全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全之欧阳科创编

高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集
时间：2021.02.05 创作：欧阳科
2.如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，
交点是A ，点B 、D在直线l1上(B、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|.
(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M的轨迹C的方程．(Ⅱ)过点D且不与l1、l2垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹C于E、F两点；另外平面上的点G、H满足：
求点G的横坐标的取值范围．
2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，离心率
，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.
3. 已知椭圆的一条准线方程是其左、右顶点分别
是A、B；双曲线的一条渐近线方程为3x－5y=0.
A D
M
B
N
l2
l1
（Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；
（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若. 求证：
4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB 中点为M，直线AB与OM的夹角为 a.
（1）用半焦距c表示椭圆的方程及tan;
（2）若2<tan<3，求椭圆率心率e的取值范围.
5. 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A
（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
（1）求椭圆的方程
（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由
6. 在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为
，，平面内两点同时满足下列条件：
①；②；③∥
（1）求的顶点的轨迹方程；
（2）过点的直线与（1）中轨迹交于两点，求
的取值范围
7. 设，为直角坐标平面内x轴．y轴正方向上的单位向量，若，且
（Ⅰ）求动点M(x,y)的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设曲线C上两点A．B，满足(1)直线AB过点（0，3），(2)若，则OAPB为矩形，试求AB方程．8. 已知抛物线C：的焦点为原点，C的准线与直线
的交点M在x轴上，与C交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N（p，0）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）求实数p的取值范围；
（Ⅲ）若C的焦点和准线为椭圆Q的一个焦点和一条准线，试求Q的短轴的端点的轨迹方程．
9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴AA1在x轴上.以A、A1为焦点的双曲线交椭圆于C、D、D1、C1四点，且|CD|＝
|AA1|.椭圆的一条弦AC交双曲线于E，设，当
时，求双曲线的离心率e的取值范围.
10. 已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.
若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方
程;
若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程. 11. 如图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于两点，点是点关于原点的对称点.
(1) 设点分有向线段所成的比为，证明:;
(2) 设直线的方程是，过两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程.
12. 已知动点P（p，-1），Q（p，），过Q作斜率为的直线l，P Q中点M的轨迹为曲线C.
（1）证明：l经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点；
（2）若（1）中的其中一个公共点为A，证明：AP是曲线C的切线；
（3）设直线AP的倾斜角为，AP与l的夹角为，证明：或是定值.
13. 在平面直角坐标系内有两个定点和动点P，坐
标分别为、，动点满足，动点的轨迹为曲线，曲线关于直线的对称曲线为曲线，直线与曲线交于A、B两点，O是坐标原点，△ABO的面积为，
（1）求曲线C的方程；（2）求的值。

14. 已知双曲线的左右两个焦点分别为,点P在双曲线右支上.
（Ⅰ）若当点P的坐标为时,,求双曲线的方程；
（Ⅱ）若,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.
15. 若F、F为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足；
.
（1）求该双曲线的离心率；
（2）若该双曲线过N（2，），求双曲线的方程；
（3）若过N（2，）的双曲线的虚轴端点分别为B、B （B在y轴正半轴上），点A、B在双曲线上，且
时，直线AB的方程.
16. 以O为原点，所在直线为轴，建立如所示的坐标系。

设，点F的坐标为，，点G的坐标为。

（1）求关于的函数的表达式，判断函数的单调性，并证明你的判断；
（2）设ΔOFG 的面积，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点G ，求当取最小值时椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，若点P 的坐标为，C、D是椭圆上的两点，且，求实数的取值范围。

17. 已知点C 为圆的圆心，点A（1，0），P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP 上，且
（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线与（Ⅰ）中所求点Q
的轨迹交于不同两点F，H，O是坐标原点，
且，求△FOH的面积的取值范围。

18. 如图所示，O是线段AB的中点，|AB|＝2c，以点A为圆心，2a 为半径作一圆，其中。

（1）若圆A 外的动点P到B的距离等于它到圆周的最短距
A O B
离，建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线；
（2）经过点O的直线l与直线AB成60°角，当c＝2，a＝1时，动点P的轨迹记为E，设过点B的直线m交曲线E 于M、N两点，且点M在直线AB的上方，求点M到直线l的距离d的取值范围。

19. 设O为坐标原点,曲线上有两点P、Q
满足关于直线对称，又以PQ为直径的圆过O点.（1）求的值; （2）求直线PQ的方程.
20. 在平面直角坐标系中，若，且
，
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知定点，若斜率为的直线过点并与轨迹交于不同的两点，且对于轨迹上任意一点，都存在，使得成立，试求出满足条件的实数的值。

21. 已知双曲线（a>0,b>0）的右准线一条渐近线交于两点P、Q，F是双曲线的右焦点。

（I）求证：PF⊥；
（II）若△PQF为等边三角形，且直线y=x+b交双曲线于A，B两点，且，求双曲线的方程；
（III）延长FP交双曲线左准线和左支分别为点M、N，若M为PN的中点，求双曲线的离心率e。

22. 已知又曲线在左右顶点分别是A，B，点P 是其右准线上的一点，若点A关于点P的对称点是M，点P关于点B的对称点是N，且M、N都在此双曲线上。

（I）求此双曲线的方程；（II）求直线MN的倾斜角。

23. 如图，在直角坐标系中，点A（-1，0），B（1，0），
P（x，y）（）。

设与x轴正方向的夹角分别为α、β、γ，若。

（I）求点P的轨迹G的方程；
（II）设过点C（0，-1）的直线与轨迹G交于不同两点M、N。

问在x轴上是否存在一点，使△MNE为正三角形。

若存在求出值；若不存在说明理由。

24. 设椭圆过点，且焦点为。

（1）求椭圆的方程；
（2）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点A、B 时，在线段上取点，
满足，证明：点总在某定直线上。

25. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，－2），点C满足、
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与双曲线交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：.
26. 设，、分别为轴、轴上的点，且，动点满足：.
（1）求动点的轨迹的方程； （2）过定点
任意作一条直线与曲线交与不同
的两点、，问在轴上是否存在一定点，使得直线、
的倾斜角互补？若存在，求出点的坐标；若不存
在，请说明理由.
27. 如图，直角梯形ABCD 中，∠，AD∥BC ，
AB=2，AD=，BC=
椭圆F 以A 、B 为焦点，且经过点D ，
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆F 的方程； （Ⅱ）是否存在直线与
两点，且线段
，若存在，求直线的方程；若
不存在，说明理由.
28. 如图所示，B （– c ，0），C （c ，0），AH⊥BC，垂足为H ，且．
（1）若= 0，求以B 、C 为焦点并且经过点A 的椭圆的
离心率；
（2）D 分有向线段的比为，A 、D 同在以B 、C 为焦点的椭圆上， 当 ―5≤≤
时，求椭圆的离心率e 的取值范围．
29. 在直角坐标平面中，
的两个顶点
的坐标分别为
，
，平面内两点
同时满足下列条件：
C B
D
①；②；③∥
（1）求的顶点的轨迹方程；
（2）过点的直线与（1）中轨迹交于两点，求的取值范围
答案：
1.解：(Ⅰ) 以A点为坐标原点，l1为x轴，建立如图所示的坐标系，则D(1，0)，B(4，0)，设M（x，y），
则N（x，0）.
∵|BN|=2|DM|，
∴|4－x|=2(x－1)2+y2 ,
整理得3x2+4y2=12,
∴动点M的轨迹
方程为x2
4
+
y2
3
=1 .
(Ⅱ)∵
∴A、D、G三点共线，即点G在x轴上；又∵∴H点为线段EF的中点；又∵∴点G是线段EF的垂直平分线GH与x轴的交点。

设l：y=k(x－1)(k≠0)，代入3x2+4y2=12得
(3+4k2)x2－8k2x+4k2－12=0，由于l过点D(1，0)是椭圆的焦点，
∴l与椭圆必有两个交点，
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，EF 的中点H 的坐标为（x0，y0），
∴x1+x2= 8k23+4k2 ，x1x2= 4k2－12
3+4k2 ，
x0= x1+x22 = 4k23+4k2 ，y0=k(x0－1)= －3k
3+4k2 ，
∴线段EF 的垂直平分线为
y － y0 =－1
k
(x －x0)，令y=0得，
点G 的横坐标xG = ky0+x0 = －3k23+4k2 + 4k23+4k2 = k2
3+4k2
= 14 －34(3+4k2)
， ∵k≠0，∴k2>0，∴3+4k2>3，0<1(3+4k2) <13 ，∴－1
4 <－
3
4(3+4k2)
<0，
∴xG= 14 －34(3+4k2) (0，1
4 ）
∴点G 的横坐标的取值范围为(0，1
4 ）.
2.解：∵，∴
由
得
∴设椭圆的方程为（）
即
（
）
设是椭圆上任意一点，则
（）
若即，则当时，
由已知有，得；
若即，则当时，
由已知有，得（舍去）.
综上所述，，.
所以，椭圆的方程为.
3.解：（I）由已知
∴椭圆的方程为，双曲线的方程.
又∴双曲线的离心率
（Ⅱ）由（Ⅰ）A（－5，0），B（5，0）设M得M为AP的中点
∴P点坐标为将M、p坐标代入c1、c2方程得
消去y0得解之得
由此可得P（10，
当P为（10，时 PB：即
代入
MN⊥x轴即
4.解：（1）由题意可知所以椭圆方程为
设，将其代入椭圆方程相减，将
代入可化得
（2）若2<tan<3，则
5.解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0
依题意解得
∴椭圆方程为
（2）假若存在这样的k值，由得
∴①
设，，，则②
而
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当
CE⊥DE时，则，即
∴③
将②式代入③整理解得经验证，，使①成立
综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E 6.解：（1）设
，点在线段的中垂线上
由已知；又∥，
又
，顶点的轨迹方程为. (2)设直线方程为：，，
由消去得：①
，
而
由方程①知＞＜
，＜＜，.
7.解：解：令
则即
即
又∵∴
所求轨迹方程为
（Ⅱ）解：由条件（2）可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在
设AB方程为
则
∵OAPB为矩形，∴OA⊥OB
∴得
所求直线方程为…
8.解：（I）由题意，抛物线顶点为（－n，0），又∵焦点为原点∴m＞0
准线方程且有m=4n.
∵准线与直线交点在x轴上，交点为
又与x轴交于（－2，0），∴m=4，n=1
∴抛物线方程为y2=4（x+1）
（II）由
∴－1＜k＜1且k≠0
∴AB的中垂线方程为
得
∴p∈（2，+∞）
（III）∵抛物线焦点F（0，0），准线x=－2
∴x=－2是Q的左准线
设Q的中心为O′（x，0），则短轴端点为（±x，y）
若F为左焦点，则c=x＞0，b=|y|
∴a2=b2+c2=x2+y2
依左准线方程有即y2=2x （x＞0）
若F为右焦点，则x＜0，故c=－x，b=|y|
∴a2=b2+c2=x2+y2 依左准线方程有
即化简得2x2+2x+y2=0
即（x＜0，y≠0）
9.解：建立如原题图所示的坐标系，则AB的方程为
由于点P在AB上，可设P点的坐标为则长方形面积
化简得易知，当
（21）解：设A（－c,0）,A1(c,0)，则（其中c为双曲线的半焦距，h为C、D到x轴的距离）
即E点坐标为
设双曲线的方程为，将代入方程，得①将代入①式，整理得
消去
由于
10.解：1）设B（,）,C(,),BC中点为(),F(2,0)
则有两式作差有
(1)F(2,0)为三角形重心，所以由，得
由得，代入（1）得
直线BC的方程为2)由AB⊥AC得
（2）
设直线BC方程为，得
，
代入（2）式得，解得或
直线过定点（0，，设D（x,y）
则
即所以所求点D的轨迹方程是。

11.解：(1) 依题意，可设直线的方程为代入抛物线方程得
①
设两点的坐标分别是、、是方程①的两根.
所以
由点分有向线段所成的比为，得
又点与点关于原点对称，故点的坐标是，从而.
所以
(2) 由得点的坐标分别是（6，9）、（－4，4）,
由得
所以抛物线在点处切线的斜率为, 设圆的圆心为, 方程是
则解得
则圆的方程是(或) 12.解：（1）直线l的方程是：，即
，经过定点（0，1）；
又M（p，），设x= p，y=，消去p，得到的轨迹方
程为：.
由有，其中△=4p2+16，所以l经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点.
（2）由，设A（），
则=，
又函数的导函数为，故A处的切线的斜率也是
，从而AP是曲线C的切线.对于另一个解同样可证.
（3）当A（）时，tan=，
tan==，
tan tan=1，
又易知与都是锐角，所以=90°；
当A（）时，tan=，
tan==， tan tan=-1，
又易知是钝角，都是锐角，所以=90°.总之或是定值.
13.解：（1）设P点坐标为，则
，化简得，
所以曲线C的方程为；
（2）曲线C是以为圆心，为半径的圆，曲线也应该是一个半径为的圆，点关于直线的对称点的坐标为，所以曲线的方程为
，
该圆的圆心到直线的距离为
，
，或，
所以，，或。

14.解：（Ⅰ）(法一)由题意知,,
,
,（1分）
解得. 由双曲线定义得:
,
所求双曲线的方程为:
(法二) 因,由斜率之积为,可得解.
（Ⅱ）设,
(法一)设P的坐标为, 由焦半径公式得
,,
，
的最大值为2,无最小值. 此时,
此时双曲线的渐进线方程为
(法二)设,.
(1)当时, ,
此时.
(2)当,由余弦定理得:
,
,,综上,的最大值为2,但无最小值. (以下法一)
15.解：（1）由知四边形PF为平行四边形，
∵
（∴OP平分∠，∴平行四边形PFOM 为菱形，又∵
∴.
（2）∵∴∴双曲线的方程为
∴所求双曲线的方程为
（3）依题意得∴、B、B共线，不妨设直线AB为：
y=kx-3,A(x则有，得
，因为的渐进线为，当时，AB与双曲线只有一个交点，不合题意，当
∴，
又，∴∴所求的直线AB的方程为.
16.解：（1）由题意知，则
函数在是单调递增函数。

（证明略）（4分）
（2）由，
点G，
因在上是增函数，当时，取最小值，
此时，
依题意椭圆的中心在原点，一个焦点F（3，0），设椭圆方程为，由G点坐标代入与焦点F（3，0），可得椭圆方程为：（9分）
（3）设，则，
由，，
因点C、D在椭圆上，代入椭圆方程得，
，消去，
得，又，
则实数的取值范围为。

17.解：（1）由题意MQ是线段AP的垂直平分线，于是
|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2>|CA|=2，于是点 Q的轨迹是以点C，A为焦点，半焦距c=1，长半轴a=的椭圆，
短半轴
点Q的轨迹E方程是：.
（2）设Ｆ（x1，y1）H（x2，y2），则由，
消去y得
又点O到直线FH的距离d=1，
18.解：（1）以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则A（－c，0），B（c，0）
依题意：
∴点P的轨迹为以A、B为焦点，实半轴为a，虚半轴为的双曲线右支
∴轨迹方程为：。

（2）法一：设M（，），N（，）
依题意知曲线E的方程为
，l的方程为
设直线m的方程为
由方程组，消去y得
①
∴
∵直线与双曲线右支交于不同的两点∴及，从而
由①得
解得且
当x＝2时，直线m垂直于x轴，符合条件，∴又设M到l的距离为d，则
∵
∴
设，
由于函数与均为区间的增函数∴在单调递减
∴的最大值＝
又∵
而M的横坐标，∴
法二：为一条渐近线
①m位于时，m在无穷远，此时
②m位于时，，d较大
由
点M
∴
故
19.解：(1) 曲线表示以为圆心,以3为半径的圆, 圆上两点P、Q满足关于直线对称,则圆心在直线上,代入解得
(2)直线PQ与直线垂直,所以设PQ方程为
,.
将直线与圆的方程联立得
由解得.
.
又以PQ为直径的圆过O点
解得
故所求直线方程为
20.解：（1）∵，且，∴动点
到两个定点的距离的和为4，
∴轨迹是以为焦点的椭圆，方程为
（2）设，直线的方程为，代入，消去得，
由得，且，
∴
设点，由可得
∵点在上，
∴
∴，
又因为的任意性，∴，
∴，又，得，
代入检验，满足条件，故的值是。

21.解：(1) 不妨设.
, F.(c,0)
设
k2=∴k1k2=－1.
即PF⊥.
（2）由题
. x2－bx－b2=0,
∴a=1, ∴双曲线方程为
（3） y=－ M(－
∴N（－）.
又N在双曲线上。

∴
∴e=
22.解：（I）点A、B的坐标为A（-3，0），B（3，0），设点P、M、N的坐标依次为则有
② 4-①得，解得c=5故所求方程是（II）由②得，
所以，M、N的坐标为
所以MN的倾斜角是
23.解：（I）由已知，当时，
当时，，也满足方程<1>
∴所求轨迹G方程为
（II）假设存在点，使为正△
设直线方程：代入
得：
∴MN中点
在正△EMN中，
与矛盾
∴不存在这样的点使△MNE为正△
24.解：（1）由题意：，解得，所求椭圆方程为
（2）解：设过P的直线方程为：，设，，
则
，
∵，∴，即，
化简得：，
∴，
去分母展开得：
化简得：，解得：
又∵Q在直线上，
∴，∴
即，
∴Q恒在直线上。

25.解：（1）解：设
即点C的轨迹方程为x+y=1
26.解：（1）设，则、，
又，，即.
（2）设直线的方程为：，、
假设存在点满足题意，则，
，即，，
，又
，
由于，则
对不同的值恒成立，即对不同的值恒成立，
则，即，故存在点符合题意.
27.解：（Ⅰ）以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图
则A（-1,0） B(1,0) D(-1,)
设椭圆F的方程为
得
得
所求椭圆F方程
（Ⅱ）解：若存在这样的直线l，依题意，l不垂直x轴
设 l方程
代入
设、有
得
又内部
故所求直线l方程
（Ⅱ）解法2：若存在这样的直线l，设，
有
两式相减得
有
得即l斜率为
又，故所求直线l方程
28.解：（1）因为，所以H，又因为AH⊥BC，所以设A，由得即3分
所以|AB| =，|AC | =
椭圆长轴2a = |AB| + |AC| = (+ 1)c，所以，
．
（2）设D (x1，y1)，因为D分有向线段的比为，所以，，
设椭圆方程为= 1 (a > b > 0)，将A、D点坐标代入椭圆方程得.①
……………………………..②
由①得，代入②并整理得，
因为–5≤≤，所以，又0 < e < 1，所以≤e≤．
29.解：（1）设
，点在线段的中垂线上
由已知；又∥，
又
，顶点的轨迹方程为. (2)设直线方程为：，，
由消去得：①
，
而
由方程①知＞＜
，＜＜，.
时间：2021.02.05 创作：欧阳科。