数学(理)一轮对点训练10-1-2 椭圆的几何性质 Word版含解析

．一个圆经过椭圆＋＝的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为．
答案＋＝
解析由题意知，圆过椭圆的三个顶点()，()，(，－)，设圆心为()，其中>，由－＝，解得＝，所以该圆的标准方程为＋＝.
.过点()作斜率为－的直线与椭圆：＋
＝(>>)相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于．答案
解析设(，)，(，)，
则＋＝①，
＋＝②.
①、②两式相减并整理得＝－·.
把已知条件代入上式得，－＝－×，
∴＝，故椭圆的离心率＝＝.
．已知椭圆：＋
＝(>>)的左焦点为，与过原点的直线相交于，两点，连接，.若＝，＝，∠＝，则的离心率＝.
答案
解析如图，设右焦点为，＝，则∠＝＝.
解得＝，故∠＝°.由椭圆及直线关于原点对称可知＝，且∠＝°，
△是直角三角形，＝，故＝＋＝＝，＝＝.．设椭圆的方程为＋
＝(>>)，点为坐标原点，点的坐标为()，点的坐标为(，)，点在线段
上，满足＝，直线的斜率为.
()求的离心率；()设点的坐标为(，－)，为线段的中点，点关于直线的对称点的
纵坐标为，求的方程．解()由题设条件知，点的坐标为，又＝，从而＝，进而得＝，
＝＝，故＝＝. ()由题设条件和()的计算结果可得，直线的方程为＋＝，点的坐标为.设点关于直线的对称点的坐标为，则线段的中点的坐标为.又点在
直线上，且·＝－，从而有
解得＝.所以＝，
故椭圆的方程为＋＝.．如图，椭圆＋
＝(>>)的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，且⊥.
()若＝＋，＝－，求椭圆的标准方程；
()若＝，求椭圆的离心率.
解()由椭圆的定义，＝＋＝(＋)＋(－)＝，故＝.
设椭圆的半焦距为，由已知⊥，
因此＝＝
＝＝，。