【优化方案】高考数学理(江苏专用)一轮总复习练习：10.6矩阵与变换(含答案解析)

1．(2016·扬州期中)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 2，属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23)，求A 2. 解：由条件，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 )＝4⎣⎢⎡⎦⎥
⎤23)所以⎩⎪⎨⎪
⎧2＋3a ＝8，2b ＋6＝12，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3， 所以A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1 23 2， 所以A 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤7 69 10. 2．(2016·江苏省四校联考)二阶矩阵A 有特征值λ＝6，其对应的一个特征向量为e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，
并且矩阵A 对应的变换将点(1，2)变换成点(8，4)，求矩阵A.
解：设所求二阶矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
a
b c
d ，则⎩⎪⎨⎪
⎧Ae ＝6e ，A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84， 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
66，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2b c ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
84，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，c ＋d ＝6，a ＋2b ＝8，c ＋2d ＝4，
解方程组得A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
4 28 －2.
3．(2016·苏北四市期中)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 1 x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y )，若Aα＝Bα，求实数x ，y 的值．
解：Aα＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2y －22＋xy )，Bα＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2＋y 4－y ), 由Aα＝Bα得⎩
⎪⎨⎪⎧2y －2＝2＋y ，2＋xy ＝4－y ，解得x ＝－1
2，y ＝4.
4．(2016·常州调研测试) 已知矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤0 a b
0满足：Mαi ＝l i αi ，其中l i (i ＝1，2)是互不
相等的实常数，αi (i ＝1，2)是非零的平面列向量，l 1＝1，α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11，求矩阵M. 解：由题意，l 1，l 2是方程f(l)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪l －a －b l ＝l 2
－ab ＝0的两根．
因为l 1＝1，所以ab ＝1.①
又因为Mα2＝l 2α2，所以⎣⎢
⎡⎦⎥⎤0
a b
0⎣⎢⎡⎦⎥⎤
11＝l 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，从而⎩
⎪⎨
⎪⎧a ＝l 2，b ＝l 2. 所以l 22＝ab ＝1.
因为l 1≠l 2，所以l 2＝－1.从而a ＝b ＝－1.
故矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0 －1－1 0.
5．(2016·镇江模拟)已知矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
1
00
2，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
12 00 1，试求曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式．
解：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00
2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤12 00 2， 即在矩阵MN 变换下
⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥
⎥⎤12x 2y ， x ′＝1
2x ，y ′＝2y ，
代入得：1
2
y ′＝sin 2x ′，
即曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x. 6．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －3－1 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 20 1.
(1)求(AB)－
1；
(2)求直线2x ＋y －5＝0在(AB)
－1
对应变换作用下的直线方程．
解：(1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －3－1 －1⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
1
20
1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 1 －1－1 －3， 又|AB|＝－3－1＝－4，
所以(AB)
－1
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 34 －1
4－14 －14.
(2)设P(x 0，y 0)是直线2x ＋y －5＝0上任一点，P ′(x ，y)是在变换作用下点P 的象，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝(AB)－1⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x 0y 0
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 34 －1
4－14 －14
⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0.
所以⎩⎨⎧x ＝34x 0－14
y 0，y ＝－14x 0
－14y 0
.
所以⎩
⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y ，y 0
＝－x －3y.代入直线方程2x ＋y －5＝0，得2(x －y)－(x ＋
3y)－5＝0，即x －5y －5＝0为所求的直线方程．
7．(2016·南京六校联考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00 2，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1 120 1.若矩阵AB 对应的变换把直线l ：x ＋y －2＝0变为直线l′，求直线l′的方程．
解：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 1，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1 120 2. 在直线l′上任取一点P(x ，y)，它是由l 上的点P 0(x 0，y 0)经矩阵AB 所对应的变换所得， 则一方面，因为点P 0(x 0，y 0)在直线l ：x ＋y －2＝0上， 所以x 0＋y 0－2＝0.①
AB ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0)＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x y )，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ) ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋12y 0＝x ，
2y 0＝y ，
所以⎩⎨⎧x 0＝x －14
y ，
y 0
＝1
2y ，
②
将②代入①得x －14y ＋1
2y －2＝0，即4x ＋y －8＝0，
所以直线l′的方程为4x ＋y －8＝0.
8．(2016·南京、盐城模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
3
02
a ，A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
13 0b 1. (1)求a ，b 的值； (2)求A 的特征值．
解：(1)因为AA －1
＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤3
02
a ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0
b 1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
1 023＋ab
a ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
1 00 1.所以⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝1，2
3＋ab ＝0. 解得a ＝1，b ＝－2
3.
(2)由(1)得A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤3 02
1，
则A 的特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
λ－3 0－2 λ－1＝(λ－3)( λ－1)．
令f(λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝1，λ2＝3.
9．已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(－2，4)．
(1)求矩阵M ；
(2)求矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 对应的变换作用下的直线l′的方程． 解：(1)设M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
a b c
d ，则⎣⎢
⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
88， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4， 故⎩
⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4. 联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4， 故M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤6 24
4.
(2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为
f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－6 －2 －4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩
阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0. (3)设点(x ，y)是直线l 上的任一点，其在矩阵M 对应的变换作用下得到的点的坐标为(x′，y ′)，
则⎣⎢
⎡⎦⎥⎤6 24
4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x ′y ′， 即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋3
8y ′，代入直线l 的方程后并化简得x′－y′＋2＝0，即
x －y ＋2＝0.。