考理数百强名校试题解析精编版：广东省广州市荔湾区2019届高三上学期调研测试(一)理数试题解析(原卷版)

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合{}
2
4M x x =<，N x x =<{|}1，则M N ⋂=
A.{|}x x -<<21
B.{|}x x <-2
C.{|}x x <1
D.
{}2x x <
2.设i 是虚数单位，若复数z 满足()()11z i i +=-，则复数z 的模z =
A.1-
B.1 D.2
3.在ABC ∆中，45,105,o o A C BC ∠=∠== 则边长AC 为
1- B.1 C.2 4.椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于
1
2
，且它的一个顶点恰好是抛物线
2x =
的焦点，则椭圆C 的标准方程为
A.22142x y +=
B.22143x y +=
C.221129
x y += D.2211612x y +=
5.下列程序框图中，输出的A 的值是
A.
128 B.129 C.131 D.1
34
6.将函数()sin(2)()2
f x x π
ϕϕ=+<的图象向左平移
6
π
个单位后的图形关于原点对称，则函数
()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值为
B.12
C.1
2-
D.7.函数cos 622x x
x
y
-=
-的图像大致为
8.已知不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x 所表示的平面区域为D ，若直线3y kx =-与平面区域D 有公共
点，
则k 的取值范围为是 A.[3,3]-
B.11
(,]
[,)33
-∞-+∞ C.(,3][3,)-∞-+∞ D.11[,]3
3
-
9.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是
A .
203 B .16
3
C .86
π
-
D .
83
π
-
10. 42()(1x x
+-
的展开式中x 的系数是
A.1
B.2
C.3
D.12
11.如图，1F 、2F 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线
的左右两支分别交于点A 、B .若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为
A.4
B.7
C.33
2 D.3
12.已知函数1
1,1
()4
ln ,1
x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩>,则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是
A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡e 1,41
C.⎥
⎦⎤ ⎝⎛41,0 D.1,4e ⎛⎫
⎪⎝⎭
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知(0,)απ∈，
4
cos 5α=
，则sin()πα-= ．
14.在ABC ∆中，
90,B ∠=1,AB BC
==．点M 满足2BM AM =，则CM CA ⋅=______, 15.如图，在边长为1的正方形OABC 中任取一点，则该点落在阴影部分中的概率为
16.已知直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，侧面11BCC B 的面积为2，则直三棱柱
111ABC A B C -外接球表面积的最小值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 满足：
0n a ≠,11
3
a =，112n n n n a a a a ++-=⋅，(n N *∈). （1）求证：1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列，并求出n a ； （2）证明：
122311...6n n a a a a a a ++++<
.
18. (本小题满分12分)如图，矩形ABEF 所在的平面与等边ABC ∆所在 的平面垂直， 22AB AF ==，O 为AB 的中点．
（1）求证：OE FC ⊥；
（2）求二面角F CE B --的余弦值.
19.(本小题满分12分) 某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）实行统计，最近50天的统计结果 如下：
（1）求表中的b a ,的值；
（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立.求： ① 5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率;
② 已知每吨该商品的销售利润为2千元,ξ表示该种商品两天销售利润的和(单位：千元)求ξ
的分布列和期望.
20. (本小题满分12分)已知椭圆C ： 22221,(0)x y a b a b +=>>1，
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设与圆
223
:4O x y +=
相切的直线l 交椭圆C 与A,B 两点，求OAB ∆面积的最大值，及
取得最大值时直线l 的方程.
21. (本小题满分12分)已知函数()()x
f x ax b e =+（e 为自然对数的底数），曲线()
y f x =在点
()()0,0f 处的切线方程为2y x =--．
（1）求a ，b 的值； （2）任意1x ，[]20,2x ∈时，证明：()()12||f x f x e -≤．
请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分.做答时请写请题号。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，CE AB ⊥，垂足为E ，BD 交CE 于点F .
（1）求证：CF BF =；
（2）若4AD =，⊙O 的半径为6，求BC 的长.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩,（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24)4
sin(=+π
θρ．
(1) 求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
(2) 设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()214f x x x =+--． （1）解不等式：()0f x >； （2）若()34f x x m +-≥对一切实数x 均成立，求m 的取值范围．。