最新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试(答案解析)(1)

一、选择题
1．定义：若函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，点对(),A B 与(),B A 看作同一对“镜像点
对”，已知函数()23,0
2,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩
，则该函数的“镜像点对”有（ ）对.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知函数()()
2
log 23a f x x x =--+，若()00f <，则此函数的单调递增区间是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,-+∞
C ．[)1,1-
D ．(]3,1--
3．已知()()514,1log ,1
a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是
（ ）. A ．()0,1
B ．10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．11,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．1,19⎡⎫⎪⎢⎣⎭
4．函数(
)
2
13
log 23y x x =-++的单调递增区间是（ ）
A ．(]1,1-
B ．(1)∞－，
C ．[) 1,3
D ．(1
)∞，＋ 5．函数
1()1x f x a +=-恒过定点（ ）
A ．(1,1)
B ．(1,1)-
C ．(1,0)-
D ．(1,1)--
6．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例
如函数2
y x =，x ∈[1，2]与函数.2
y x =，[]2,1x ∈--即为同族函数，下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ） A ．y =x
B ．1
y x x
=+ C ． 22x x y -=- D ．y ＝log 0.5
x 7．已知函数()sin 2f x x x =-，且()
0.3
231ln ,log ,223a f b f c f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，则以下结论正确的是 A ．c a b >>
B ．a c b >>
C ．a b c >>
D ．b a c >>
8．函数()log (2)a f x ax =-（0a >且1a ≠）在[]0,3上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．(0,1)
C ．20,3⎛
⎫ ⎪⎝⎭
D ．[
)3,+∞
9．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，1
31
(())4
a f =，37(log )2
b f =，
13
(log 5)c f =，则a ，b
，c 的大小关系为（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
10．已知1()44x f x x -=+-e ，若正实数a 满足3(log )14
a f <，则a 的取值范围为（ ）
A ．34
a >
B ．304
a <<
或43a >
C ．3
04
a <<或1a > D ．1a >
11．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．计算log 916·log 881的值为（ ） A ．18
B ．
1
18
C ．
83
D ．38
二、填空题
13．下列命题中所有正确的序号是_____________.
①函数1()3x f x a -=+(0a >且1)a ≠的图像一定过定点(1,4)P ； ②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)； ③若1log 12a
>，则a 的取值范围是112⎛⎫
⎪⎝⎭
，
； ④若22ln ln()x y x y -->-- (0x >,0y <)，则0x y +<. 14．函数21x x +)是_________（奇、偶）函数. 15．定义{},,max ,,x x y x y y x y
≥⎧=⎨
<⎩，设{
}()max ,log x
a f x a a x
=--(),1x R a +
∈>.则不
等式()2f x ≥的解集是_____________.
16．方程(
)(
)
22log 972log 31x
x
+=++的解为______.
17．函数()()()
2
1
2
log
24
f x ax x a R
=-+∈，若()
f x的值域为(],1
-∞，则a的值为______.
18．定义在(,0)(0,)
-∞+∞上的函数
1,0
()
,0
x
x
e x
f x
e m x
-
⎧->
=⎨
+<
⎩
是奇函数，则实数m的值为______．
19．已知1
a b
>>，若
10
log log
3
a b
b a
+=，b a
a b
=，则ab=___________.
20．有以下结论：
①将函数x
y e
=的图象向右平移1个单位得到1x
y e-
=的图象；
②函数()x
f x e
=与()
g x lnx
=的图象关于直线y=x对称
③对于函数()x
f x a
=(a>0,且1
a≠)，一定有
()()
12
12
22
f x f x
x x
f
+
+
⎛⎫
≤
⎪
⎝⎭
④函数()2
2
log(2)
f x x x
=-+的图象恒在x轴上方.
其中正确结论的序号为_________.
三、解答题
21．如图，过函数()log
c
f x x
=(1)
c>的图像上的两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M(,0)
a，(,0)
N b(1)
b a
>>，线段BN与函数()log
m
g x x
=，(1)
m c
>>的图像交于点C，且AC与x轴平行.
（1）当2,4,3
a b c
===时，求实数m的值；
（2）当2
b a
=时，求
2
m c
b a
-的最小值；
（3）已知()x
h x a
=，()x
x b
ϕ=，若
1
x，
2
x为区间(),a b内任意两个变量，且12
x x
<，
求证：[][]
21
()()
h f x f x
ϕ
<.
22．已知()
11
,04
ln1,?4
x
f x a x
x x
⎧
-<≤
⎪
=⎨
⎪->
⎩
（1）若函数()
f x在2
1
,
2
e
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
的最大值为2，求a的值；
（2）若2
5
a =
，求不等式()1f x <的解集. 23．已知函数()2
2
2
1log 2m x f x x
-=-（0m >且1m ≠） （1）求()f x 的解析式；
（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；
（3）若关于x 的方程()1log m f x x =+有解，求m 的取值范围.
24．已知函数()ln(32)f x x =+，()ln(32)g x x =-.设函数()()()F x f x g x =-. （1）求函数()F x 的定义域； （2）判断()F x 奇偶性并证明； （3）若()0F x >成立，求x 的取值范围.
25．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间302⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的最大值.
26．已知函数()f x ()
()4log 41x
kx k R =++∈的图象关于y 轴对称．
（1）求实数k 的值
（2）设函数()g x 1
2
421f x x
x m +=+⋅-（），[]
20log 3x ∈，，是否存在实数m ， 使得()
g x 的最小值为0？若存在， 求出m 的值，若不存在说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
由新定义可知探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点
个数即得结果. 【详解】
由题意可知，函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则
称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，因为()23,0
2,0x
x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，由y 轴左侧
部分()3,0x
y x =-<图像关于原点中心对称的图像3x y --=-，即3x
y -=，()0x >，作
函数3x y -=，()0x >和()2
2,0y x x x =-≥的图象如下：
由图像可知两图象有三个公共点，即该函数有3对“镜像点对”. 故选：C. 【点睛】
本题解题关键是理解新定义，寻找对称点对，探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数，通过数形结合，即突破难点.
2．C
解析：C 【分析】
由()00f <求得01a <<，求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()f x 的单调递增区间. 【详解】
由题意可得()0log 30log 1a a f =<=，01a ∴<<.
对于函数()()
2
log 23a f x x x =--+，2230x x --+>，可得2230x x +-<，解得
31x -<<.
所以，函数()f x 的定义域为()3,1-.
由于内层函数223u x x =--+在区间(]3,1--单调递增，在区间[
)1,1-单调递减. 外层函数log a y u =单调递减，
由复合函数法可知，函数()f x 的单调递增区间为[
)1,1-.
故选：C. 【点睛】
方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：
（1）定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；
（2）图象法：如果函数()f x 是以图象的形式给出或者函数()f x 的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；
（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间； （4）复合函数法：先将函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦分解为内层函数()u g x =和外层函数
()y f u =，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定. 3．C
解析：C 【分析】
由51001514log 1
a a a a a -<⎧⎪
<<⎨⎪-+≥⎩
解得结果即可得解. 【详解】
因为()()514,1
log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的减函数，
所以51001514log 1
a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩
，解得1195a ≤<.
故选：C 【点睛】
易错点点睛：容易忽视两段交界点处函数值的大小关系.
4．C
解析：C 【分析】
由不等式2230x x -++>，求得函数的定义域()1,3-，令()2
23g x x x =-++，得到
()g x 在区间(]1,1-上单调递增，在区间[1,3)上单调递减，结合复数函数的单调性的判定
方法，即可求解. 【详解】
由题意，函数2
13
()log 23y x x =-++有意义，则满足2230x x -++>，
即2
23(3)(1)0x x x x --=-+<，解得13x
，即函数的定义域为()1,3-，
令()2
23g x x x =-++，则函数()g x 表示开口向下，对称轴方程为1x =的抛物线，
所以函数()g x 在区间(]1,1-上单调递增，在区间[1,3)上单调递减， 又由函数
13
log y x =在定义上是递减函数，
结合复数函数的单调性的判定方法，可得函数
2
13
()log 23y x x =-++的递增区间为[1,3). 故选：C. 【点睛】
函数单调性的判定方法与策略：
定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；
图象法：如果函数()f x 是以图象形式给出或函数()f x 的图象易作出，结合图象可求得函数的单调区间；
导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；
复合函数法：先将函数(())y f g x =分解为()y f t =和()t g x =，再讨论这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判定.
5．C
解析：C 【分析】
根据指数函数性质求定点. 【详解】
因为01a =,所以()0
11f a -=-=0,因此过定点()1,0-,选C.
【点睛】
本题考查指数函数性质以及定点问题，考查基本分析求解能力，属于基础题.
6．B
解析：B 【分析】
由题意，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调，由此判断各个函数在其定义域上的单调性即可. 【详解】
对A ：y x =在定义域R 上单调递增，不能构造“同族函数”，故A 选项不正确；
对B ：1
y x x
=+在(),1-∞-递增，在()1,0-递减，在()0,1递减，在()1,+∞递增，能构造“同族函数”，故B 选项正确； 对C ：22x
x
y -=-在定义域上递增，不能构造“同族函数”，故C 选项不正确； 对D ：0.5log y x =在定义域上递减，不能构造“同族函数”，故D 选项不正确. 故选：B. 【点睛】
本题给出“同族函数”的定义，要求我们判断几个函数能否被用来构造“同族函数”，考查基本初等函数的单调性的知识点，属于基础题.
7．D
解析：D 【解析】
因为()cos 20f x x '=-<，所以函数()sin 2f x x x =-的单调递减函数，又因为
0.32
13log 0,ln ln 1,12232e <<=<<，即0.3213
log ln 232
<<，所以由函数的单调性可得：0.3
21
3(log )(ln )(2)3
2
f f f >>，应选答案D ．
8．C
解析：C 【分析】
根据对数函数性质与复合函数的单调性求解． 【详解】
因为0a >且1a ≠，令2t ax =-，所以函数2t ax =-在[]0,3上为减函数， 所以函数log a y t =应是减函数，()f x 才可能是增函数， ∴01a <<，
因为函数()f x 在[]0,3上为增函数， 由对数函数性质知230a ->，即23
<a ， 综上023
a <<． 故选：C ． 【点睛】
本题考查复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．
9．C
解析：C 【分析】
偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增,化简
1333
(log 5)(log 5)(log 5)f f f =-=，利用中间量
比较大小得解. 【详解】
∵偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增
1333
(log 5)(log 5)(log 5)c f f f ∴==-=，
∵133317
0()1log log 542
<<<<，
133317
(()(log )(log 5)42
)f f f << ∴a b c <<. 故选：C 【分析】
本题考查函数奇偶性、单调性及对数式大小比较，属于基础题.
10．C
解析：C 【分析】 先判断
1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数，原不等式等价于3
log 14
a <，分类讨论，利
用对数函数的单调性求解即可. 【详解】 因为1
x y e -=与44y x =-都是R 上的增函数，
所以
1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数，
又因为11
(1)441f e -=+-=
所以()3(log )114a
f f <=等价于3
log 14
a <， 由1log a a =，知3
log log 4
a
a a <, 当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上单调递减，故3
4a <
，从而304
a <<； 当1a >时，log a
y x =在()0,∞+上单调递增，故3
4
a >
，从而1a >， 综上所述， a 的取值范围是3
04
a <<或1a >，故选C. 【点睛】
解决抽象不等式()()f a f b <时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数()f x 的单调性．若函数()f x 为增函数，则a b <；若函数()f x 为减函数，则a b >．
11．C
解析：C 【分析】
由题意求得1a >，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解. 【详解】
因为函数(0,1)x
y a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数x
y a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ；
又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
12．C
解析：C 【分析】
根据对数的运算性质，换底公式以及其推论即可求出． 【详解】
原式＝234
4
3232448log 2log 3log 2log 3233
⋅=⋅=． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查对数的运算性质，换底公式以及其推论的应用，属于基础题．
二、填空题
13．①③④【分析】由指数函数的图象函数的定义域对数函数的性质判断各命题①令代入判断②利用函数的定义求出的定义域判断③由对数函数的单调性判断④引入新函数由它的单调性判断【详解】①令则即图象过点①正确；②则
解析：①③④ 【分析】
由指数函数的图象，函数的定义域，对数函数的性质判断各命题．
①，令1x =代入判断，②利用函数的定义求出()f x 的定义域判断，③由对数函数的单调性判断，④引入新函数1()ln 2ln 2x
x
g x x x -⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
，由它的单调性判断．
【详解】
①令1x =，则(1)4f =，即()f x 图象过点(1,4)，①正确； ②13x <<，则012x <-<，∴()f x 的定义域是(0,2)，②错；
③1log 1log 2a a a ，∴01
12a a <<⎧⎪
⎨>⎪⎩
，∴112a <<．③正确；
④由22ln ln()x y x y -->-- (0x >,0y <)，得ln 2ln()2x y x y --<--， 又1()ln 2
ln 2x
x
g x x x -⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
是(0,)+∞上的增函数，
∴由ln 2ln()2x y x y --<--，得x y <-，即0x y +<，④正确．
故答案为：①③④
【点睛】
关键点点睛：本题考查指数函数的图象，对数函数的单调性，函数的定义域问题，定点问题：（1）指数函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象恒过定点(0,1)；
（2）对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠的图象恒过定点(1,0)，
解题时注意整体思想的应用．
14．奇【解析】又所以函数f(x)是奇函数点睛:判断函数的奇偶性其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称这是函数具有奇偶性的必要不充分条件所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等
解析：奇
【解析】
210x x x x x x R +->=-≥∴∈
又()()))
lg lg lg10f x f x x x -+=+== 所以函数f(x) 是奇函数.
点睛: 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．
在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立． 15．【分析】利用分段函数列出不等式求解即可【详解】解：在上为单调递增函数又当时当时不等式或解得或故答案为：【点睛】本题考查分段函数的应用函数值的求法考查转化思想以及计算能力
解析：2
1(0,
][log (2),)a a a ++∞ 【分析】
利用分段函数列出不等式求解即可.
【详解】
解：()log log x x
a a a a x a a x ---=-+， 1a >，()log x a g x a a x =-+在()0,∞+上为单调递增函数， 又1
(1)log 10a g a a =-+=，
当()0,1x ∈时，log 0x a a a x -+<， 当()1,x ∈+∞时，log 0x
a a a x -+>，
,1()log ,01
x a a a x f x x x ⎧->∴=⎨-<<⎩ 不等式()2f x ≥，
21x a a x ⎧-≥∴⎨>⎩
或log 201a x x -≥⎧⎨<<⎩， 解得log (2)a x a ≥+或210x a <≤
， 故答案为：21(0,
][log (2),)a a a
++∞. 【点睛】
本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力. 16．或【分析】由对数的运算性质化对数方程为关于的一元二次方程求得的值进一步求得值得答案【详解】由得即化为解得：或或故答案为：或【点睛】本题主要考查的是对数方程的求解将对数方程转化为指数方程是解决本题的关 解析：0x =或1x =.
【分析】
由对数的运算性质化对数方程为关于3x 的一元二次方程，求得3x 的值，进一步求得x 值得答案.
【详解】
由()()
22log 972log 31x x +=++，得 (
)()
22log 97log 431x x +=+， 即()97431x x +=+，
化为()234330x x -⋅+=， 解得：31x =或33x =，
0x ∴=或1x =.
故答案为：0x =或1x =.
【点睛】
本题主要考查的是对数方程的求解，将对数方程转化为指数方程是解决本题的关键，考查学生的计算能力，是基础题.
17．【分析】根据对数的性质可知且最小值为即可求得的值【详解】因为的值域为所以函数的最小值为即解得故答案为：【点睛】本题考查对数函数的值域考查对数的性质合理转化是解题的关键考查了运算能力属于中档题 解析：27
【分析】
根据对数的性质可知2240y ax x =-+>，且最小值为1，即可求得a 的值.
【详解】
因为()()
()2
12log 24f x ax x a R =-+∈的值域为(],1-∞，所以2240ax x -+>， 函数224y ax x =-+的最小值为12，即()20442142a a a >⎧⎪⎨⨯--=⎪⎩，解得27a =， 故答案为：27
【点睛】
本题考查对数函数的值域，考查对数的性质，合理转化是解题的关键，考查了运算能力，属于中档题.
18．【分析】由奇函数定义求解【详解】设则∴此时时为奇函数故答案为：
【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性对于分段函数一般需要分类求解象这种由奇函数求参数可设求得参数值然后再验证这个参数值对也适用即可本题 解析：1-．
【分析】
由奇函数定义求解．
【详解】
设0x >，则()1x f x e -=-，()x f x e m --=+，∴10x x e m e --++-=，1m =-．
此时，0x <时，()1,x f x e =-()1()x f x e f x -=-=-，()f x 为奇函数．
故答案为：1-．
【点睛】
方法点睛：本题考查函数的奇偶性，对于分段函数，一般需要分类求解．象这种由奇函数求参数，可设0x >，求得参数值，然后再验证这个参数值对0x <也适用即可．本题也可以由特殊值如(1)(1)f f -=-求出参数，然后检验即可．
19．9【分析】由对数的运算性质解并整理得由可求出的值【详解】解：整理得解得或因为所以则即因为所以所以解得或因为所以所以所以故答案为：9【点睛】关键点睛：本题主要考查对数运算和指数运算解题的关键是由得出再 解析：9
【分析】 由对数的运算性质解10log log 3a b b a +=
并整理得3a b =，由b a a b =可求出,a b 的值. 【详解】 解：110log log log log 3
a b b b b a a a +=+=，整理得()23log 10log 30b b a a -+=，
解得log 3b a =或13
，因为1a b >>，所以log 1b a >，则log 3b a =，即3a b =，
因为b a a b =，所以33b b b b =，所以33b b =，解得b =0，因为1b >，所以
b =
所以3a ==，
所以9ab ==.
故答案为：9.
【点睛】 关键点睛：本题主要考查对数运算和指数运算，解题的关键是由10log log 3a b b a +=得出3a b =，再根据指数运算求解.
20．②③④【分析】①根据图象的平移规律直接判断选项；②根据指对函数的对称性直接判断；③根据指数函数的图象特点判断选项；④先求的范围再和0比较大小【详解】①根据平移规律可知的图象向右平移1个单位得到的图象
解析：②③④
【分析】
①根据图象的平移规律，直接判断选项；②根据指对函数的对称性，直接判断；③根据指数函数的图象特点，判断选项；④先求22x x -+的范围，再和0比较大小.
【详解】
①根据平移规律可知x
y e =的图象向右平移1个单位得到1x y e -=的图象，所以①不正确；②根据两个函数的对称性可知函数()x f x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称，正确；③如下图，设1a >，122x x f +⎛⎫
⎪⎝⎭对应的是曲线上横坐标为122x x +的点C 的纵坐标，()()
122f x f x +是线段AB 的中点D 的纵坐标，由图象可知
()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
，同理，当01a <<时，结论一样，故③正确；
④2217721244x x x ⎛⎫-+=-+≥> ⎪⎝
⎭ 根据函数的单调性可知()222log 2log 10x x -+>=，所以函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方，故④正确.
故答案为：②③④
【点睛】
思路点睛：1.图象平移规律是“左＋右－”，相对于自变量x 来说，2.本题不易判断的就是③，首先理解122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭
和()()122f x f x +的意义，再结合图象判断正误. 三、解答题
21．（1）9；（2）1-；（3）证明见解析.
【分析】
（1）将2a =，4b =，3c =代入，然后分别得出点A ，C 的坐标，使点A 与点C 的纵坐标相等求解m 的值；
（2）用含a ，b 的式子表示出点A ，B ，C 的坐标，再利用AC 与x 轴平行得到m 与a ，b ，c 的关系式，代入2m c b a
-中，运用函数知识处理最值即可； （3）当12a x x b <<<，且1c >时可推出12log log log log c c c c a x x b <<<，则有2log log c c x b a a <，1log log c c a x b b <成立，又log log log log c c c c b a a b =即
log log log log c c b a c c a b =，则可证明出log log c c b a a b =，则可证明出21log log c c x x a b <，即[][]21()()h f x f x ϕ<成立.
【详解】
解：（1）由题意得A 3(2,log 2)，B 3(4,log 4) ，C (4,log 4)m ，
因为AC 与x 轴平行，所以3log 4log 2m =
所以9m =.
（2）由题意得A (,log )c a a ，B (,log )c b b ，C (,log )m b b
因为AC 与x 轴平行，所以log log m c b a =，
因为2b a =，所以2m c =. 所以22222(1)1m c c c c b a a a a
-=-=--,所以1c a =时，达到最小值1-， （3）证明：因为12a x x b <<<，且1c >，
所以12log log log log c c c c a x x b <<<，
又因为1a >，1b >，
所以2log log c c x b a a <，1log log c c a x b b <，
又因为log log log log c c c c b a a b =，
所以log log log log c c b a c c a b =，所以log log c c b a a b =，
所以21log log c c x x a b <，即21[()][()]h f x f x ϕ<.
22．（1）49a =
；（2）()220,4,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】
（1）由函数ln 1y x =-在(
24,e ⎤⎦上是增函数且max 1y =，故根据题意得函数111,42y x a x =-<≤的最大值为2，再根据函数单调性即可得1124a -=，解得49
a =. （2）根据题意得()51,042ln 1,?4x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩，进而分045112x x
<≤⎧⎪⎨-<⎪⎩或ln 114x x -<⎧⎨>⎩两种情况求解即可得答案.
【详解】
解：（1）因为函数ln 1y x =-在(
24,e ⎤⎦上是增函数，
所以2max ln 11y e =-=， 因为函数()f x 在21
,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的最大值为2， 所以函数111,42y x a x =
-<≤的最大值为2， 由于函数111,42y x a x =
-<≤是增函数， 所以1124a -=，解得：49
a =. （2）当25a =时，()51,042ln 1,?
4x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩，
所以045112x x
<≤⎧⎪⎨-<⎪⎩或ln 114x x -<⎧⎨>⎩，解得203x <<或24x e <<. 故若25
a =，求不等式()1f x <的解集为()2
20,4,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【点睛】 本题考查分段函数与对数函数的性质，考查分类讨论思想与运算求解能力，是中档题.本题
第一问解题的关键在于注意到函数ln 1y x =-在(
24,e ⎤⎦上是增函数且max 1y =，进而将问题转化为函数111,42
y x a x =-<≤的最大值为2求解，第二问的解题核心是分类讨论. 23．（1）()1log 1m
x f x x +=-；（2）()f x 为奇函数，理由见解析；（3
）3m ≥+. 【分析】
（1）令21t x =-，采用换元法求解函数解析式；
（2）先确定函数的定义域，再由函数奇偶性的定义判断即可；
（3）由条件可转化为()
11x m x x +=
-在()0,1x ∈上有解问题即可. 【详解】 （1）令21t x =-，则2
1x t =+，则()()11log log 211m m t t f t t t ++==-+-， 所以()1log 1m
x f x x +=-； （2）由101x x
+>-得11x -<<， 又()()()11log log 11m m x x f x f x x x
---===---+，所以()f x 为定义域上的奇函数； （3）由110x x -<<⎧⎨
>⎩得01x <<， 又1log 1log log 1m m m x x mx x +=+=-，11x mx x
+=-在()0,1x ∈上有解， ()
11x m x x +=-，令()11,2u x =+∈，
2132323t m u u u u ==≥=+-+-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，
当且仅当u =
,
所以3m ≥+.
【点睛】
易错点睛：
（1）判断函数的奇偶性一定不要忘记先判断定义域是否关于原点对称；
（2）利用基本不等式求解范围，一定要注意满足“一正二定三相等”的条件.
24．（1）33,22⎛⎫-
⎪⎝⎭；（2）奇函数，证明见解析；（3）302x << 【分析】
（1）由320320x x +>⎧⎨->⎩
可解得结果； （2）()F x 是奇函数，根据奇函数的定义可证结论正确；
（3）根据对数函数的单调性可解得结果.
【详解】
（1）由320320
x x +>⎧⎨->⎩，解得3322x -<<，所以函数()F x 的定义域为33(,)22-. （2）()F x 是奇函数. 证明如下： x ∀∈33
(,)22-，都有x -∈33(,)22-，因为 ()ln(32)ln(32)()F x x x F x -=--+=-， ∴()F x 是奇函数.
（3）由()0F x >可得()()0f x g x ->，得ln(32)ln(32)0x x +-->，
即ln(32)ln(32)x x +>-，
由对数函数的单调性得32320x x ，解得302x <<. 【点睛】
易错点点睛：利用对数函数的单调性解对数不等式时，容易忽视函数的定义域. 25．（1）2a =；(1,3)-；（2）2.
【分析】
（1）由函数值求得a ，由对数的真数大于0可得定义域；
（2）函数式变形为22()log (1)4f x x ⎡⎤=--+⎣⎦，由复合函数的单调性得出单调区间后可得最大值．
【详解】
解：（1）(1)2f =，log (11)log (31)log 42a a a ∴++-==，
解得2(0,1)a a a =>≠，
由1030x x +>⎧⎨->⎩
，得(1,3)x ∈-. ∴函数()f x 的定义域为()13-，.
（2）2
2222()log (1)log (3)log (1)(3)log (1)4f x x x x x x ⎡⎤=++-=+-=--+⎣⎦
∴当[0,1]x ∈时，()f x 是增函数；当3[1,]2
x ∈时，()f x 是减函数. 所以函数()f x 在3[0,]2
上的最大值是2(1)log 42f ==.
【点睛】
本题考查对数函数的性质，掌握复合函数的单调性解题关键：（前提条件：在函数定义域内）
26．（1）12-
；（2）1-． 【分析】
（1）根据()()
()4log 41x f x kx k R =++∈的图象关于y 轴对称．得到()()f x f x -=，再利用待定系数法法求解.
（2）由（1）知()42=+⋅x x g x m ，[]20log 3x ∈，，令2x t =，[]
13t ∈，得到2=+⋅y t m t ，然后利用二次函数的图象和性质求解.
【详解】
（1）()()
()4log 41x f x kx k R =++∈的图象关于y 轴对称． ∴函数()f x 是偶函数．()()f x f x ∴-=，
即()()
44log 41log 41x x kx kx -+-=++， 即()()()
44log 411log 41x x k x kx +-+=++， 即210k +=，
12
k ∴=-；
（2）()1242142（）+=+⋅-=+⋅f x x x x x g x m m ，[]20log 3x ∈，，
设2x t =，则[]13
t ∈，， 2∴=+⋅y t m t 在[]13t ∈，上最小值为0， 又22()24
m m y t =+-，[]13t ∈，， 当12
m -≤ 即2m ≥-时，1t =时10min y m =+=， 1m ∴=-，符合，
当132m -<-< 即62m -<<-时，2m t =-时，2
04
min m y =-=， 0m ∴= 不符合， 当32
m -≥ 即6m ≤-时，3t =时，930min y m =+=， 3m ∴=-，不符合，
综上所述m 的值为1-．
【点睛】
本题主要考查偶函数的应用，对数运算以及二次函数的图象和性质的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。