中考数学专题复习(二)圆

专题二：圆
知识要点扫描归纳
一 圆的基本概念
（1）圆的定义：在平面到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

定点叫做圆心，定长叫半径。

（2）确定圆的条件；
①已知圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； ③已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆；
（3）点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外⇔d ＞r ； ②点在圆上⇔d=r ； ③点在圆⇔ d ＜r ；
（4）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直线。

直径是圆中最大的弦。

圆心到弦的距离叫做弦心距。

（5）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（6）等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。

同圆或等圆的半径相等。

在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧。

（7） 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。

经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆心是它的对称中心。

圆绕圆心旋转任何角度，都能够与原来的图形重合，因此圆还具有旋转不变性。

二 圆中的重要定理 1．垂径定理及其推论：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
推论1：一条直线，如果具有①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分
弦所对的优弧．这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质．
推论2：圆的平行弦所夹的弧相等．
2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、定理及推论．
在同圆或等圆中，四组量：①两个圆心角；②两条弧；③两条弦；④两条弦心距．其中任一组量相等，则其余三组量也分别相等．即在同圆或等圆中：
圆心角相等←−−
→←−−→←−−→所对所对所对
弧相等弦相等弦心距相等 3．圆周角
①定义：顶点在圆上，且两边与圆相交的角． ②定理及推论
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90o
的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 推论4：圆接四边形定理：圆的接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的对角． 三、直线和圆的位置关系：
1．直线和圆的位置关系的定义及有关概念
（1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交（图1），这时直线叫圆的割线． （2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切（图2） 这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． （3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离（图3）
2．直线和圆的位置关系性质和判定
如果⊙O 的半径r ，圆心O 割直线l 的距离为d ，那么（1）直线l 和⊙O 相交d r ⇔<（图 1）；（2）直线l 和⊙O 相切d r ⇔=（图2）；（3）直线l 和⊙O 相离
（图3）．
四、切线的判定和性质： （一）切线的判定
1．切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 2．和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 3．经过半径外端点且与半径垂直的直线是圆的切线． （二）切线的性质
1．切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径； 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2．切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
l
图1 l
图2
l
图2
l
图1
l
图2
l
图3
（3）切线垂直于过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心． 五、三角形的切圆 1．三角形的外接圆
过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。

三角形的外心到各顶点的距离相等．
2．外心的位置
锐角三角形的外心在三角形部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径2
C
R =
(C 为斜边长) 3．三角形的切圆
到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的切圆，三角形中，三个角平分线的交点，叫三角形的心，三角形心到三条边的距离相等，心都在三角形的部．若三角形的面积为ABC S ∆，周长为a+b+c,则切圆半径为:c b a S r ABC ++=
∆2，当b a ,为直角三角形的直角边，c 为斜边时，切圆半径c
b a ab
r ++=或
2
c b a r -+=
. 4．圆接四边形的性质
（1）圆接四边形的对角互补；
（2）圆接四边形的任何一个外角等于它的对角．
注意：①圆接平行四边形为矩形；②圆接梯形为等腰梯形． 六、切线长定理： 1．切线长概念：
在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的R ，叫做这点到圆的切线长． 2．切线长和切线的区别
切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．
3．切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 要注意：此定理包含两个结论，如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，①PA=PB ②PO 平分APB ∠．
4．两个结论：
圆的外切四边形对边和相等； 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．
七、弦切角定理： 1．弦切角概念：
理解体弦切角要注意两点：①角的顶点在圆上；②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线． 2．弦切角定理：
弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半． 3．弦切角定理的推论：
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等． 八 与比例线段相关的定理（了解） 1．相交弦定理及其推论：
（1）定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 如图，AB ，CD 相交余E ，则AE ·EB=CE ·DE
（2），推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成 的两条线段的比例中项．如上右图，有AE ·EB=CE 2
成立 2，切割线定理及其推论
（1） 定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的比例中项． 如上左图，PT 切⊙O,PAB 是⊙O 的一条 割线，则有PT 2
=PA ·PB 成立．
（2） 推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点 的两条线段长的积相等．
如上右图，有PA ·PB=PC ·PD 成立．
九 圆中的相关计算
1． 弧长公式：半径为R 的圆，其周长是R π2，将圆周分成360份，每一份弧就是1o 的弧，1o
弧的弧长
应是圆周长的
3601，而为1803602R R ππ=，因此，o
n 的弧的弧长就是180
R n π，于是得到公式：
)(180
代表弧长l R
n l π=。

2． （1）扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形（如图）。

（2）扇形的周长： （3）扇形的面积：如图，阴影部分的面积即为扇形OAB 的面积。

AB
AB l R l OB OA +=++2
S 扇形=
)(360
2
为扇形圆心角的度数为半径，n R R n π 由上面两公式可知S 扇形=
21
3602
n R lR π=．可据已知条件灵活选用公式。

3． 弓形的面积
（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S 弓形=S 扇形-S △OAB 。

（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S 弓形=S 扇形+S △OAB 。

十．两圆的位置关系：
2．两圆连心线的性质
（1）如果两圆相切,那么切点位于这两个圆的连心线上． （2）相交两圆的连心线垂直平分这两个圆的公共弦． 3．两圆的公切线
（1）与两圆都相切的直线,叫做这两个圆的公切线,两个圆在公切线的同旁时,这条公切线叫做这两个圆的外公切线;两个圆在公切线的两旁时,这条公切线叫做这两个圆的公切线;公切线上两个切点间的距离,叫做这条公切线(段)的长;
（2）两圆的两条外公切线长相等;
（3）两圆的两条公切线长相等，且交点位于这两个圆的连心线上； （4）两圆相切可以运用于弧与弧的平浓连接．
考点扫描归纳
O C B A
C
B A
O 1 角度的计算
1．（年省市）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC = 24°，则∠BOC = °．
2、(年省B 卷)13．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的弧AB )，点O 是这段弧的圆心，C 是弧AB 上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ， AB =300m ，CD =50m ，则这段弯路的半径是 m ．
3、（德化）如图，点B 、C 在⊙O 上，且BO=BC ，则圆周角BAC ∠等于（ ） A ．60︒ B ．50︒ C ．40︒ D ．30︒
第2题图 第3题图
4．(年崇文) AB 是圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，DAB ∠=48︒,则ACD ∠= ︒． 5．（年门头沟区）如图，CD AB ⊥于E ，若60B ∠=，则A ∠=
度．
第4题图
6.（年潼南县）如图，已知AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,∠C=15°,则∠BOC 的度数为（ ）
A ．15° B. 30°
C. 45°
D ．60°
7. (年市) 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有
A ．4个
B ．3个
C ． 2个
D ． 1个
8. （年中考） 如图，△ABC 接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝500
，点D 是BAC 上一点，则∠D ＝
_______________
第8题 第9题 第10题 9．(市)如图，△ABC 是⊙O 的接三角形，若∠ABC ＝70°，则∠AOC 的度数等于（ ）
O
A
B C
第1题图
· 第5题
A
B
C
O
题图
6
（第17题）
A ．140°
B ．130°
C ．120°
D ．110° 10.（年省眉山市）如图，∠A 是⊙O 的圆周角，∠A =40°，则∠OBC 的度数为_______．
11.（年省市）如图， A 、B 、C 是⊙O 上的三点，且A 是优弧BAC 上与点B 、点C 不同的一点，若BOC ∆是直角三角形，则BAC ∆必是( ) .
A.等腰三角形
B.锐角三角形
C.有一个角是︒30的三角形
D.有一个角是︒45的三角形
12.(年省市)如图,⊙O 是正三角形ABC 的外接圆,点P 在劣弧AB 上,ABP ∠=22°,则BCP ∠的度数为
_____________. 13.（年市）如图，在⊙O 中，∠ACB ＝34°，则∠AOB 的度数是（ ）． A.17° B.34° C.56° D.68°
14．（年省市）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC = 24°，则∠BOC = °．
15．（，18，3分）如图⊙O 的半径为1cm ，弦AB 、CD 的长度分别为2,1cm cm ，则弦AC 、BD 所夹的
锐角α＝ ．
第15题图 第16题图
16．(年市)如图所示，在圆⊙O 有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，则BC 的长为（）
A ．19
B ．16
C ．18
D ．20
17．（省喜市）如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，已知∠O ＝60º，则∠C ＝（ ）
A ．20º
B ．25º
C ．30º
D ．45º 18.(年省).
如图，△ABC 接于⊙O ，∠A =40°，则∠BOC 的度数为（ ）
A. 20°
B. 40°
C. 60°
D. 80°
19. (年市) 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在
A O
B C 第11题 第13题图 A
O C
B
第12题图
O
A
B
C
第14题图
· A
B
O D
半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为
A．15︒B．28︒C．29︒D．34︒
20. (年市)（本题满分6分）小明家的房前有一块矩形的空地，
空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛
的边上．
（1）（本小题满分4分）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）（本小题满分2分））若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC=
90，试求小明家圆形花坛的面积．
21（宿迁）（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，每个小方格的边长为1个单位长度．在第一象限有横、纵坐标均为整数的A、B两点，且OA= OB10
（1）写出A、B两点的坐标；
（2）画出线段AB绕点O旋转一周所形成的图形，并求其面积（结
果保留π）．
C
y
x
O
B
A
22．（）如图，以点P 为圆心的圆弧与X 轴交于A ，B ；两点，点P 的坐标为（4，2）点A 的坐标为（2，
0）则点B 的坐标为 ．
第21题图
2 垂径定理的相关计算与证明
1.（年省）如图(1)，AB 为圆O 的直径，C 、D 两点均在圆上，其中OD 与AC 交于E 点，且OD AC 。

若OE=4，ED=2，则BC 长度为 (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 。

2（年地区）如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ， 交⊙O 于点C ，且CD ＝l ，则弦AB 的长是 ． 3(年)已知⊙O 的半径为5,弦AB 的弦心距为3,则AB 的长是( ) A.3 B.4 C.6 D.8
4.(年省市)如图,已知△ABC ,分别以A ,C 为圆心,BC ,AB 长为半径画弧,两弧在直线BC 上方交于点D ,连结AD ,CD .则有( ) A.∠ADC 与∠BAD 相等 B.∠ADC 与∠BAD 互补 C.∠ADC 与∠ABC 互补
D.∠ADC 与∠ABC 互余 5（年市）如图，在直径AB ＝12的⊙O 中，弦CD ⊥AB 于M ，且M 是半径OB 的中点，则弦CD 的长是_______
（结果保留根号）.
6.(年聊城冠县实验中学二模)如下图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为（ ）
A ．2cm
B ．3cm
C ．32cm
D ．52cm
7.（年广西适应训练）如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ）．
A.6.5米
B.9米
C.13米
D.15米
A
B C
D
E O 图(1)
第4题图
B A C
·
A
C D
O
M
E
D
.
8.（年市中考六模）、如图：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果AB ＝10cm ， CD ＝8cm ，那么AE 的长为 cm .
9.（年 模拟）如图，是一电脑光盘的表面，两个圆心都是O,大圆的弦AB 所在的直线是小圆的切线，切点为C ，已知大圆的半径为5cm ，小圆的半
径为1cm ，则弦AB 的长是多少？
10（日照市）．(本题满分10分)如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 与E ，交BC 与D ．求
证：
（1）D 是BC 的中点； （2）△BEC ∽△ADC ；
（3）BC 2
=2AB ·CE ．
11（）21.如图，△ABC 接于⊙O ，AB ＝6,AC ＝4,D 是AB 边上一点，P 是优弧BAC 的中点，连结PA 、PB 、
PC 、PD.
(1)当BD 的长度为多少时，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形？并证明； （2）若cos ∠PCB=
5
5
，求PA 的长.
第3题 B
A
O
12．（年省市）如图，AD 为ABC ∆外接圆的直径，AD BC ⊥，垂足为点F ，ABC ∠的平分线交AD 于点
E ，连接BD ，CD .
(1) 求证：BD CD =；
(2) 请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由.
13、（年）如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直平分半径OA ，C 为垂足，弦DF 与半径OB 相交于点P ，连结EF 、EO ，若32=DE ，︒=∠45DPA 。

（1）求⊙O 的半径;
（2）求图中阴影部分的面积。

A
B
C
E
F
D
(第19题)
B 第13题
3 圆与多边形
1.（年省市）如图，正六边形螺帽的边长是2cm ，这个扳手的开口a 的值应是（ ） A ．32 cm B ．3cm
C ．
3
3
2 cm D ．1cm 2. （年省）如图(2)，有一圆接正八边形ABCDEFGH ，若△ADE
的面积为10，则正八边形ABCDEFGH 的面积为 (A) 40 (B) 50 (C) 60 (D) 80 。

3（年地区）如图,两正方形彼此相邻且接于半圆,若小正方形的面积为 16cm 2
,则该半圆的半径为（ ） A. (45)+ cm B. 9 cm C. 45cm D. 62cm
4. (年市)如图，正三角形的切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为
A ．2
B ．3
C ．3
D ．23
5．(年省市)一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是__________．
6．（）粉笔是校园中最常见的必备品．图1是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支．图2是它的横截面（矩形ABCD ），已知每支粉笔的直径为12mm ，由此估算矩形ABCD 的周长约为_______ mm ．(313.7≈，结果精确到1 mm)
B A C
D
E F
G H
图(2)
第6题图2
第6题图1
A
B
C
D
7．（省喜市）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△A n B n C n的顶点B n、C n在圆上．
（1）如图1，当n＝1时，求正三角形的边长a1；
（2）如图2，当n＝2时，求正三角形的边长a2；
（3）如题图，求正三角形的边长a n（用含n的代数式表示）．
4 弧长与面积的相关计算
1．（年省市）已知圆锥的高是cm
30，母线长是cm
50，则圆锥的侧面积是.
2、（德化）已知圆锥的底面半径是3cm，母线长为6cm，则侧面积为________cm2．（结果保留π）
3、已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的高为▲
4.（年省）如图(十三)，扇形AOB中，OA=10，∠AOB=36︒。

若固定B点，将此扇形依
顺时针方向旋转，得一新扇形A’O’B，其中A点在B
O'上，
如图(十四)所示，则O点旋转至O’点所经过的轨迹长度为
(A) π(B) 2π
(C) 3π(D) 4π。

A A
A
O’
图(十三) 图(十四)
5.(市惠安县)已知圆锥的底面半径是3，母线长是4，则圆锥的侧面积是 .
6. (年市) 现有一个圆心角为
90，半径为cm 8的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为
A ． cm 4
B ．cm 3
C ．cm 2
D ．cm 1 7.（年省市）一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长为________． (结果保留π)
8.（年省眉山市）已知圆锥的底面半径为4cm ，高为3cm ，则这个圆锥的侧面积为__________cm 2
． 9.（年省市）已知圆锥的高是cm 30，母线长是cm 50，则圆锥的侧面积是 .
10. (年省市)水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不
考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD 时的∠ABC ,其中AB 为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为2,则α的余弦值为 . 11．（，12，3分）已知扇形的圆心角为120°，半径为15cm ，则扇形的弧长为 cm （结果保留π）． 12．（年省市）如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去1
3
圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥
（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为 A ．6cm
B ．35cm
C ．8cm
D ．53cm
13.（）如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）
14、 (年滨州) (本题满分8分)如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且AB=12，BC=6．
(1) 求BAC ∠cos 的值；
(2)如果OD ⊥AC ，垂足为D ，求AD 的长；
(3)求图中较大阴影部分的面积是较小阴影部分的面积的几倍(精确到0.1) ．
Ｐ
15．（年市）如图，菱形ABCD 中，AB =2 ，
∠C =60°,菱形ABCD 在直线l 上向右作无滑动的翻滚， 每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这
样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为 ．(结果保留π) 16.（年省市）如图，四边形OABC 为菱形，点
B 、
C 在以点O 为圆心的⌒
EF 上，若OA =1，∠1=∠2，
则扇形OEF 的面积为 （ ）
A. 6π
B. 4π
C. 3π
D. 3
2π
17.（年省东阳市）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC △的三个顶点 都
在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
（1）如果建立直角坐标系，使点B 的坐标为（－5，2），点C 的坐标为（－2，2），则点A 的坐标为 ▲ ； (2) 画出ABC △绕点Ｐ顺时针旋转90后的△Ａ１Ｂ１Ｃ１，并求线段BC 扫过的面积.
18、（年门头沟区）．如图，有一块半圆形钢板，直径AB =20cm ，计划将此钢板切割成下底为AB 的等腰梯形，上底CD 的端点在圆周上，且CD =10cm ．求图中阴影部分的面积.
O
B C
(第15题)
l
D
E
F O
A B
C
2
1
O
E
C
D
19. （年省市）已知：如图，有一块含︒30的直角三角板OAB 的直角边长BO 的长恰与另一块等腰直角三角板ODC 的斜边OC 的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且3=AB . (1)若双曲线的一个分支恰好经过点A ，求双曲线的解析式；
(2)若把含︒30的直角三角板绕点O 按顺时针方向旋转后，斜边OA 恰好与x 轴重叠，点A 落在点A '，试求图中阴影部分的面积(结果保留π).
.
20（省市）．如图，已知在⊙O 中，AB
AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于F ，∠A =30°． （1）求图中阴影部分的面积；
（2）若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．
5切线的性质与判定
1（宣武一模）.已知：如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB 为⊙O 直径，且AB PA ⊥于点A ，AC
PO ⊥于点M
（1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）当2=OM ，
42
cos =
B 时，求P
C 的长。

第22题图
M
P
C
2.（崇文一模）如图，AB 是半圆⊙O 的直径，过点O 作弦AD 的垂线交半圆⊙O 于点E ，交AC 于点C ，使BED C ∠=∠
（1）判断直线AC 与圆O 的位置关系，并证明你的结论。

（2）若8=AC ，54
cos =
∠BED ，求AD 的长。

3．(延庆一模)如图，AB 为⊙O 的直径，AD 平分BAC ∠交⊙O 于点D ，
AC 交AC DE ⊥的延长线于点E ，B B F A ⊥交AD 的延长 线于点F ，
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若,3=DE ⊙O 的半径为5，求BF 的长．
F E
D
C
B
A
O
4(西城一模)．如图，ABC △接于O ，AB AC =．点D 在O Θ上，AD AB ⊥于点A ，AD 与BC 交于点E ，点F 在DA 的延长线上，AF AE =．
（1）求证：BF 是O 的切线；（2）若4AD =，
4
cos =∠ABF ，求BC 的长．
5．(顺义一模)如图，⊙O 的直径AB=4，C 、D 为圆周上两点，且四边形OBCD 是菱形，过点D 的直线EF ∥AC ，交BA 、BC 的延长线于点E 、F ． （1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）求DE 的长．
6(门头沟一模). 已知：如图，BE 是⊙O 的直径，CB 与⊙O 相切于点B ，OC ∥DE 交⊙O 于点D ，CD 的延长线与BE 的延长线交于A 点. （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若AD ＝4，CD ＝6，求tan ∠ADE 的值.
O F
E D C B A O E D
C B A
D C
A
O
7(丰台一模)．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC 于点E ． （1）求证：DE 为⊙O 的切线； （2）若DE =2，2
1
tan =∠C ，求⊙O 的直径．
8(石景山一模)．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，弦OD AC //,BD 切⊙O 于B ,联结CD ． （1）判断CD 是否为⊙O 的切线，若是请证明；若不是请说明理由． （2）若2=AC ,6=OD ,求⊙O 的半径．
9(房山一模)． 已知：如图，在△ABC 中，AB=BC ，D 是AC 中点，BE 平分∠ABD 交AC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过B 、E 两点, 交BD 于点G ，交AB 于点F ． （1）求证：AC 与⊙O 相切；
（2）当BD=2，2
1
sin =C 时，求⊙O 的半径．
A
F
D O
E
B
G
10(平谷一模).已知，如图，直线MN交⊙O于A,B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D 作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若6
DE=cm，3
AE=cm，求⊙O的半径.
11(大兴一模)．如图7，已知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且︒
=
∠90
DEC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若30
C
∠=°，3
2
=
CE，求⊙O的半径．
12(密云一模)．如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝6，AB＝8．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
A
E
D
O
B
C
（图7）
（2）求sin ∠E 的值．
13(通州一模)．如图，平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆交AD 于F ，交BC 于G ，延长BA 交圆于E.
（1）若ED 与⊙A 相切，试判断GD 与 ⊙A 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若 GC ＝CD ＝5，求AD 的长.
14(海淀一模). 已知：如图，⊙O 为ABC ∆的外接圆，BC 为⊙O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D . (1)求证：DA 为⊙O 的切线； (2)若1BD =，1
tan 2
BAD ∠=，求⊙O 的半径.
（第23题图） F O
D B
A
15(昌平一模)．已知：如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且.OA AB AD == （1）求证：BD 是⊙O 的切线；
（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交
于点F ，且8BE =，2
5
tan =∠BFA ，
求⊙O 的半径长.
16(一模)．如图，点B 、C 、D 都在⊙O 上，过点C 作AC ∥BD 交OB 延长线于点A ，连接CD ， 且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）求⊙O 的半径长；
（3）求由弦CD 、BD 与弧BC 所围成的阴影部分的面积 （结果保留π）．
17(东城一模)．如图，在⊙O 中，AB 是直径，AD 是弦，∠ADE = 60°，∠C = 30°． （1）判断直线CD 是否为⊙O 的切线，并说明理由； （2）若CD = 33 ，求BC 的长．
F
E D
C
B
A
O
O
B
A
18（年地区）（本题12分）如图，已知CD 是△ABC 中AB 边上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交CA 、CB
于点E 、F ，点G 是AD 的中点．求证：GE 是⊙O 的切线．
6点与圆，直线与圆，圆和圆的位置关系的判定
1、（年省东阳县）已知相含的两圆半径为6和2，则两圆的圆心距是（ ）
A 、8
B 、 4
C 、2
D 5
2.（年省市）已知两圆的半径分别是3和2，圆心的坐标分别是（0，2）和（0，-4），那么两圆的位置关系是 （ ）
A.含
B.相交
C.相切
D.外离 3、（年）两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ）
A 、切
B 、相交
C 、外切
D 、外离 4．(年聊城)，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的心坐标为（a ，0）
半径为5．如果两圆含，那么a 的取值围是______________.
5、（年市）两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ）
A 、切
B 、相交
C 、外切
D 、外离
6. (年市) 已知两圆的半径R 、r 分别为方程0652
=+-x x 的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是
A
B
C
D A ．外离 B ．切 C ．相交 D ．外切
7.（年省眉山市）⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为5cm ，圆心距O 1O 2=2cm ，这两圆的位置关系是 A ．外切 B ．相交 C ．切 D ．含 8. (年省市)如图为某机械装置的截面图,相切的两圆⊙O 1,
⊙O 2均与⊙O 的弧AB 相切,且O 1O 2∥l 1( l 1为水 平线)，⊙O 1,⊙O 2的半径均为30 mm,弧AB 的 最低点到l 1的距离为30 mm,公切线l 2与l 1间的 距离为100 mm.则⊙O 的半径为( ) A.70 mm B.80 mm C.85 mm D.100 mm
9．（，16，3分）如图在68⨯的网格图（每个小正方形的边长均为
1个单位长度）中，⊙A 的半径为2个单位长度，⊙B 的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B 与静止的⊙A 切，应将⊙B 由图示位置向左平移 个单位长度．
10 (年省). 如果半径为3cm 的⊙O 1与半径为4cm 的⊙O 2 切，那么两圆的圆心距O 1O 2＝ cm.
11. （年市）如图5，分别以A 、B 为圆心，线段AB 的长 为半径的两个圆相交于C 、D 两点，则∠CAD 的度数为 ． 12．（年门头沟区）如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径 为1的圆， 45AOB ∠=︒,点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的 直线与⊙O 有公共点, 设x OP =，则x 的取值围是
A ．－1≤x ≤1
B ．2-≤x ≤2
C ．0≤x ≤2
D ．x ＞2
13、（年）如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线
12
12
-=
x y 上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为___________。

14（年市潼南县） 如图，在矩形ABCD 中，AB=6 ， BC=4， ⊙O 是 以AB 为直径的圆，则直线DC 与⊙O 的位置关系是 .
15．(市)已知⊙O 的半径为3cm ，圆心O 到直线l 的距离是4cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是_____________. 15．（年省市）如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，
∠B = 30°，BC = 4 cm ，以点C 为圆心，以2 cm 的长为半径作圆， 则⊙C 与AB 的位置关系是（ ）．
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．相切或相交
第10题图
A
B
单位：mm
l 1
l 2
A
•x
O
P
y
P A
O
B
第12题
16．（）已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是
(A)0，1，2，3 (B)0，1，2，4 (C)0，1，2，3，4 (D)0，1，2，4，5 17（年省眉山）下列命题中，真命题是
A ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B ．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形
C ．圆的切线垂直于经过切点的半径
D ．垂直于同一直线的两条直线互相垂直 18．（）“6”字形图中，FM 是大圆的直径，BC 与大圆相切于B ，OB 与小圆相交于A ，BC ∥AD ，CD ∥B Ｈ
∥ＦＭ，BC ∥DG ，ＤＨ∥ＢＨ于H ，设,4,6FOB OB BC α∠===， （１）求证：AD 是小圆的切线；
（２）在图中找出一个可用α表示的角，并说明你这样表示的理由； （３）当30α=︒，求DH 的长
7 圆中综合题目
1．（，24，14分）如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是弧APB
上任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以点D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C ． （1）求弦AB 的长；
（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由；
（3）记△ABC 的面积为S ，若2
S
DE ＝43，求△ABC 的周长.
B C
第25题
2.（年）如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端点A 、D ），
连结PC ， 过点P 作PE ⊥PC 交AB 于E
（1）在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC ⊥QE ？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（2）当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值围．
3．（年）如图所示，已知抛物线k x x y +-=
2
4
1的图象与y 轴相交于点)1,0(B ，点(,)C m n 在该抛物线图象上，且以BC 为直径的⊙M 恰好经过顶点A .
（1）求k 的值;（2）求点C 的坐标；
（3）若点P 的纵坐标为t ，且点P 在该抛物线的对称轴l 上运动，试探索：
①当12S S S <<时，求t 的取值围（其中：S 为△PAB 的面积，1S 为△OAB 的面积，2S 为四边
形OACB 的面积）；
②当t 取何值时，点P 在⊙M 上.（写出t 的值即可）
4．（年）如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线2y x =上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA=5。

若抛物线2
16
y x bx c =
++过点O 、A 两点。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若A 点关于直线2y x =的对称点为C ，判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆。

过原点O 作O 1的切线OP ，P 为切点（P 与点C 不重合），抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与O 1相切？若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由。

5.（年州）已知：如图，⊙A 与y 轴交于C 、D 两点，圆心A 的坐标为（1，0）， ⊙A 的半径为5，过点C 作⊙A 的切线交x 于点B （－4，0）。

（1）求切线BC 的解析式；
（2）若点P 是第一象限⊙A 上一点，过点P 作⊙A 的切线与直线BC 相交于点G ，且∠CGP=120°，求点G 的坐标；
（3）向左移动⊙A （圆心A 始终保持在x 上），与直线BC 交于E 、F ，在移动过程中是否存在点A ，使得△AEF 是直角三角形？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由。