没有极限概念,如何理解导数的几何意义(中学数学研究)

没有极限概念，如何理解导数的几何意义
安徽省阜阳市第三中学董海涛236006 导数是微积分的核心内容之一，由于它是研究现代科学技术必不可少的工具，也是研究函数性质的有效方法，同时它也是高等数学的内容，所以在历次教材改革中，变动既频繁又较大，既体现了编者对它割舍不下的情怀又充满了不知如何安排的迷茫。

本文就北师大版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2》（以下简称“新课程教材”）中对这部分内容的安排，提出教学中的困惑，并结合实践，提出对策，供大家参考。

1新课程教材安排
与原人教版《全日制普通高级中学教科书数学选修II》（以下简称旧课程教材）相比，新课程教材在教学内容、教学要求上都有很大变化，其中与本文讨论有关的是导数概念的引入，不讲极限概念，而是注重通过实际背景创设丰富的情境，不惜篇幅引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从本质上认识和理解导数概念，在给出导数定义后，又给出了三个具体例子，加深对导数的实际意义的认识，这些都是旧课程教材所没有呈现的。

教材的具体安排是：§1 《变化的快慢与变化率》，用了两个实例分析和两个例题，帮助学生实现“平均变化率”到“瞬时变化率”的质的飞跃，为导数概念的引入做好了扎实的铺垫。

§2《导数的概念及其几何意义》，由于有了上一节大量生动的背景实例，
至此，抽象出导数定义已是水到渠成。

实际教学中，学生对“……在数学中，称瞬时变化率即为函数y=f(x)在x 0点的导数”是欣然接受的，相对于旧课程教材，导数定义的给出无疑是成功的，但我们的困惑是：
2没有极限的概念，如何理解导数的几何意义
新课程教材在§2中，专门安排了§2.2《导数的几何意义》，教材在描述性地给出了“曲线的切线”定义后，紧接着就是“该切线的斜率就是函数y=f(x)在x 0处的导数0'()f x ”。

学生的困惑是：0'()f x 不是函数y=f(x)在点x 0处的瞬时变化率吗？它反映的不是割线AB 在点x 0处的变化快慢吗？它怎么又是y=f(x)在点x 0处的切线斜率了呢？我们困惑的是：（1）本想弱化形式化的定义，降低学生理解导数的难度，但教材在导数定义后，又“通常用符号0'()f x 表示，记作10000010()()()()'()lim lim x x f x f x f x x f x f x x x x
→∞→-+-==-”，这里还是出现了形式化的定义了。

（2）极限定义能回避得了吗？导数定义中无法回避，这是不争的事实，新课程教材在§3《计算导数》中，不仅出现了极限的符号，而且出现了极限的运算，与其在这里让老师费尽口舌给一头雾水的学生解释半天（事实上学生仍无法理解），既偏离了主题又没有效果，不如干脆增加一节“极限的定义”。

3我们的对策
我省是2006年秋季进入新课改的，首轮教学中我们循规蹈矩地按教材进行的教学，结果学生只能是生吞活剥地记下结论，由于不理解导数的几何意义，在实际应用中，只能是照搬模仿，根本谈不上灵活二字。

在2007年开始的二轮教学中，我们对新教程教材作了大胆的尝试，收到了理想的效果，具体地在两处做了调整。

3．1增加一节极限的定义
在选修2-2§2《变化率与导数》的§1《变化的快慢与变化率》之前，增加一节，课题是《极限的定义》，课时为一节课，主要介绍极限符号的引入和使用，初步渗透极限思想，具体内容是：
首先，通过列举实例，给出“数列极限”的描述性定义：一般地，设{a n }是一个无穷数列，如果当n 趋向于无穷大时，a n 无限地趋向于一个常数a ，则称a 是数列{a n }的极限。

然后给出形
式化的符号表示：即“当n a →∞→n 时,a ”记作“lim n n a a →∞
=” 然后，将数列极限的初步认识正迁移到“函数极限”，仍然通过实例列举，只介绍“当0x x →时，函数f(x)的极限”，并给出
形式化的符号表示：“当0x x →时，f(x)→a ，记作0
lim ()x x f x a →=”，以实现数列极限的顺应和同化。

这里不介绍“当x →∞时，函数f(x)的极限”，也不介绍“函数的左、右极限”，以免增加学生理解上的困难，更主要的是避免冲淡主题——我们这里只是介绍极限的
形式化表示和极限思想，并不涉及极限的完整定义。

实事上，在旧课程教材选修II 中，学生对“0x x →时，函数f(x)的极限”的理
解要比“函数的左、右极限”容易的多。

最后，为了加深对极限符合的认识，我们设计了一组练习：
1、请用语言描述下列极限符号的含义（有的教师根据班级学生情况，要求学生探究符合要求的数列{a n }或函数f(x)的解析式）：
1011(1)lim 1 (2)lim () 2 (3)lim () (4)lim ()43
n n x x x a f x f x f x →∞→→→-==-== 2、选择题：正三棱锥S-ABC 的相邻两个侧面所成的二面角为α，则α的取值范围是（ ）
A 、（0，π）
B 、(,)6ππ
C 、(,)3ππ
D 、(,)32
ππ 3．2调整一段叙述
有了极限的符号表示，在§1节例1和例2中，均可以用极限符号表示“小球在t=5s 时刻的瞬时速度”和“合金棒在x=2处的线密度”了，而且将§2.2《导数的几何意义》的叙述调整为：
函数y=f(x)在区间[x 0,x 0+△x]的平均变化率为y x
，如图2-3所示，它是过A （x 0,f(x 0)）和B(x 0+△x ，f(x 0+△x ))两点的直线的斜率，直线AB 称为曲线y=f(x)在A 处的一条割线。

如图2-4所示，设函数y=f(x)的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当点B(x 0+△x),f(x 0+△x)）沿着曲线逐渐向点A(x 0,f(x 0))靠近时，割线AB 将绕着点A 逐渐移动，当点B 沿着
曲线无限接近点A(即△x →0)时，割线AB 也无限地逼近一个极限位置——直线AC ，直线AC 和曲线y=f(x)在点A 处给我们“相切”的感觉，称直线AC 为曲线y=f(x)在点A 处的切线。

由于割线AB 和切线AC 都过点A ，所以割线AB 无限地趋近切线AC 也即是K AB 无限地趋近K AC 。

将上述变化过程表示如下：当△x →0时，K AB →K AC ，由极限的定义，即000000()()lim lim lim '()AC AB x x x f x x f x y K K f x x x
→→→+-==== 所以函数y=f(x)在x 0处的导数0'()f x 就是曲线在点A （x 0,y 0）处的切线斜率，这就是导数的几何意义。

图2-3 图2-4
4几点反思
4．1何谓“适度”的形式化？“数学教学不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识。

否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里”，“强调本质，注重适度的形式化”（新课标十大基本理念之一）无疑是十分正确的。

但“形式化是数学的基本特征之一，在数学教学中，学习形式化的表达是一项
基本要求”。

具体地，导数定义能离开形式化的表达吗？离开形式化的表达，只能让学生死记导数的几何意义，这与新课标理念背道而弛吧。

事实上，高二学生理解极限、导数的形式化表达并没有什么障碍。

4．2增加一节极限的定义，是否增加了课时？新课标实施的阵地在课堂，增加一节极限定义，是增加了一个课时，看看以高考为目的的普遍高中的课时安排吧，有几个学校的数学课时是每周四节？搞理论可以走得极端一些，但实践还是以尊重客观实际的好，以我校两个年级的实际教学效果看，增加一节极限定义，无疑是必要的。

4．3新课标要求实践于一线的广大教师，不仅是教材的执行者，还应是教材完善的参与者和建议者，教材是实现课程目标、实施课堂教学的重要资源，既然是资源就可以开发、利用，一线教师完全可以教学实际与需要，对教材做出合理的整合。

参考资料：
1中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[]M.北京:人民教育出版社.2003.4
2严士健、王尚志.普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-2）[]M.北京：北京师范大学出版社.2008.6
下面为朱自清的散文欣赏，不需要的朋友可以下载后编辑删除！！！谢谢！！！
荷塘月色
作者: 朱自清
这几天心里颇不宁静。

今晚在院子里坐着乘凉，忽然想起日日走过的荷塘，在这满月的光里，总该另有一番样
子吧。

月亮渐渐地升高了，墙外马路上孩子们的欢笑，已
经听不见了；妻在屋里拍着闰儿，迷迷糊糊地哼着眠歌。

我悄悄地披了大衫，带上门出去。

沿着荷塘，是一条曲折的小煤屑路。

这是一条幽僻的路；白天也少人走，夜晚更加寂寞。

荷塘四面，长着许多树，蓊蓊郁郁的。

路的一旁，是些杨柳，和一些不知道名字的树。

没有月光的晚上，这路上阴森森的，有些怕人。

今晚却很好，虽然月光也还是淡淡的。

路上只我一个人，背着手踱着。

这一片天地好像是我的；我也像超出了平常的自己，到了另一世界里。

我爱热闹，也爱冷静；爱群居，也爱独处。

像今晚上，一个人在这苍茫的月下，什么都可以想，什么都可以不想，便觉是个自由的人。

白天里一定要做的事，一定要说的话，现在都可不理。

这是独处的妙处，我且受用这无边的荷香月色好了。

曲曲折折的荷塘上面，弥望的是田田的叶子。

叶子出水很高，像亭亭的舞女的裙。

层层的叶子中间，零星地点缀着些白花，有袅娜地开着的，有羞涩地打着朵儿的；正如一粒粒的明珠，又如碧天里的星星，又如刚出浴的美人。

微风过处，送来缕缕清香，仿佛远处高楼上渺茫的歌声似的。

这时候叶子与花也有一丝的颤动，像闪电般，霎时传过荷塘的那边去了。

叶子本是肩并肩密密地挨着，这便宛然有了一道凝碧的波痕。

叶子底下是脉脉的流水，遮住了，不能见一些颜色；而叶子却更见风致了。

月光如流水一般，静静地泻在这一片叶子和花上。

薄薄的青雾浮起在荷塘里。

叶子和花仿佛在牛乳中洗过一样；又像笼着轻纱的梦。

虽然是满月，天上却有一层淡淡的云，所以不能朗照；但我以为这恰是到了好处——酣眠固不可少，小睡也别有风味的。

月光是隔了树照过来的，高处丛生的灌木，落下参差的斑驳的黑影，峭楞楞如鬼一般；弯弯的杨柳的稀疏的倩影，却又像是画在荷叶上。

塘中的月色并不均匀；但光与影有着和谐的旋律，如梵婀玲上奏着的名曲。

最新有关系学生会竞选演讲稿范文
敬的学校领导、老师、亲爱的同学们：
大家好!
我是来自xx班的xx。

我性格活泼开朗，处事沉着、果断，能够顾全大局。

今天我很荣幸地站在这里表达自己由来已久的愿望：“我要竞选学生会宣传部部长。

”我在这里郑重承诺：“我将尽全力完成学校领导和同学们交给我的任务，使学生会成为一个现代化的积极团体，成为学校的得力助手和同学们信赖的组织。

”
我已经在团委会纪检部(或班级的干部)工作了近一年的段时间，从工作中，我学会了怎样为人处世、怎样学会忍耐，怎样解决一些矛盾，怎样协调好纪检部各成员之间的关系，怎样处理好纪检部与其它部门之间的关系，怎样动员一切可以团结的力量，怎样提拔和运用良才，怎样处理好学习与工作之间的矛盾。

这一切证明：我有能力胜任学生会宣传部部长一职，并且有能力把学生会发扬光大。

假如我当上了学生会宣传部长，我要进一步完善自己，提高自己各方面的素质，要进一步提高自己的工作热情，以饱满的热情和积极的心态去对待每一件事情;要进一步提高责任心，在工作中大胆创新，锐意进取，虚心地向别人学习;要进一步的广纳贤言，做到有错就改，有好的意见就接受，同时坚持自己的原则。

假如我当上了学生会宣传部部长，我要改革学生会的体制。

真正的做到“优胜劣汰”，做到“日日清，周周结”，每周都对各部门的负责人进行考核，通过其部门的成员反应情况，指出他在工作中的优点和缺点，以朋友的身份与他商讨解决方案并制定出下阶段的计划。

经常与他们谈心，彼此交流对生活、工作的看法，为把学生会工作做好而努力。

开展主席团成员和各部长及负责人常作自我批评，自我检讨的活动，每月以书面材料形式存入档案。

我还将常常找各部门的成员了解一些情况，为作出正确的策略提供可靠的保证。

还要
协调好各部门之间的关系，团结一切可团结的力量，扩大学生会宣的影响及权威。

假如我当上了学生会宣传部部长，我将以“奉献校园，服务同学”为宗旨，真正做到为同学们服务，代表同学们行使合法权益，为校园的建设尽心尽力。

在学生会利益前，我们坚持以学校、大多数同学的利益为重，决不以公谋私。

努力把学生会打造成一个学生自己管理自己，高度自治，体现学生主人翁精神的团体。

我知道，再多灿烂的话语也只不过是一瞬间的智慧与激情，朴实的行动才是开在成功之路上的鲜花。

我想，如果我当选的话，一定会言必行，行必果。

请各位评委给我一张信任的投票，给我一个施展才能的机会!
荷塘的四面，远远近近，高高低低都是树，而杨柳最多。

这些树将一片荷塘重重围住；只在小路一旁，漏着几段空隙，像是特为月光留下的。

树色一例是阴阴的，乍看像一团烟雾；但杨柳的丰姿，便在烟雾里也辨得出。

树梢上隐隐约约的是一带远山，只有些大意罢了。

树缝里也漏着一两点路灯光，没精打采的，是渴睡人的眼。

这时候最热闹的，要数树上的蝉声与水里的蛙声；但热闹是它们的，
我什么也没有。

忽然想起采莲的事情来了。

采莲是江南的旧俗，似乎很早就有，而六朝时为盛；从诗歌里可以约略知道。

采莲的是少年的女子，她们是荡着小船，唱着艳歌去的。

采莲人不用说很多，还有看采莲的人。

那是一个热闹的季节，也是一个风流的季节。

梁元帝《采莲赋》里说得好：于是妖童媛女，荡舟心许；鷁首徐回，兼传羽杯；欋将移而藻挂，船欲动而萍开。

尔其纤腰束素，迁延顾步；夏始春余，叶嫩花初，恐沾裳而浅笑，畏倾船而敛裾。

可见当时嬉游的光景了。

这真是有趣的事，可惜我们现在早已无福消受了。

于是又记起《西洲曲》里的句子：
采莲南塘秋，莲花过人头；低头弄莲子，莲子清如水。

今晚若有采莲人，这儿的莲花也算得“过人头”了；只不见一些流水的影子，是不行的。

这令我到底惦着江南了。

——这样想着，猛一抬头，不觉已是自己的门前；轻轻地推门进去，什么声息也没有，妻已睡熟好久了。

在北京住了两年多了，一切平平常常地过去。

要说福气，这也是福气了。

因为平平常常，正像“糊涂”一样“难得”，特别是在“这年头”。

但不知怎的，总不时想着在那儿过了五六年转徙无常的生活的南方。

转徙无常，诚然算不得好日子;但要说到人生味，怕倒比平平常常时候容易深切地感着。

现在终日看见一样的脸板板的天，灰蓬蓬的地;大柳高槐，只是大柳高槐而已。

于是木木然，心上什么也没有;有的只是自己，自己的家。

我想着我的渺小，有些战栗起来;清福究竟也不容易享的。

这几天似乎有些异样。

像一叶扁舟在无边的大海上，像一个猎人在无尽的森林里。

走路，说话，都要费很大的力气;还不能如意。

心里是一团乱麻，也可说是一团火。

似乎在挣扎着，要明白些什么，但似乎什么也没有明白。

“一部《十七史》，从何处说起，”正可借来作近日的我的注脚。

昨天忽然有人提起《我的南方》的诗。

这是两年前初到北京，在一个村店里，喝了两杯“莲花白”以后，信笔涂出来的。

于今想起那情景，似乎有些渺茫;至于诗中所说的，那更是遥遥乎远哉了，但是事情是这样凑巧：今天吃了午饭，偶然抽一本旧杂志来消遣，却翻着了三年前给S的一封信。

信里说着台州，在上海，杭州，宁波之南的台。

这真是“我
的南方”了。

我正苦于想不出，这却指引我一条路，虽然只是“一条”路而已。

---------------朱自清《一封信》
燕子去了，有再来的时候;杨柳枯了，有再青的时候;
桃花谢了，有再开的时候。

但是，聪明的，你告诉我，我们的日子为什么一去不复返呢?——是有人偷了他们罢：那是谁?又藏在何处呢?是他们自己逃走了罢：现在又到了哪里呢?
我不知道他们给了我多少日子;但我的手确乎是渐渐
空虚了。

在默默里算着，八千多日子已经从我手中溜去;像针尖上一滴水滴在大海里，我的日子滴在时间的流里，没有声音，也没有影子。

我不禁头涔涔而泪潸潸了。

--载自《匆匆》
这时我们都有了不足之感，而我的更其浓厚。

我们却只不愿回去，于是只能由懊悔而怅惘了。

船里便满载着怅惘了。

直到利涉桥下，微微嘈杂的人声，才使我豁然一惊;那光景却又不同。

右岸的河房里，都大开了窗户，里面亮着晃晃的电灯，电灯的光射到水上，蜿蜒曲折，闪闪不息，正如跳舞着的仙女的臂膊。

我们的船已在她的臂膊里了;如
睡在摇篮里一样，倦了的我们便又入梦了。

那电灯下的人物，只觉像蚂蚁一般，更不去萦念。

这是最后的梦;可惜是最短的梦!黑暗重复落在我们面前，我们看见傍岸的空船上一星两星的，枯燥无力又摇摇不定的灯光。

我们的梦醒了，我们知道就要上岸了;我们心里充满了幻灭的情思。

--载自《桨声灯影里的秦淮河》
近几年来，父亲和我都是东奔西走，家中光景是一日不如一日。

他少年出外谋生，独力支持，做了许多大事。

那知老境却如此颓唐!他触目伤怀，自然情不能自已。

情郁于中，自然要发之于外;家庭琐屑便往往触他之怒。

他待我渐渐不同往日。

但最近两年的不见，他终于忘却我的不好，只是惦记着我，惦记着我的儿子。

我北来后，他写了一信给我，信中说道，“我身体平安，惟膀子疼痛利害，举箸提笔，诸多不便，大约大去之期不远矣。

”我读到此处，在晶莹的泪光中，又看见那肥胖的，青布棉袍，黑布马褂的背影。

唉!我不知何时。