2021-2022学年广西桂林市灌阳县八年级(上)期末数学试题及答案解析

2021-2022学年广西桂林市灌阳县八年级（上）期末数学试卷
1.在实数0，√2，3.14中，无理数是( )
A. 3.14
B. 0
C. √2
D. 都不是
2.若分式x−2
2x−3
的值不存在，则x的值是( )
A. x=2
B. x=0
C. x=2
3D. x=3
2
3.用不等式表示“x的5倍大于−7”的数量关系是( )
A. 5x<−7
B. 5x>−7
C. x>7
D. 7x<5
4.下列各式属于最简二次根式的是( )
A. √18
B. √x2+2x+1
C. √x2+y3
D. √1
2
5.以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是( )
A. 7，3，4
B. 5，6，12
C. 3，4，5
D. 1，2，3
6.下列各式从左往右变形正确的是( )
A. a+2
b+2=a
b
B. a
b
=a2
b2
C. a
b
=a−3
b−3
D. a
b
=
1
3
a
1
3
b
7.一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的
度数是( )
A. 165°
B. 150°
C. 135°
D. 145°
8.一个不等式的解集为−1<x≤2，那么在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
9.三角形一边上的中线把原三角形分成两个( )
A. 形状相同的三角形
B. 面积相等的三角形
C. 直角三角形
D. 周长相等的三角形
10.一个正数的两个平方根分别为a+3和4−2a，则这个正数为( )
A. 7
B. 10
C. −10
D. 100
11.若关于x的一元一次不等式组{2x−1>3x+2
x<m的解集是x<−3，则m的取值范围是( )
A. m≥−3
B. m>−3
C. m≤−3
D. m<−3
12.△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式
放置在等边三角形ABC内．若BC=5，则五边形DECHF的周长为( )
A. 8
B. 10
C. 11
D. 12
13.9的算术平方根是______．
14.如果a是b相反数，则a+b=______．
15.2021年，新冠病毒给世界各国带来了极大的灾难，中国在世界抗击新冠病毒疫情中发挥了重要作用．新冠病毒的整体尺寸一般在30～80纳米，请将直径为0.000000052米大的新冠病毒这个数用科学记数法表示为______米．
16.命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为．
17.某种出租车的收费标准是：起步价7元(即行驶距离不超过3km都需付7元车费)，超过3km 以后，每增加1km，加收2.4元(不足1km按1km计)，某人乘这种车从甲地到乙地共支付车费19元，那么，他行程的最大值是______km．
18.观察下列各式的特点：
①√1=1，√1+3=2，√1+3+5=3，√1+3+5+7=4，…；
②1
1×2=1−1
2
，1
2×3
=1
2
−1
3
，1
3×4
=1
3
−1
4
，1
4×5
=1
4
−1
5
，…．
计算：1
√1×√1+3+1
√1+3×√1+3+5
+⋯+1
√1+3+⋯+2019×√1+3+⋯+2021
=______．
19.(1
2
)−2+π0+|1−√2|−√8
20.如图，在△ABC中，已知其周长为26cm．
(1)在△ABC中，用直尺和圆规作边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E(不写作法，但须保留作图痕迹)．
(2)连接EB，若AD为4cm，求△BCE的周长．
21. 先化简，再求值：(1−1x−2)÷x 2−6x+92x−4
.其中x =3√3+3． 22. 解方程：2x
x−2=1−1
2−x ． 23. 解不等式组：{2x +3(x −2)<4①x+32<2x−53
+3②并把解集在数轴上表示出来． 24. 已知，如图，AB =AD ，∠B =∠D ，∠1=∠2=60°．
(1)求证：△ADE≌△ABC ；
(2)求证：AE =CE ．
25. 为支援困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A 、B 两种型号的学习用品．已
知B 型学习用品的单价比A 型学习用品的单价多10元，用180元购买B 型学习用品与用120元购买A 型学习用品的件数相同．
(1)求A ，B 两种学习用品的单价各是多少元；
(2)若购买A 、B 两种学习用品共1000件，且总费用不超过28000元，则最多购买B 型学习用品多少件？
26. (1)问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连结BE ，
①求证：△ACD≌△BCE ；
②求∠AEB 的度数．
(2)拓展探究：如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE.请求∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE
之间的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A选项，3.14是有限小数，属于有理数，故该选项不符合题意；
B选项，0是整数，属于有理数，故该选项不符合题意；
C选项，√2是无理数，故该选项符合题意；
故选：C．
根据无理数的概念：无限不循环小数判断即可．
本题考查了无理数，算术平方根，掌握无理数的概念：无限不循环小数是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：由题意知2x−3=0，
，
解得：x=3
2
故选：D．
根据分式无意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可．
本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键．3.【答案】B
【解析】解：根据题意可得，5x>−7．
故选：B．
x的5倍可表示为5x，根据x的5倍大于−7，可得出不等式．
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
4.【答案】C
【解析】解：A：原式=3√2，∴不符合题意；
B：原式=|x+1|，∴不符合题意；
C：原式=√x2+y3，∴符合题意；
D：原式=√2
，∴不符合题意；
2
A：被开方数含有能开方的因数9；
B：被开方数可化为(x+1)2；
C：二次根式不能化简；
D：被开方数是分数可以化简．
本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的条件：(1)被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；(2)被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、4+3=7，不能构成三角形，故此选项错误；
B、5+6<12，不能构成三角形，故此选项错误；
C、3+4>5，能构成三角形，故此选项正确；
D、2+1=3，不能构成三角形，故此选项错误；
故选：C．
根据三角形的三边满足两边之和大于第三边来进行判断．
此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
6.【答案】D
【解析】解：A、a+2
b+2≠a
b
，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、当a=b时，a
b =a2
b2
才成立，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、a
b ≠a−3
b−3
，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、a
b =
1
3
a
1
3
b
，分子，分母都乘1
3
，原变形正确，故此选项符合题意；
故选：D．
根据分式的基本性质依次进行判断即可，注意乘除一个数或代数式时要保证不为0．本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【解析】解：如图，∵∠2=90°−30°=60°，
∴∠1=∠2−45°=15°，
∴∠α=180°−∠1=165°．
故选A．
利用直角三角形的性质求得∠2=60°，由三角形外角的性质知∠2=∠1+45°=60°，求得∠1= 15°，然后由邻补角的性质求∠α的度数．
本题考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理的运用．解题的关键是利用题干中隐含的已知条件：∠1+α=180°．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
根据数轴上的点表示的数，右边的总是大于左边的数．这个解集就是不等式x>−1和x≤2的解集的公共部分．
把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
【解答】
解：数轴上−1<x≤2表示−1与2之间的部分，并且包含2，不包含−1，在数轴上可表示为：
故选：A．
9.【答案】B
【解析】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
故选：B．
根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．
考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线．
10.【答案】D
【解析】解：∵一个正数的两个平方根分别为a+3和4−2a，
∴a+3+4−2a=0，
解得：a=7，
则a+3=10，4−2a=−10，
故这个正数是100．
故选：D．
利用平方根的定义得出a+3+4−2a=0，求出a，进而求出答案．
此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．
11.【答案】A
【解析】解：解不等式2x−1>3x+2，得：x<−3，
∵不等式组{2x−1>3x+2
x<m的解集为x<−3，
∴m≥−3．
故选：A．
求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH=GH，∠FHG=60°，
∴∠AHF+∠GHC=120°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=5，∠ACB=∠A=60°，
∵∠AHF=180°−∠FHG−∠GHC=120°−∠GHC，
∠HGC=180°−∠C−∠GHC=120°−∠GHC，∴∠AHF=∠HGC，
在△AFH与△CHG中，
{∠A=∠C
∠AHF=∠HGC FH=GH
，
∴△AFH≌△CHG(AAS)，
∴AF=CH，
∵△BDE与△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE=FH，
∴五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF
=BD+CE+AF+BE+DF
=(BD+DF+AF)+(CE+BE)
=AB+BC
=10，
故选：B．
根据等边三角形的性质，利用AAS证明△AFH≌△CHG，得AF=CH，从而得出五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF=(BD+DF+AF)+(CE+ BE)=AB+BC，即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟悉基本几何图形是解题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：因为32=9，
所以9的算术平方根是3．
故答案为：3．
根据算术平方根的定义解答即可．
本题考查了数的算术平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负数．
14.【答案】0
【解析】解：∵a是b相反数，
∴a+b=0，
故答案为：0．
根据互为相反数的两个数的和为0即可得出答案．
本题考查了有理数的加法，相反数，掌握互为相反数的两个数的和为0是解题的关键．
15.【答案】5.2×10−8
【解析】解：0.000000052=5.2×10−8，
故答案为：5.2×10−8．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
16.【答案】如果m是有理数，那么它是整数
【解析】解：命题：“如果m是整数，那么它是有理数”的逆命题为：如果m是有理数，那么它是整数．
故答案为“如果m是有理数，那么它是整数”．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
17.【答案】8
【解析】解：设他行程的最大值为xkm，则有
7+2.4(x−3)=19，解得x=8km．
根据付车费可知，行程超过3km；不超过3km收费7元，超过3km以后(x−3)km收费2.4(x−3)元，根据题意列出方程．
本题通过设未知数，建立方程求解．
18.【答案】1010
1011
【解析】解：原式=1
1×2+1
2×3
+...+1
1010×1011
=1−1
2+1
2
−1
3
+...+1
1010
−1
1011
=1−1
1011
=1010
1011
．
故答案为：1010
1011
．
直接利用已知结合数字变化规律将原式变形，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数运算以及数字变化规律，正确将原式变形是解题关键．
19.【答案】解：原式=4+1+√2−1−2√2
=4−√2．
【解析】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值性质、二次根式的性质．
先计算负整数指数幂、零指数幂，去绝对值符号，化简二次根式，再计算加减可得答案．
20.【答案】解：(1)如图所示：D，E即为所求；
(2)∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD=4cm，AE=BE，
∴△BCE的周长为：EC+BE+BC=AC+BC=26−AB=26−8=
18(cm)．
【解析】(1)直接利用线段垂直平分线的作法得出D，E的位置；
(2)结合线段垂直平分线的性质得出AE=BE，进而得出答案．
此题主要考查了基本作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
21.【答案】解：原式=x−3
x−2⋅2(x−2) (x−3)2
=2
x−3
，
当x=3√3+3时，
原式=2
3√3
=2√3
9
．
【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
22.【答案】解：去分母得：2x=x−2+1，
移项合并得：x=−1，
经检验x=−1是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
23.【答案】解：{2x+3(x−2)<4①x+3
2
<2x−5
3
+3②
解不等式①得：x<2，
解不等式②得：x>1，
∴不等式组的解集为1<x<2，
在数轴上表示不等式组的解集为：
．
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较典型，难度适中．
24.【答案】(1)证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
即∠DAE=∠BAC，
在△ABC和△ADE中，
{∠BAC=∠DAE AB=AD
∠B=∠D
，
∴△ABC≌△ADE(ASA)；
(2)证明：由(1)得△ABC≌△ADE，
∴AE=AC，
∵∠2=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE=CE．
【解析】(1)证得∠DAB=∠CAB，根据ASA即可得出△ABC≌△ADE；
(2)由(1)可得AE=AC，即可判定△AEC为等边三角形，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设A型学习用品的单价为x元，则B型学习用品的单价为(x+10)元，由题意得：
180 x+10=120
x
，
解得：x=20，经检验x=20是原分式方程的根，且符合实际，
则x+10=30．
答：A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．
(2)设购买B型学习用品y件，则购买A型学习用品(1000−y)件，
由题意得：20(1000−y)+30y≤28000，
解得：y≤800．
答：最多购买B型学习用品800件．
【解析】(1)设A型学习用品单价x元，利用“用180元购买B型学习用品的件数与用120元购买A型学习用品的件数相同”列分式方程求解即可；
(2)设可以购买B型学习用品a件，则A型学习用品(1000−a)件，根据这批学习用品的钱不超过28000元建立不等式求出其解即可．
本题考查了列分式方程解应用题和一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到等量关系
是建立方程的关键．
26.【答案】(1)①证明：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°−∠CDB=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，{AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE 
，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
②解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°，
∴∠BEC=120°．
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=60°．
(2)解：∠AEB=90°，AE=BE+2CM.理由如下：如图2所示：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，{CA=CB ∠ACD=∠BCE CD=CE 
，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°，
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=90°．
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM．
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
【解析】(1)①先证出∠ACD=∠BCE，由SAS证明△ACD≌△BCE即可；②根据全等三角形证出∠ADC=∠BEC，求出∠ADC=120°，得出∠BEC=120°，从而证出∠AEB=60°；
(2)证明△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC，最后证出DM=ME=CM即可．
此题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．。