江苏省南京2014届高三数学一轮复习 数系的扩充与复数的引入单元训练

南京大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：数系的扩充与复
数的引入
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知复数a i
i
-一i 在复平面内对应的点在二、四象限的角平分线上，则实数a 的值为( ) A ．－2 B ．－1
C ．0
D ．2
【答案】A
2．已知i 是虚数单位，且,a b ∈R ，若2i
i 1i
a b -+=
+，则a+b=( ) A ．0 B ．12
-
C ．1-
D ．2-
【答案】C
3．在复平面内，复数1i
i
+对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
4．在复平面内，复数1
2z i
=+对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D 5．已知
11x
yi i =-+，其中x ，y 是实数，i 是叙述单位，则x+yi 的共轭复数为( ) A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -
【答案】D 6．复数i
i
z -=
1（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
7．设复数1
3,z i z
=+那么
等于( ) A ．
3
1
44
i － B ．
3
144i + C ．13
44
i －
D ．
134
4
i +
【答案】B
8．复数（是虚数单位）在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B
9．若复数
i
i
a 21-+是纯虚数,则实数a 的值为( ) A ．2 B ．21- C ．5
1
D ．5
2
-
【答案】A
10．i 是虚数单位, 4
1(
)1i i
+-等于( ) A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 【答案】C
11．已知i 为虚数单位，则复数i （1－i ）所对应点的坐标为( )
A ． (－1，1）
B ． (1，1）
C ． (1，－1）
D ． (－1，－1） 【答案】B
12．i 为虚数单位，复平面内表示复数i
i
z +-=2的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】C
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．若()()i x x 20102011++-是纯虚数，则x = 【答案】2011
14．已知复数12312,1,34z i z i z i =-+=-=-，它们在复平面上所对应的点分别为A ．B ．C,若(.)OC OA OB R λμλμ=+∈，则λμ+的值是____________. 【答案】1
15．已知(x －1)+i=y －(3－y)i ，其中x ，y ∈R ，求x+y=___________. 【答案】9
16．设117,,(12i
a b R a bi i i
-∈+=
-为虚数单位）
，则a b +=＝___________. 【答案】8
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知集合A={}
1≤z z ，
(1）求集合A 中复数yi x z +=所对应的复平面内动点坐标),(y x 满足的关系？并在复平面内画出图形。

(2）若A z ∈，求z 取值时，)1(i z +-取得最大值、最小值，并求)1(i z +-的最大值、最小值。

(3）若B={}
2≤-ai z z ，且B A ⊆，求实数a 的取值范围。

【答案】（1）12
2
≤+y x
(2）当i z 2
22
2+=，)1(i z +-最小值=12-
当i z 2
222--
=，)1(i z +-最大值=12+ (3）当11≤≤-a 时，B A ⊆
18．设复数i z +=2，若21z ai b i ++=+，求实数,a b 的值． 【答案】2,3-=-=b a
19．实数m 取什么值时，复数z=(m 2-5m+6)+(m 2
-3m)i 是
(1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数z 的点在第三象限？ 【答案】⑴ 复数z 为实数，则，解得
或
(2)复数z 为虚数，则
，解得
且
(3)复数z 为纯虚数，则解得
(4)复数z 对应点在第三象限，则
解得
20．已知复数()213
32
z a i a =
+-+，22(31)z a i =++（a R ∈，i 是虚数单位）。

(1）若复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限，求实数a 的取值范围； (2）若虚数1z 是实系数一元二次方程260x x m -+=的根，求实数m 的值. 【答案】（1）由条件得，()21232342z z a a i a ⎛⎫
-=-+--
⎪+⎝⎭
因为12z z -在复平面上对应点落在第一象限，故有23
20,2340a a a ⎧->⎪
+⎨⎪-->⎩
2110,2,212214(4)(1)0,a a a a a a a a +⎧⎧
<-<<-⎪⎪
⇔⇔⇒-<<-+⎨⎨⎪⎪<->-+>⎩
⎩或
(2）因为虚数1z 是实系数一元二次方程260x x m -+=的根 所以116
62
z z a +=
=+，即1a =- 把1a =-代入，则1132,32z i z i =-=+ 所以1113
m z z =⋅=
21．设非零复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5满足
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=++++=++++===S a a a a a a a a a a a a a a a a a a )11111(4543215
43214
5342312其中S 为实数且|S|≤2． 求证：复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上． 【答案】设a 2a 1=a 3a 2=a 4a 3=a 5a 4=q ，则由下式得a 1(1+q+q 2+q 3+q 4)=4a 1q 4(1+q+q 2+q 3+q 4
)．
∴ (a 12q 4
－4) (1+q+q 2
+q 3
+q 4
)=0，故a 1q 2
=±2，或1+q+q 2
+q 3
+q 4
=0．
⑴ 若a 1q 2=±2，则得±2(1q 2+1q +1+q+q 2
)=S ．⇒S=±2[(q+1q )2+(q+1q )－1]=±2[(q+1q +12)2－54]．
∴ 由已知，有(q+1q +12)2－54∈R ，且|(q+1q +12)2－5
4
|≤1．
令q+1q +12=h(cos θ+isin θ)，(h>0)．则h 2
(cos2θ+isin2θ)－54∈R ．⇒sin2θ=0．
－1≤h 2(cos2θ+isin2θ)－54≤1．⇒14≤h 2
(cos2θ+isin2θ)≤94，⇒cos2θ>0．⇒θ
=k π(k ∈Z)
∴ q+1q ∈R ．再令q=r(cos α+isin α)，(r>0)．则q+1q =(r+1r )cos α+i(r －1
r )sin α∈
R ．⇒sin α=0或r=1．
若sin α=0，则q=±r 为实数．此时q+1q ≥2或q+1q ≤－2．此时q+1q +12≥52，或q+1q +1
2≤
－3
2
． 此时，由|(q+1q +12)2－5
4
|≤1，知q=－1．此时，|a i |=2．
若r=1，仍有|a i |=2，故此五点在同一圆周上． ⑵ 若1+q+q 2+q 3+q 4=0．则q 5
－1=0，∴ |q|=1．此时|a 1|=|a 2|=|a 3|=|a 4|=|a 5|，即此五点在同一圆上．
综上可知，表示复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．
22．已知复数z 满足: 13,z i z =+-求22
(1)(34)2i i z
++的值.
【答案】设,(,)z a bi a b R =+∈，而13,z i z =+-
130i a bi -++=
则410,43330
a a z i
b b =-⎧-=⇒=-+⎨=-=⎩⎪⎩
22(1)(34)2(724)2473422(43)4i i i i i
i z i i
++-++===+-+-。