〔2〕PC 2=2，PB 12=3，B 1C 2=5，所以△PB 1C 是直角三角形。

1PB ⊥PC ， 连结1AO ，
1111ABCD A BC D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形
分
9〔本小题总分值12分〕 解：〔Ⅰ〕∵面ABC ⊥面ACDE ，面ABC 面ACDE =AC ，CD ⊥AC ， ∴DC ⊥面ABC ，………………………………………………2分 又∵DC ⊂面BCD ，∴平面BCD ⊥平面ABC . ………………4分 〔Ⅱ〕取BD 的中点P ，连结EP 、FP ，则PF 1
2
DC , 又∵EA
1
2
DC ，∴EA PF ，……………………………6分 ∴四边形AFPE 是平行四边形，∴AF ∥EP ，
又∵EP ⊂面BDE ，∴AF ∥面BDE .…………………8分 〔Ⅲ〕∵BA ⊥AC ，面ABC 面ACDE =AC ，∴BA ⊥面ACDE. ∴BA 就是四面体B-CDE 的高，且BA=2. ……………10分 ∵DC=AC=2AE=2，AE ∥CD ，
∴11
(12)23,121,22
ACE ACDE S S ∆=+⨯==⨯⨯=梯形 ∴312,CDE
S ∆=-= ∴14
22.33
E CDE V -=⨯⨯=………………………12分
P
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C B
A。