辽宁省大连市大连海湾高级中学2021-2021学年高二数学第一次质量检测试题

辽宁省大连市大连海湾高级中学2021-2020学年高二数学第一次质量
检测试题
总分： 150 时间：120分钟
一、
选择题（单选题，每题5分，共12道题，合计60分）：
1．在等差数列{}n a 中,1261,10,a a a =+=则7a = ( )
.A 9 .B 10 .C 11 .D 12
2.已知数列{}n a 满足11
2
n n a a +=，若48a =，则1a 等于 ( )
.A 1 .B 2 .C 64 .D 128
3. 一个三位数，其十位上的数字小于百位上的数字且大于个位上的数字，这样的三位数共有 （ ）
.A 360 .B 120 .C 111 .D 84
4. 5
(2)x y -的展开式中,2
3
x y 的系数为 ( )
.A 40 .B 40- .C 80 .D 80-
5. 用数学归纳法证明“633
1232
n n n +++++=,n N *∈”,则当1n k =+时,应当在n k
=时对应的等式的左边加上
( )
.A 31k + .B 3
(1)k +
.C 3333(1)(2)(3)(1)k k k k ++++++
++ .D 33(1)k k +-
6.已知随机变量()~7,4X N ，且(59),(311)P X a P X b <<=<<=，则(39)P X <<=
（ ）
.A
2b a - .B 2b a + .C 22b a - .D 22
a b
- 7. 数列{}n a 中，已知121,2,s s ==且1123n n n s s s +-+=,2,n n N ≥∈，{}n a 为( )
.A 等差数列 .B 等比数列
.C 从第二项起为等差数列 .D 从第二项起为等比数列
8. 已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'2()2(1)ln(1)f x xf x =++,则'
(1)f 等于
( )
.A 1 .B 1- .C 12 .D 1
2
-
9.若2020
23202001232020(12)
x a a x a x a x a x -=+++++,x R ∈， 则1352019352019a a a a +++
的值为 ( )
.A 2021 .B 2020
.C 20192020(13)- .D 2019
2020(13)+
10.等差数列}{n a 中，n S 为前项n 和，已知20202020a =，且2020202000202020
S S
-=，则1a 等于
（ ）
.A ．2018- .B ．2017- C ．2016- D ．2015-
11.已知函数()sin cos f x a x b x =+（x R ∈），若0x x =是函数()f x 的一条对称轴，且
0tan 2x =，则()a b ，所在的直线为 （ ）
A .20x y -= .
B 20x y +=
C . 20x y -=
D . 20x y +=
12.若曲线2
1:C y x =与曲线2:x
e C y a
=（0a >）存在公共切线，则a 的取值范围为（ ）
.A ()01， .B 214e ⎛⎤ ⎥⎝⎦， C . 2,24e ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
D . 2,4e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭ 二、填空题（每题5分，共4道题，合计20分）：
13. 将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球号与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有_____________种。

14. 已知1912)3
x -（则展开式中系数最大的项的项数为_______．
15. 为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）的影响，x 1 2 3 4 5 y 7.0 6.5 m 3.8 2.2 已知x 和y 具有线性相关关系，回归方程为 1.238.69y x =-+，则表中m 的值为 _ ． 16.“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前46项和为____________.
三、解答题（共6道题，合计70分）
17.（10分）随着我国经济的高速发展，很多城市空气污染较为严重，应当注重环境的治理，现随机抽取某市一年（365天）内100天的空气质量指数（AQI ）的监测数据，统计结果如下表：
AQI 指
数 []0,50 (]50,100 (]100,150 (]150,200 (]200,300 ()300,+∞
空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数
5
15
18
22
15
25
22⨯ 非严重污染 严重污染 合计 供暖季 非供暖季 合计
附： ()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++.
()
20P K k ≥ 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k
1.323
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18. （12分）
已知函数()f x ax =， ()ln g x x =，存在(]0,t e ∈，使得()()f t g t -的最小值为3，令
()()()h x f x g x =-。

()(1)h x 求的单调区间；
2（）
函数()ln g x x =图象上一点P 到函数()f x ax =图象上一点Q 的最短距离.
19.(12分)
已知数列}{n a 是等差数列，11=a ，前n 项和为n S ，数列}{n b 是等比数列，41=b ，前n 项和为n T ，若12,2624-==T S b a ． （1）求}{}{n n b a 和的通项公式；
（2）判断是否存在最小的自然数0n ，使得大于0n 的一切自然数n ，总有n
a n
b n n 1
23<-成立，
并给出你的证明． 20．（12分）
“中
国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20
本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段： [)20,30， [)30,40， [)40,50，
[)50,60， [)60,70， []70,80后得到如上图所示的频率分布直方图.问： （1）估计在40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数；
（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；
（3）若从年龄在[)20,40的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[)30,40的人数X 的分布列及数学期望.
21.（12分）设数列
{}
n a 的首项11a =，前n 项和n s 满足关系式
1(1)n n ts t s t --+=,(0,n N,n 2)t >∈≥.
（1）求证：数列{}n a 是等比数列；
（2）设数列{}n a 的公比为()f t ，作数列{}n b ，使11,b =11,(,2)n n b f n N n b -⎛⎫
=∈≥ ⎪⎝⎭
，求数列{}n b 的通项公式；
（3）数列{}n b 满足条件（2），求下面式子的和：
12233445212221n n n n b b b b b b b b b b b b -+-+-+
+-.
22.（12分） 已知2
()46ln ,f x x x x =--
（1）求()1(1))()f x f f x 在（，处的切线方程及的单调性；
（2）'21
(1,),()()6(1)12x xf x f x x k k x
∀∈+∞->+--恒成立，求整数的最大值；
（3）1212()()4(6)ln ,())g x f x x a x g x x x x x =+--<的两个零点分别为，（，
且0x 是()g x 唯一的极值点，求证：12034x x x +>.
答案
ACBDCBDBCAAD
13. 12 14. 17 15. 5.5 16. 2037
合计 75
25 100
（2）()21002510501550
406075259
K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 5.556 5.024≈>.
答：有97.5%以上的把握认为该市本年度空气严重污染与供暖有关.
18.1.设()()1
,h x ax lnx h x a x
'=-=-，
（2）当0a >时， ()1a x a h x x
⎛
⎫- ⎪
⎝⎭='. ①当10a e <≤时， 1
e a
≥,()0h x '<在(]0,e 恒成立，所以()h x 在上(]0,e 单调递减.
()()4
13,min h x h e ae a e
==-==（舍去）.
②当1a e >时， 1
0e a <<，
当10x a <<时， ()0h x '<，所以()h x 在上10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减，
当1x e a <<时， ()0h x '>，所以()h x 在上1,e a ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增. （2）所以()2
113,min h x h lna a e a ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭
满足条件.
设与直线()2f x e x =平行的直线与()ln g x x =相切，切点为()00,x lnx ，则2
1e x =，所以
021x e
=.
所以切点为21,2e ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，所以最短距离为242412
31d 1
e e e e ⨯++==+19.解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，等比数列}{n b 的首项为41=b ，公比为q
据题意知：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==⇒⎩⎨⎧+=-+=+⇒-==+⇒=3121871221561243111224d q q q b b d T S q d b a b ，∴+=1n a
)2(3
1)1(31+=-n n ，3111)21
()21(4---=⋅==n n n n q b b 。

（2）∵3)2
1(),2(31-=+=n n n b n a ， ∴
33
)21(22)21(23--=-+=-n n n n n n a nb ，易验证：
存在50=n 使0n n >时n n
1)21(3<-成立。

证明：①当6=n 时61
81
)21()21(33<
==-n 成立， ②假设)6(>=n k n 时 k k 1)21(3<-，则：1
1
1
21121)21()21(331+<
+=⋅<⋅=--+k k
k k k k 成立，∴由①②知对一切+∈N n 且6≥n 有
n
a n
b n n 1
23<-成立 20．解：
（3）年龄在[)20,30的读书者有0.00510402⨯⨯=人， 年龄在[)30,40的读书者有0.0110404⨯⨯=人， 所以X 的所有可能取值是0,1,2，
()20242
41
015C C P X C ===， ()1124248
115C C P X C ===，
()02242
46
215
C C P X C ===， X 的分布列如下：
X
0 1 2
P
115
8
15 615
数学期望0121515153
EX =⨯+⨯+⨯=.
21.解：
（2）由，得
.
所以是一个首项为1，公差为1的等差数列.于是.
（3）由，可知和是首项分别为1和2，公差均为2的等差数列，于是，所以
.
22。