陕西省西工大附中2012-2013学年高二上学期期中考试数学理试题(必修3和选修2-1)

2012—2013学年度第一学期模块质量检测试卷
高二数学（理科）（必修3和选修２-1）
一．选择题：（共10 小题，每题只有一个正确答案，每小题4分，满分40分）
1．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家。

为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。

若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（ ） A.2
B. 3
C. 5
D. 13
2．椭圆22
1167
x y +
=的左右焦点为1F 、2F ,一直线过1F ,交椭圆于,A B 两点，则2ABF ∆的周长为 （ ）
A ． 32
B ． 16
C ． 8
D ． 4 3．下列说法中，正确的是( )． A ．数据5，4，4，3，5，2的众数是4 B ．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方
C ．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半
D ．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数
4．椭圆两焦点坐标为12(1,0),(1,0)F F -，两焦点恰好把长轴三等分，则该椭圆的标准方程是（ ）
A ． 22198x y +
= B ． 2
219x y += C ． 2213632x y +
= D ． 2
2136
x y += 5．已知命题p ：对于任意,x R ∈都使得sin 1x ≤，则（ ） A.:p ⌝存在,x R ∈使得sin 1x ≥ B. :p ⌝对于任意,x R ∈使得sin 1x ≥ C.:p ⌝存在,x R ∈使得sin 1x > D. :p ⌝对于任意,x R ∈使得sin 1x > 6．设,x y R ∈则“22x y ≥≥且”是“224x y +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（ ）
A ．），（2222-
B ．），（22-
C ．
），（4242- D ．），（8
1
81- 8．一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40、0.125，则n 的值为（ ）
A ．640
B ．320
C ．240
9．过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ， 关于y x =对称时，它们之间的夹角为（ ） A ．30
B ．45
C ．60
D ．90
10．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若点P 在平面ABCD 内运动，使得P 到直线AB 和
11A D 的距离平方和为2，则动点P 的轨迹是（ ）
A ．圆
B ．椭圆
C ．部分椭圆
D ．两条直线
二．填空题（共4 小题，每小题4分，满分16分）
11．设实数,x y 满足20
240,230
x y y x y x y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
则的最大值是 。

12．已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要
条件。

现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分不必要条件；③r 是q 的必要不充分条件；④p s ⌝⌝是的必要不充分条件；⑤r 是s 的充分不必要条件，则正
确命题序号是 。

13．一个社会调查机构就某地居民的月收
入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如右图） 为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方
法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人。

14．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22x y a b +=1( a b >>0)的焦距2c ，过点2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
做圆
222x y a +=的两切线12,l l ，12l l ⊥，则椭圆离心率e = 。

三、解答题（共5个小题，满分共44分） 15．（本题满分8分）
已知动点M 到椭圆22
2211312
x y +=的左焦点和右焦点的距离比为2:3，求动点M
的轨迹方程。

16．（本题满分8分）
某医院用甲、乙两种原料为的病人配营养餐，其营养成分和售价如下：
料，才能既满足营养，又使费用最省？ 17．（本题满分8分）
某产品的广告费用x
与销售额y 的统计数据如下表： （注：11222
2
2
2
1
2,;n n n x y x y x y nx y y a bx b a y bx x x x nx
+++-=+=
=-+++-其中）
（Ⅱ）据此模型，估计广告费用为9万元时销售额为多少万元？ 18．（本题满分10分）
从某实验中，得到一组样本容量为60的数据，分组情况如下：
（Ⅰ）求出表中,m a的值；
（Ⅱ）估计这组数据的平均数和中位数。

19．（本题满分10分）
在直角坐标系xOy中，点P到两点(0-，，(0的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线1
=+与C交于A，B两点。

y kx
（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）若OA⊥OB，求k的值；
（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当0
>。

k>时，恒有OA OB
高二数学（理科）试题参考答案
一．选择题：（共10 小题，每题只有一个正确答案，每小题4分，满分40分）
（共4 小题，每小题4分，满分16分）
11．
2
3
；12． ①②④ ；13． 25 ；14． ．
三、解答题（共5个小题，满分共44分）
15．（本题满分8分）
解：设(,),M x y 因为椭圆22
2211312
x y +=，所以焦点为(5,0)±，
由题意得：1223MF MF =2
3=， 化简得：2
2
26250x y x +++=，经检验方程为所求方程。

16．（本题满分8分）
解：由题意设甲，乙原料各10x g 、10y g ，则需要费用32z x y =+，得约束条件：5735
104400,0x y x y x y +≥⎧⎪
+≥⎨⎪≥≥⎩
，
画出可行域，在573510440
x y x y +=⎧⎨+=⎩交点14
(,3)5为最优解，
所以用甲原料14
1028()5
g ⨯=，乙原料31030()g ⨯=，费用最省。

17．（本题满分8分）
解： （Ⅰ）由题意得4,40x y ==，
222222
4402193296615515440
10.64236554b ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=
=++++-⨯，
40410.6 2.4a =-⨯=-
线性回归方程： 2.410.6y x =-+
（Ⅱ）线性回归方程： 2.410.6y x =-+
2.410.6993y =-+⨯=（万元）
18．（本题满分10分）
解：（Ⅰ） 600.053m =⨯=，(60621)
0.560
m a ---=
=
（Ⅱ）平均数100.1200.35300.5400.0525x =⨯+⨯+⨯+⨯=；
中位数
0.50.10.35
1025260.5
--⨯+=。

19．（本题满分10分）
解．（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C
是以(0(0，
为焦点，长半轴为2的
椭圆．它的短半轴1b =
=，
故曲线C 的方程为2
2
14
y x +=． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足
2
214 1.y x y kx ⎧+=⎪⎨
⎪=+⎩
，消去y 并整理得22
(4)230k x kx ++-=， 故1212
2223
44
k x x x x k k +=-
=-++，． 若OA OB ⊥，即12120x x y y +=．而2
121212()1y y k x x k x x =+++，
于是22
12122
2233210444
k k x x y y k k k +=---+=+++， 化简得2
410k -+=，所以12
k =±
． （Ⅲ）2
22222
1122()OA OB x y x y -=+-+22221212()4(11)x x x x =-+--+
12123()()x x x x =--+122
6()
4
k x x k -=
+． 因为A 在第一象限，故10x >．由1223
4
x x k =-+知20x <，从而120x x ->．又0k >，
故2
2
0OA OB ->，即在题设条件下，恒有OA OB >．。