一元二次不等式的解法

1）求下列不等式的解集：
4 x 2 + 3x − 1 ≥ 0 x + 2x ≤ 1 − x
2
x − (a + 2)x + 2a < 0, a ∈ R
2
[− 8,5]，求a : b : c。
2)已知一元二次不等式ax 2 + bx + c ≤ 0的解集是
3)写出一个解集为(− 10,−2)的一元二次不等式， 你还能写出多少个？
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0 )
2
二次函数：f
(x ) = ax
2
+ bx + c (a ≠ 0 )
一元二次不等式：ax
+ bx + c < 0 (a ≠ 0 )
想一想
f (x ) = x − x − 2
2
y
x2 − x − 2 = 0 x2 − x − 2 < 0
-1 o 2 x
在图象上找出方程及 不等式解的意义。 不等式解的意义。
x
− x − 3x − 2 ≤ 0
2
例题
解下列一元二次不等式
3x − 5 x − 2 > 0
2
练习1：
解下列一元二次不等式
x < 2x + 1
2
练习2：
解下列一元二次不等式
− x + 4x + 1 < 0
2
探索： 探索：
一元二次方程只有解或无解
x + 4x + 4 > 0
2
x + x +1 < 0
笛卡尔与直角坐标系 《几何学》 几何学》 笛卡尔直角坐标系 费尔马
笛卡儿 （René Descartes） ）
一元二次不等式的解法
看图解下列一元二次不等式
y
x − 3x + 2 < 0
2
x − 3x + 2 ≥ 02o Nhomakorabea1
2
x
看图解下列一元二次不等式
y
− x − 3x − 2 < 0
2
-2
-1
o
2
x − 2 > 0 x + 1 < 0 x > 2 x < −1
或
x − 2 < 0 x + 1 > 0
x < 2 x > −1
∴ 原不等式的解集是：{x | −1 < x < 2}
一元二次方程、 一元二次方程、二次函数与一元 二次不等式的关系
一元二次方程：ax
一元二次不等式
一个整式不等式，若只含有一个未知数， 一个整式不等式，若只含有一个未知数， 整式不等式 一个未知数 并且未知数的最高次是二次 这样的不 最高次是二次， 并且未知数的最高次是二次，这样的不 等式叫做 一元二次不等式。 叫做： 等式叫做：一元二次不等式。 它的一般形式为： 它的一般形式为：
ax + bx + c < 0 (a ≠ 0 ) ax + bx + c > 0 (a ≠ 0 )
2 2
ax + bx + c ≤ 0 (a ≠ 0) ax + bx + c ≥ 0 (a ≠ 0 )
2
2
寻觅方法， 寻觅方法，解：x − x − 2 < 0 代数方法： ( x − 2 )( x + 1) < 0 代数方法：
2
巩固练习
x + 2x ≤ 1− x
2
已知一元二次不等式x + bx + c ≤ 0的解集是[− 2,5]，
2
求b, c的值。
已知一元二次不等式ax 2 + bx + c ≤ 0的解集是
(− ∞,4] ∪ [1,+∞ )，求不等式ax 2 + cx + b > 0的解集。
买一台电视机，单价 买一台电视机，单价950元；买两台， 元 买两台， 单价是900元 依次类推，每多买一台， 单价是 元；依次类推，每多买一台， 单价降低50元 单价降低 元，问要使商店保持赢利大 于200元，每人最多买几台？ 元 每人最多买几台？
不等式
一元二次不等式的解法
商品促销
现在有一家商店对某种成本价为650元的电视机 元的电视机 现在有一家商店对某种成本价为 有一个促销活动： 有一个促销活动： 买一台电视机，单价 买一台电视机，单价950元； 元 买两台，单价是900元； 买两台，单价是 元 依次类推，每多买一台，单价降低 元 依次类推，每多买一台，单价降低50元。 要使商店保持每次交易赢利大于200元， 要使商店保持每次交易赢利大于 元 问每人最多买几台？ 问每人最多买几台？
若购买x台，共赢利50 x(7 − x )元，则x必须满足式子： 50 x(7 − x ) > 200 即x − 7 x + 4 < 0,由于∆ = 33 > 0
2
7 − 33 7 + 33 ，约为(0.63,6.37 ), , 所以解集为 2 2 从而每人最多买6台。
作业：