安徽皖中名校联盟2024年高二下学期第四次质检数学试卷+答案

【新结构】2023-2024学年安徽省皖中名校联盟高二（下）第四次教
学质量检测数学试卷❖
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则图中的阴影部分表示的集合为( )
A.或
B.或
C.
D.
2.在一组样本数据为不全相等的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A. B. C. D. 1
3.下列结论中错误的个数是( )
①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题；
②命题“R，”是存在量词命题；
③命题“R，”的否定为“R，”；
④命题“是的必要条件”是真命题．
A.0
B.1
C.2
D.3
4.若正实数x，y满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则( )
A. B. C. D.
6.某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的.考生不知道正确答案的概率为，不知道正确答案的考生可以猜，设猜对的概率为现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知P是函数图象上的任意一点，则点P到直线的距离的最小值是( )
A. B. 5 C. 6 D.
8.将编号为的小球放入编号为的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有一个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为( )
A. 90
B. 135
C. 264
D. 270
二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 与均为的最大值
10.小明的计算器坏了，每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数例如：若
，，则，其中二进制数A的各位数中，已知，
出现0的概率为，出现1的概率为，记，现在计算器启动一次，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
11.偶函数满足对于任意，有，其中为的导函数，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.设集合，则集合A的真子集个数为__________.
13.以模型去拟合一组数据时，已知如下数据：，，则实数k的值为__________.
14.若函数在上存在单调递增区间，则m的取值范围是__________
四、解答题：本题共5小题，共60分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.本小题12分
在的展开式中，前3项的系数的绝对值成等差数列.
求展开式中二项式系数最大的项及各项系数和;
求展开式中所有的有理项.
16.本小题12分
司机在开车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门随机调查了100名司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人．
完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；
采用分层抽样从开车时不使用手机的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记X为开车时不使用手机的男性司机人数，求X的分布列和数学期望．
参考数据：
k
参考公式：，其中
17.本小题12分
已知数列是以公比为1，首项为3的等比数列，且
求出的通项公式；
设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
18.本小题12分
已知椭圆过点，且半焦距
求椭圆C的标准方程；
如图，已知，过点的直线l与椭圆相交于两点，直线与x轴分别相交于两点，试问是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．19.本小题12分
已知函数，其中。

当时，讨论函数的单调性；
当时，证明其中e为自然对数的底数
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了利用韦恩图表示的集合运算，属于基础题.
图中的阴影部分表示的集合为，再利用集合的基本运算求解．
【解答】
解：集合，或，
由韦恩图可知，图中的阴影部分表示的集合为，
，，
或或
故选：
2.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了相关系数，属于基础题．
根据直线方程可得相关系数．
【解答】解：由题意可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本
点，样本相关系数
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了量词的分类，还考查了不等式的性质的应用，属于基础题．
根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题否定的求法，分析选项，即可得答案．
【解答】
对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①正确；
对于②：命题“R，”是全称量词命题；故②错误；
对于③：命题p：R，，则：R，，故③错误；
对于④：当时，得不到，“”不是“”的必要条件；④错误；即错误的有3个，
故选：
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．
根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.
【解答】
解：，，，
，
，
当且仅当，即，时等号成立，
.
故选：
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
利用等差数列和的前n项和的性质可得：，即可得出．
【解答】
解：由等差数列前n
从而，
，
所以，
故选C
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查条件概率，以及互斥事件的概率加法公式，属于难题.
设A事件为“该考生不知道正确答案”，B事件为“该考生答对了”.表示出，，，再结合条件概率公式，以及互斥事件的概率加法公式，即可求解．
【解答】解：设A事件为“该考生不知道正确答案”，B事件为“该考生答对了”.
则
所以所求概率为
故选：A 7.【答案】D 【解析】【分析】
本题主要考查的是导数的几何意义，属于基础题. 结合导数的几何意义转化为点到直线距离求解即可. 【解答】
解：设直线 l 与直线 平行，且与函数
的图象相切，
设切点为 ，因为 是单调递增函数，
直线 的斜率为1，所以 ，解得
，
即切点为 ，
所以点P 到直线 的距离的最小值是点 Q 到直线
的距离，
即为 . 故选
8.【答案】C 【解析】【分析】
本题考查分步计数原理的应用，是中档题. 使用间接法结合计数原理可求出结果.
【解答】解：根据题意，有且只有1个盒子的编号与放入的小球编号相同，
在六个盒子中任选1个，放入与其编号相同的小球，有
种选法，
剩下的5个盒子的编号与放入的小球编号不相同，所有排列方法有 种，其中4个盒子的编号与
放入的小球编号不相同的放法种数为 种，3个盒子的编号与放入的小球编号不相同的放法种
数为 种，2个盒子的编号与放入的小球编号不相同的放法种数为
种，全部都对
上的有1种。

综上，则不同的放法种数为： 种放法.
故选C
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查等比数列的性质，涉及数列的单调性，属于基础题．
根据题意，由等比数列的性质依次分析选项，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，
由可得，故C正确；
由可得，则，故A正确；
是各项为正数的等比数列，，则有…………，
对于C，，则有，B错误，
对于D，…………，则与均为的最大值，D正确，
故选：ACD
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查n次独立重复实验概率公式、二项分布，以及数学期望的计算，属于中档题.
先确定X的可能取值，再求出相应取值的概率，进而得到数学期望，即可得到答案.
【解答】解：
由题意，计算器启动一次，
随机变量X的可能取值为1，2，3，4，5，
则，
，
，
，
，
，
综上A，C错误，B，D正确．
故选BD
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
构造新函数，求出奇偶性和单调性，再对选项逐个判断即可.
【解答】
解：偶函数满足对于任意，有，
令，
则当时，，
在上单调递增，
因为为偶函数，所以，
又当时，，
故在上是偶函数，
，即
即，故A错误；
，，故B正确；
，，故C正确；
，故D错误
故选：BC
12.【答案】63
【解析】【分析】
本题考查集合的表示，考查集合的真子集个数的求法．
化简集合A，进而能求出集合A的真子集的个数．
【解答】解：集合，
集合A的真子集有个．
故答案为63
13.【答案】2
【解析】【分析】本题考查回归直线方程，属于基础题.
由题意取对数可得，由回归直线过和已知数据可得答案.
【解答】解：由题意可得，又，回归直线过，
所以，
故，
解得
故答案为：2
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查导数以及方程有解问题，属于中档题.
利用参数分离，构造新函数，进而可得结论.
【解答】
解：
函数在区间上存在单调递增区间，只需在区间上有解，
即在区间上有解，
所以在区间上有解，所以
令，则
令，则在上单调递增，所以，
即，所以，所以实数m的取值范围是
故答案为：
15.【答案】解：展开式的通项为，
因为前3项的系数的绝对值成等差数列，且前三项系数为，
所以，即，
所以舍去或，
因为，所有展开式中二项式系数最大的项为第五项，
即，
令得，即展开式系数和为；
通项公式：，
当、6时对应的项为有理项，有理项分别为：；
【解析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．
n；根据n的值可确定二项式系数最大的项，再令可求各项的和；
写出二项展开式通项，再由为整数确定有理项. 16.【答案】解：填写列联表，如下；
开车时使用手机开车时不使用手机合计
男性司机人数401555
女性司机人数202545
合计6040100
零假设为开车时使用手机与司机的性别无关联.
根据数表，计算，
有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关.
开车时不使用手机的男性司机人数为：人;
开车时不使用手机的女性司机人数为：人.
由题意可知：X的所有可能取值为0，1，2，3，
则X的分布列为：
X0123
P
则
【解析】本题重点考查独立性检验和离散型随机变量的分布列、期望，属于一般题.
完善列联表，利用卡方公式求出观测值，对照临界值表即可判断；
由分层抽样求出对应人数，得X的所有可能取值和对应概率，即可得分布列和期望.
17.【答案】解：数列是首项为1，公比为3的等比数列，
，
当时，
即，
，
又也满足上式，
数列的通项公式为，
由，可得，
①
②
由①-②，得，
，
不等式可化为，
即对任意的恒成立，
即转化为
令，且易得为递增数列，又，所以，
综上，的取值范围是
【解析】n项和，考查数列的函数特性，是中档题．
由利用累加法求出的通项公式，进而求出的通项公式.
由得，利用错位相减法求出，不等式
可转化为，利用的单调性求出最小值即可.
18.【答案】解：设椭圆C的左、右焦点分别为，则，
由椭圆的定义可得，解
得，
所以，
所以椭圆C的标准方程为 .
设直线l的方程为，
当直线AP的斜率不存在时，易知直线BP与椭圆C相切，不符合题意，同理可得直线AQ的斜率存在，
故直线AP的方程为，
则，即，
同理 .
由得，
由得，
又，
所以
，
故为定值，且 .
【解析】本题考查了椭圆中的定值问题，直线和椭圆的位置关系应用，属较难题.
由椭圆的定义可得，进而由已知求得b，得出结果．
设直线l的y轴截距式方程：，结合直线方程可
得，联立直线方程与椭圆方程
有，结合根与系数的关系可得，
则为定值．
19.【答案】解：由题意得，
函数的定义域为
，
当时，或；；当时，；
当时，或；
综上，当时，在，上单调递增，
在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
当时，由，只需证明，
令，
则在内单调递增，
且，
设，则
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当时，取得唯一的极小值，也是最小值.
的最小值是：
成立.
故成立.
【解析】本题考查的是利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，属于中档题.
首先根据题意判断函数的定义域，再求导函数，分类讨论a的取值，判断函数的单调性即可.
将证明转化为证明，构造新的函数，进行求导分析单调性求出最值即可.。