2020年高中数学专题测试 15函数的模型及其应用

15 函数的模型及其应用
一、基础训练
1．某电脑单价为a 元，现八折优惠，则购电脑x （*
x N ∈）台所需款项y 元与x 的函数关系式
是 ．
2．某人去银行存款a 万元，每期利率为p ，并按复利计算，则存款n （*
x N ∈）期后本利和为
万元．
3．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后的剩留量为y ，则x 与y 之间的函数关系是 ．
4．根据市场调查，某商品在最近10天内的价格()f t 与时间t 满足关系式1
()102
f t t =+
（110t ≤≤，*t N ∈），销量()g t 与时间t 满足关系式()24g t t =-（110t ≤≤，*
t N ∈），则这种商品的日销售额的最
大值为 ．
5．某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利．则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式是 ．
6．有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围城一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形的最大面积为 ．（围墙不计厚度）
7．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元的部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算：
x 的解析式为 ，若
30y =，则此人购物总金额为 元．
8．如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P 沿着折线BCDA ，点B （起点）向A 点（终点）移动，设P 点移动的路程为x ，ABP ∆的面积为y ，则ABP ∆的面积与点P 移动的路程x 之间的函数关系式是 ．
二、例题精讲
例1．某村计划建造一个室内面积为2
800m 的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
例2．某工厂生产某种产品，每件产品出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有3
0.5m 污水排出，为了净化环境，所以工厂设计了两种方案对污水进行处理，并准备实施． 方案1：工厂污水先净化后处理在排出，每处理3
1m 污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；
方案2：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每31m 污水需付14元排污费．
（1）若工厂每月生产3000件产品，你作为厂长在不污染环境又节约资金的前提下，应选择哪种处理污水的方案？请通过计算加以说明；
（2）若工厂每月生产6000件时，你作为厂长又该如何决策呢？
例3．如图，长方体物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向做匀速移动，速度为v （0v >），雨速沿E 移动方向的分速度为c （c R ∈）．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：○1P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与||v c S -⨯成正比，比例系数为1；○2其他面的淋雨量之和，其值
为
1
2
．记y 为E 移动过程中的总淋雨量，设移动距离100d =，面积32S =．
（1）写出y 的表达式；
（2）若010,05v c <≤<≤，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．
例4．已知海岛A 与海岸公路BC 的距离AB 为50km ，B 与C 之间的距离为100km ，从A 到C ，先乘船到D ，船速为25km/h ，再乘汽车由D 到C ，车速为50km/h ．设从A 到C 所用时间为y （h ）． （1）按下列要求写出函数关系式：
○
1设ADB θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数关系式； ○
2设BD x =（km ），将y 表示成x 的函数关系式． （2）请你用（1）中一个函数关系式，确定登陆点的位置，使从A 到C 所用时间最少．
三、巩固练习
1．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目．按要求，对项目甲的投资不小于对项目乙的投资的
2
3
，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获利0.6万元的利润．该公司正确规划投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为 万元．
2．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是0T ，经过一定时间t （单位：
min ）后的温度是T ，则01()2t h
a a T T T T ⎛⎫-=-⋅
⎪
⎝⎭
，其中a T 称为环境温度，h 称为半衰期．现有一杯88C ︒
热水冲的速溶咖啡,放在24C ︒
的房间中,如果咖啡降到40C ︒
需要20min,那么这杯咖啡要从40C ︒
降到32C ︒
,还需 时间．
3．将进货单价为80元的商品按90元一个出售时,能卖出400个．已知该商品每涨价1元,其销售量就减少20个,为了获得最大利润,售价应定为 元． 4．某地每年消耗木材20万立方米,每立方米价格为240元,为了减少木材消耗,决定按t %征收木材税,这样每
年的木材消耗量减少
5
2
t 万立方米,为了减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元,则t 的取值范围是 ．
四、要点回顾
1．解应用题，首先通过审题，分析原型结构，深刻认识问题的实际背景，确定主要矛盾，提出必要的假设，将应用问题转化为数学问题求解；然后，经过检验，求出应用问题的解．从近几年高考应用题来看，顺利解答一个应用题重点要过三关，也就是要从三个方面来具体培养学生分析问题和解决问题的能力： （1）事理关：通过阅读，知道讲的是什么，培养学生独立获取知识的能力；
（2）文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系； （3）数理关：在建构数学模型的过程中，要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向实际问题的转化构建了数学模型后,要正确解出问题的答案,需要扎实的基础知识和较强的数理能力．
函数模型及其应用作业
1．假如某商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R =广告效应为D A =，则广告费A = 时，广告效应D 最大．
2．已知产品生产件数x 与成本y （万元）之间有函数关系2
300200.1y x x =+-，若每件产品成本均不超过7万元，则产品产量至少应为 件．
3．铁道机车运行1h 所需的成本由两部分组成：固定部分m 元，变动部分（元）与运行速度x （km/h ）的平方成正比，比例系数为k （0k >）．如果机车从甲站匀速开往乙站，甲、乙两站间的距离为500km ，则机车从甲站运行到乙站的总成本y （元）与机车运行速度x 之间的函数关系为 ．
4．用总长为14.8m 的钢条做成一个长方体容器的框架，如果所做容器有一边比另一边长0.5m ，则它的最大容积为 3
m ．
5．某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第20层，每层1人，而电梯只允许停一次，只可使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假定乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走1层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S ，为使S 最小，电梯应当停在第 层． 6．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为
21
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p x =-，且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）．则该产品每月生产
吨才能使利润达到最大，最大利润是 万元．（利润=收入-成本）
7．渔场中鲜鱼的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大，必须留出适当
的空闲量．已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k （0k >）（空闲率：空闲量与最大养殖量的比值）．
（1）写出y 关于x 的函数关系式，并求其定义域； （2）求鱼群年增长量的最大值；
（3）当鱼群的年增长量达到最大时，求k 的取值范围． 8．（2011湖北卷）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （1）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；
（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大？并求出此最大值．（精确到1辆/小时）
9．甲、乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数()f x ，()g x 及任意0x ≥，当甲公司投入x 万元作宣传费时，若乙公司投入的宣传费小于()f x 万元，则乙公司有失败的风险，否则无风险；当乙公司投入
x 万元作宣传费时，若甲公司投入的宣传费小于()g x 万元，则甲公司有失败的风险，否则无风险．
（1）请解释(0)f ，(0)g 的实际意义； （2）设直线1
100
y x =
与()y f x =的图像交于点00(,)x y ，00x >，请解释00(,)x y 的实际意义．
10．在50km 长的铁路线AB 旁的C 处有一个工厂，它与铁路的垂直距离为10km ．由铁路上的B 处向工厂提供原料，公路与铁路每吨每千米的货物运价比为5:3．为了节约运费，在铁路的D 处修一货物运转站，沿CD 修一公路（如图），为了使原料从B 处经货物转运站运到工厂C 的运费最省，D 点应选在何处？。