山东省青岛市局属四校联考2025届九上数学期末统考试题含解析

山东省青岛市局属四校联考2025届九上数学期末统考试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，已知△AOB与△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，点B的坐标为（-1，2），则点B1的坐标为（）
A．（2，-4）B．（1，-4）C．（-1，4）D．（-4，2）
2．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是()
A．AC=AB B．∠C=1
2
∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠B0D
3．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为何？
A．5 B．6 C．7 D．10
4．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．如图，一条抛物线与x 轴相交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动．若点A 、B 的坐标分别为()2,3-、()1,3，点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为（ ）
A ．1-
B ．3-
C ．5-
D ．7-
6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角∠DCE ＝65°，∠ABC ＝68°，则∠A 的度数为（ ）.
A ．112°
B ．68°
C ．65°
D ．52°
7．如图，在菱形ABCD 中，4AB =，120ABC ∠=︒，E 是AD 的中点，将ABE ∆绕点A 逆时针旋转至点B 与点D 重合，此时点E 旋转至F 处，则点B 在旋转过程中形成的BD 、线段DF 、点E 在旋转过程中形成的EF 与线段EB 所围成的阴影部分的面积为（ ）
A ．23π
B ．32π
C ．2π
D ．3π
8．如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，已知AB=4，AD=1．∠DAC=∠B ，若△ABD 的面积为a ，则△ACD 的面积为（ ）
A ．a
B ．a
C ．a
D ．a
9．如图，123////l l l ，两条直线与三条平行线分别交于点,,A B C 和,,D E F ．已知32DE EF =，则AB AC 的值为（ ）
A ．32
B ．23
C ．35
D ．25
10．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，原价为30元的药品经过连续两次降价，价格变为24.3元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A ．10%
B ．15%
C ．20%
D ．25%
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．请写出“两个根分别是2，-2”的一个一元二次方程：_______________
12．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A ，然后过点A 作AB 与残片的内圆相切于点D ，作CD ⊥AB 交外圆于点C ，测得CD ＝15cm ，AB ＝60cm ，则这个摆件的外圆半径是_____cm ．
13．如图，已知圆锥的高为3，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为_____．
14．对于实数a ，b ，定义运算“⊗”： ()22{()
ab b a b a b a ab a b -≥⊗=-< ，例如：5⊗3，因为5＞3，所以5⊗3=5×3﹣32=1．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣1x+8=0的两个根，则x 1⊗x 2=________．
15．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是 ．
16．如图，已知半⊙O 的直径AB ＝8，将半⊙O 绕A 点逆时针旋转，使点B 落在点B '处，AB '与半⊙O 交于点C ，若图中阴影部分的面积是8π，则弧BC 的长为_____．
17．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠B=45°，DE⊥AC于E交AB于F，若BC=2CD，AE=2，则线段BF=______.
18．如图，圆形纸片⊙O半径为52，先在其内剪出一个最大正方形，再在剩余部分剪出4个最大的小正方形，则4 个小正方形的面积和为_______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）永农化工厂以每吨800元的价格购进一批化工原料，加工成化工产品进行销售，已知每1吨化工原料可以加工成化工产品0.8吨，该厂预计销售化工产品不超过50吨时每吨售价为1600元，超过50吨时，每超过1吨产品，销售所有的化工产品每吨价格均会降低4元，设该化工厂生产并销售了x吨化工产品．
（1）用x的代数式表示该厂购进化工原料吨；
（2）当x＞50时，设该厂销售完化工产品的总利润为y，求y关于x的函数关系式；
（3）如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在什么范围？
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B 三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C，已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD
①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．
21．（6分）某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为12米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．
（1）求出树高AB；
（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变．求树的最大影长．（用图（2）解答）
22．（8分）在一个不透明的盒子里装有4个分别标有：﹣1、﹣2、0、1的小球，它们的形状、大小完全相同，小芳从盒子中随机取出一个小球，记下数字为x，作为点M的横坐标：小华在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，作为点M的纵坐标．
（1）用画树状图或列表的方式，写出点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y＝
2
x
的图象上的概率．
23．（8分）某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为t=204-3x.
（1）试写出每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件售价x（元）之间的函数关系式（毛利润=销售价-进货价）；（2）每件销售价为多少元，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？
24．（8分）（7分）某中学1000名学生参加了”环保知识竞赛“，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分）作为样本进行统计，并制作了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中“■”表示被污损的数据）．请解答下列问题：
成绩分组频数频率
50≤x＜60 8 0.16
60≤x＜70 12 a
70≤x＜80 ■0.5
80≤x＜90 3 0.06
90≤x≤100 b c
合计■ 1
（1）写出a，b，c的值；
（2）请估计这1000名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70分；
（3）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．
25．（10分）如图，已知四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE=EC，以AE为直径的⊙O与CD相切于点D，点B在⊙O上，连接OB．
（1）求证：DE=OE；
（2）若CD∥AB，求证：BC是⊙O的切线．
26．（10分）如图，聪聪想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距离（AB）为16m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角α为30°，看建筑物顶部D的仰角β为53°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．
（1）求AB 与CD 之间的距离（结果保留根号）．
（2）求建筑物CD 的高度（结果精确到1m ）．（参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan53 1.3︒≈3 1.7≈）
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】过B 作BC ⊥y 轴于C ，过B 1作B 1D ⊥y 轴于D ，依据△AOB 和△A 1OB 1相似，且相似比为1：2，即可得到112
BO B O =，再根据△BOC ∽△B 1OD ，可得OD=2OC=4，B 1D=2BC=2，进而得出点B 1的坐标为（2，-4）． 【详解】解：如图，过B 作BC ⊥y 轴于C ，过B 1作B 1D ⊥y 轴于D ，
∵点B 的坐标为（-1，2），
∴BC=1，OC=2，
∵△AOB 和△A 1OB 1相似，且相似比为1：2， ∴112
BO B O =, ∵∠BCO=∠B 1DO=90°，∠BOC=∠B 1OD ，
∴△BOC ∽△B 1OD ，
∴OD=2OC=4，B 1D=2BC=2，
∴点B 1的坐标为（2，-4），
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
2、B
【解析】先利用垂径定理得到弧AD=弧BD，然后根据圆周角定理得到∠C=1
2
∠BOD，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：∵直径CD⊥弦AB，∴弧AD =弧BD，
∴∠C=1
2
∠BOD．
故选B．
【点睛】
本题考查了垂径定理和圆周角定理，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3、C
【解析】依题意可得，当其中一个夹角为180°即四条木条构成三角形时，任意两螺丝的距离之和取到最大值，为夹角为180°的两条木条的长度之和．因为三角形两边之和大于第三边，若长度为2和6的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为3,4,8，不符合；若长度为2和3的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为4,5,6，符合，此时任意两螺丝的距离之和的最大值为6；若长度为3和4的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为2,6,7，符合，此时任意两螺丝的距离之和的最大值为7；若长度为4和6的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为2,3,10，不符合．综上可得，任意两螺丝的距离之和的最大值为7，故选C
4、D
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A、不是轴对称图形，故A不符合题意；
B 、不是轴对称图形，故B 不符合题意；
C 、不是轴对称图形，故C 不符合题意；
D 、是轴对称图形，故D 符合题意．
故选D.
【点睛】
本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5、C
【分析】根据顶点P 在线段AB 上移动，又知点A 、B 的坐标分别为()2,3-、()1,3，再根据AB 平行于x 轴，MN 之间距离不变，点N 的横坐标的最大值为4，分别求出对称轴过点A 和B 时的情况，即可判断出M 点横坐标的最小值．
【详解】根据题意知，点N 的横坐标的最大值为4，
此时对称轴过B 点，点N 的横坐标最大，此时的M 点坐标为()2,0-，
当对称轴过A 点时，点M 的横坐标最小，此时的N 点坐标为()1,0，M 点的坐标为()5,0-，
故点M 的横坐标的最小值为5-，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的图象与性质．解答本题的关键是理解二次函数在平行于x 轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．
6、C
【分析】由四边形ABCD 内接于⊙O ，可得∠BAD+∠BCD ＝180°，又由邻补角的定义，可证得∠BAD ＝∠DCE ．继而求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，
∴∠BAD+∠BCD ＝180°，
∵∠BCD+∠DCE ＝180°，
∴∠A ＝∠DCE ＝65°．
故选：C ．
【点睛】
此题考查了圆的内接四边形的性质．注意掌握圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
7、C
【分析】根据菱形的性质可得AD=AB=4，∠DAB=180°－60ABC ∠=︒，AE=122AD =，然后根据旋转的性质可得：S △ABE =S △ADF ，∠FAE=∠DAB=60°，最后根据S 阴影=S 扇形DAB ＋S △ADF ―S △ABE ―S 扇形FAE 即可求出阴影部分的面积.
【详解】解：∵在菱形ABCD 中，4AB =，120ABC ∠=︒，E 是AD 的中点，
∴AD=AB=4，∠DAB=180°－60ABC ∠=︒，AE=122
AD =， ∵ABE ∆绕点A 逆时针旋转至点B 与点D 重合，此时点E 旋转至F 处，
∴S △ABE =S △ADF ，∠FAE=∠DAB=60°
∴S 阴影=S 扇形DAB ＋S △ADF ―S △ABE ―S 扇形FAE
= S 扇形DAB ―S 扇形FAE
=22
604602360360
ππ⨯⨯- =2π
故选：C.
【点睛】
此题考查的是菱形的性质、旋转的性质和扇形的面积公式，掌握菱形的性质定理、旋转的性质和扇形的面积公式是解决此题的关键.
8、C
【详解】解：∵∠DAC=∠B ，∠C=∠C ，
∴△ACD ∽△BCA ，
∵AB=4，AD=1，
∴△ACD 的面积：△ABC 的面积为1：4，
∴△ACD 的面积：△ABD 的面积=1：3，
∵△ABD 的面积为a ，
∴△ACD 的面积为a ，
故选C ．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相关性质是本题的解题关键．
9、C
【分析】由123////l l l 得
,DE AB EF BC
=设3,AB k =可得答案． 【详解】解： 123////l l l ，32
DE EF =， 3,2DE AB EF BC ∴== 设3,AB k = 则2,BC k =
5,AC k ∴=
33.55
AB k AC k ∴== 故选C ．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例，比例线段，掌握这两个知识点是解题的关键．
10、A
【分析】设平均每次降价的百分率为x ，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】设平均每次降价的百分率为x ，
依题意，得：30（1﹣x ）2＝24.3，
解得：x 1＝0.1＝10%，x 2＝1.9（不合题意，舍去）．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、240x -=
【分析】可先分别写出解为2,-2的一元一次方程（此一元一次方程的等式右边为0），然后逆运用因式分解法即可.
【详解】解：因为x +2=0的解为x =-2,x -2=0的解为x =2，
所以(2)(2)0x x +-=的两个根分别是2，-2，
(2)(2)0x x +-=可化为240x -=.
故答案为：240x -=.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程.因式分解法是令等式的一边为0，另一边分解为两个一次因式乘积的形式，这两个一次因式为0时的解为一元二次方程的两个解.而本题可先分别写出两个值为0时解为2和-2的
一次因式，这两个一次因式的乘积即可作为一元二次方程等式的一边，等式的另外一边为0.
12、37.1
【分析】根据垂径定理求得AD＝30cm，然后根据勾股定理得出方程，解方程即可求得半径．【详解】如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，
∵CD＝11cm，AB＝60cm，
∵CD⊥AB，
∴OC⊥AB，
∴AD＝1
2
AB＝30cm，
∴设半径为rcm，则OD＝(r﹣11)cm，
根据题意得：r2＝(r﹣11)2+302，
解得：r＝37.1，
∴这个摆件的外圆半径长为37.1cm，
故答案为37.1．
【点睛】
本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是解本题的关键．13、2π
【解析】试题分析：如图，
∠BAO=30°，3
在Rt△ABO中，∵tan∠BAO=BO AO
，
∴3tan30°=1，即圆锥的底面圆的半径为1，∴22
(3)12
-=，即圆锥的母线长为2，
∴圆锥的侧面积=1
2122
2
ππ⨯⨯⨯=．
考点：圆锥的计算．
14、±4
【解析】先解得方程x2﹣1x+8=0的两个根，然后分情况进行新定义运算即可. 【详解】∵x2﹣1x+8=0，
∴（x-2）（x-4）=0，
解得：x=2，或x=4，
当x1＞x2时，则x1⊗x2=4×2﹣22=4；
当x1＜x2时，则x1⊗x2=22﹣2×4=﹣4.
故答案为：±4.
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，解此题的关键在于利用因式分解法求得方程的解.
15、1
4
．
【解析】试题分析：画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，所以两枚硬币全部正面向上的概率=1
4
．故答案
为1
4
．
考点：列表法与树状图法．
16、2π
【分析】设∠OAC＝n°．根据S阴＝S半圆＋S扇形BAB′−S半圆＝S扇形ABB′，构建方程求出n即可解决问题．【详解】解：设∠OAC＝n°．
∵S阴＝S半圆+S扇形BAB′﹣S半圆＝S扇形ABB′，
∴
2
8
360
nπ•
＝8π，
∴n＝45，
∴∠OAC＝∠ACO＝45°，∴∠BOC＝90°，
∴BC 的长＝904180
π••＝2π， 故答案为2π．
【点睛】
本题考查扇形的面积，弧长公式等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式，弧长公式．
175【分析】连接BD ，延长BA ，CD 交于点G ，根据∠BAD=∠BCD=90°可得点A 、B 、C 、D 四点共圆，根据圆周角定理可得CBD CAD ∠=∠，根据DE ⊥AC 可证明△AED ∽△BCD ，可得112
DE AE ==，利用勾股定理可求出AD 的长，由∠ABC=45°可得△ABG 为等腰直角三角形，进而可得△ADG 是等腰直角三角形，即可求出AG 、DG 的长，根据BC=2CD 可求出CD 、BC 、AB 的长，根据ADE FDA ∠=∠，90FAD AED ∠=∠=︒可证明△AED ∽△FAD ，根据相似三角形的性质可求出AF 的长，即可求出BF 的长.
【详解】连接BD ，延长BA ，CD 交于点G ，
∵90BAD BCD ∠=∠=︒，
∴A B C D 、、、四点共圆，
∴CBD CAD ∠=∠，
∵DE AC ⊥，
∴90AED BCD ∠=︒=∠，
∴△AED ∽△BCD ，
∴::2:1AE DE BC CD ==，
∴112
DE AE ==， ∴22AE DE +5
∵45,90ABC BCD ∠=︒∠=︒
∴BCG ∆是等腰直角三角形，
∵BC=2CD ，
∴22BC CG CD DG ===
∴CD=DG ，
∵45,90G GAD ∠=︒∠=︒，
∴ADG ∆是等腰直角三角形， ∴5,10AG AD DG ===，
∴10,210,245CD BC BG BC ===
=， ∵ADE FDA ∠=∠，90FAD AED ∠=∠=︒，
∴△AED ∽△FAD ，
∴::2:1AF AD AE DE ==， ∴225AF AD ==
∴5BF BG AF AG =--=.
【点睛】
本题考查圆周角定理、勾股定理及相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键. 18、16
【分析】根据题意可知四个小正方形的面积相等，构造出直角△OAB ，设小正方形的面积为x ，根据勾股定理求出x 值即可得到小正方形的边长，从而算出4 个小正方形的面积和.
【详解】解：如图，点A 为上面小正方形边的中点，点B 为小正方形与圆的交点，D 为小正方形和大正方形重合边的中点，
由题意可知：四个小正方形全等，且△OCD 为等腰直角三角形，
∵⊙O 半径为 2，根据垂径定理得：
∴522
=5， 设小正方形的边长为x ，则AB=
12x ，
则在直角△OAB 中，
OA 2+AB 2=OB 2，
即()()22215=522x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 解得x=2，
∴四个小正方形的面积和=242=16⨯.
故答案为：16.
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）54
x ；（2）y ＝﹣4x 2+800x ；（3）如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在100吨～150吨范围内．
【分析】（1）根据“每1吨化工原料可以加工成化工产品0.8吨”，即可求出；
（2）根据总利润＝总售价－总成本即可求出y 关于x 的函数关系式；
（3）先求出y=38400元时，x 的值，然后根据二次函数图象的开口方向和增减性即可求出x 的取值范围.
【详解】（1）x ÷0.8＝54
x 吨， 故答案为：
54
x ； 故答案为：54x ； （2）根据题意得，y ＝x [1600﹣4（x ﹣50）]﹣54
x •800＝﹣4x 2+800x ， 则y 关于x 的函数关系式为：y ＝﹣4x 2+800x ；
（3）当y ＝38400时，﹣4x 2+800x ＝38400，
x 2﹣200x +9600＝0，
（x ﹣120）（x ﹣80）＝0，
x ＝120或80，
∵﹣4＜0，
∴当y ≥38400时，80≤x ≤120，
∴100≤54
x ≤150， ∴如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在100吨～150吨范围内．
【点睛】
此题考查的是二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和二次函数的增减性是解决此题的关键.
20、（1）抛物线的解析式为211y=x +x 22-；（2）①P 点坐标为P 1
（44
-）或P 2（3344-，）或P 2（3322-，）；②D （3
3 28
-，）． 【分析】（1）首先解方程得出A ，B 两点的坐标，从而利用待定系数法求出二次函数解析式即可．
（2）①首先求出AB 的直线解析式，以及BO 解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP 时，当OP=PC 时，点P 在线段OC 的中垂线上，当OC=PC 时分别求出x 的值即可．
②利用S △BOD =S △ODQ +S △BDQ 得出关于x 的二次函数，从而得出最值即可．
【详解】解：（1）解方程x 2﹣2x ﹣2=0，得 x 1=2，x 2=﹣1．
∵m ＜n ，
∴m=﹣1，n=2．
∴A （﹣1，﹣1），B （2，﹣2）．
∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax 2+bx ．
∴a b=1{9a 3b=3----，解得：1a=2{1b=2
-． ∴抛物线的解析式为211y=x +x 22
-． （2）①设直线AB 的解析式为y=kx+b ．
∴k+b=1{3k+b=3---，解得：1k=2{3b=2
--． ∴直线AB 的解析式为13y=x 22
--．
∴C 点坐标为（0，32-）． ∵直线OB 过点O （0，0），B （2，﹣2），
∴直线OB 的解析式为y=﹣x ．
∵△OPC 为等腰三角形， ∴OC=OP 或OP=PC 或OC=PC ．
设P （x ，﹣x ）．
（i ）当OC=OP 时，()229x +x =4
-， 解得123232x =x =44
-，（舍去）． ∴P 1（323244
-，）． （ii ）当OP=PC 时，点P 在线段OC 的中垂线上，
∴P 2（3
344
-，）． （iii ）当OC=PC 时，由2
239x +x+=24⎛⎫- ⎪⎝
⎭， 解得123
x =x =02
，（舍去）． ∴P 2（3
322
-，）． 综上所述，P 点坐标为P 1（
323244-，）或P 2（3344-，）或P 2（3322-，）． ②过点D 作DG ⊥x 轴，垂足为G ，交OB 于Q ，过B 作BH ⊥x 轴，垂足为H ．
设Q （x ，﹣x ），D （x ，211x +x 22
-
）． S △BOD =S △ODQ +S △BDQ =12DQ•OG+12DQ•GH
=12
DQ （OG+GH ） =2111x+x +x 3222⎡⎤⎛⎫-⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
=23327x +4216
⎛⎫- ⎪⎝⎭． ∵0＜x ＜2， ∴当3x=2时，S 取得最大值为2716
，此时D （33 28-，）． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解一元二次方程、图形的面积计算等，其中（2）要注意分类求解，避免遗漏．
21、（1）树AB 的高约为；（2）
【解析】（1）AB=ACtan30°=12×3=．
答：树高约为
（2）如图（2），B 1N=AN=AB 1sin45°=×2=．
NC 1=NB 1tan60°==．
AC 1=AN+NC 1= 当树与地面成60°角时影长最大AC 2（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB 的⊙A 相切时影长最大）
AC 2=2AB 2=
（1）在直角△ABC 中，已知∠ACB=30°，AC=12米．利用三角函数即可求得AB 的长；
（2）在△AB 1C 1中，已知AB 1的长，即AB 的长，∠B 1AC 1=45°，∠B 1C 1A=30°．过B 1作AC 1的垂线，在直角△AB 1N 中根据三角函数求得AN ，BN ；再在直角△B 1NC 1中，根据三角函数求得NC 1的长，再根据当树与地面成60°角时影长最大，根据三角函数即可求解．
22、（1）见解析；（2）16
【分析】（1）画树状图即可得到12种等可能的结果数；
（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到点（﹣2，1）和点（1，﹣2）满足条件，然后根据概率公式计算，即可．
【详解】（1）画树状图为：
共有12种等可能的结果，它们为（﹣1，﹣2），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（0，﹣1），（0，﹣2），（0，1），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，0）；
（2）∵点M（x，y）在函数y＝
2
x
-的图象上的点有（﹣2，1），（1，﹣2），
∴点M（x，y）在函数y＝
2
x
-的图象上的概率＝
2
12
＝
1
6
．
【点睛】
本题主要考查简单事件的概率和反比例函数的综合，画树状图，是解题的关键.
23、（1）y= -3x2+330x-8568；（2）每件销售价为55元时，能使每天毛利润最大，最大毛利润为507元.
【分析】（1）根据毛利润＝销售价−进货价可得y关于x的函数解析式；
（2）将（1）中函数关系式配方可得最值情况．
【详解】（1）根据题意,y=(x-42)(204-3x)= -3x2+330x-8568；
（2）y=-3x2+330x-8568= -3(x-55)2+507
因为-3<0，
所以x=55时，y有最大值为507.
答：每件销售价为55元时，能使每天毛利润最大，最大毛利润为507元.
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，理解题意根据相等关系列出函数关系式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24、（1）a=0.24，b=2，c=0.04；（2）600人；（3）2
5人.
【分析】（1）利用50≤x＜60的频数和频率，根据公式：频率＝频数÷总数先计算出样本总人数，再分别计算出a，b，c 的值；
（2）先计算出竞赛分数不低于70分的频率，根据样本估计总体的思想，计算出1000名学生中竞赛成绩不低于70分的人数；
（3）列树形图或列出表格，得到要求的所有情况和2名同学来自一组的情况，利用求概率公式计算出概率.
【详解】解：（1）样本人数为：8÷0.16=50（名）
a=12÷50=0.24，
70≤x＜80的人数为：50×0.5=25（名）
b=50﹣8﹣12﹣25﹣3=2（名）
c=2÷50=0.04
所以a=0.24，b=2，c=0.04；
（2）在选取的样本中，竞赛分数不低于70分的频率是0.5+0.06+0.04=0.6，根据样本估计总体的思想，有：
1000×0.6=600（人）
∴这1000名学生中有600人的竞赛成绩不低于70分；
（3）成绩是80分以上的同学共有5人，其中第4组有3人，不妨记为甲，乙，丙，第5组有2人，不妨记作A，B 从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学，情形如树形图所示，共有20种情况：
抽取两名同学在同一组的有：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙，AB，BA共8种情况，
∴抽取的2名同学来自同一组的概率P=8
20
=
2
5
【点睛】
本题考查了频数、频率、总数间关系及用列表法或树形图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树形图法适合两步或两步以上完成的事件；概率＝所求情况数与总情况数之比．
25、（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】(1)先判断出∠2+∠3=90°，再判断出∠1=∠2即可得出结论；
(2)根据等腰三角形的性质得到∠3=∠COD=∠DEO=60°，根据平行线的性质得到∠4=∠1，根据全等三角形的性质得到∠CBO=∠CDO=90°，于是得到结论；
【详解】(1)如图，连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°，
∵DE=EC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠COD ，
∴DE=OE ；
(2)∵OD=OE ，
∴OD=DE=OE ，
∴∠3=∠COD=∠DEO=60°，
∴∠2=∠1=30°，
∵AB ∥CD ，
∴∠4=∠1，
∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°，
∴∠BOC=∠DOC=60°，
在△CDO 与△CBO 中，
OD OB DOC BOC OC OC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△CDO ≌△CBO(SAS)，
∴∠CBO=∠CDO=90°，
∴OB ⊥BC ，
∴BC 是⊙O 的切线；
【点睛】
此题主要考查了切线的判定和性质，同角的余角相等，等腰三角形的性质，判断出△CDO ≌△CBO 是解本题的关键．
26、（1
）；（2）51m
【分析】（1）作AM CD ⊥于M ，根据矩形的性质得到16CM AB ==，AM BC =，根据正切的定义求出AM ； （2）根据正切的定义求出DM ，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：（1）作AM CD ⊥于M ，
则四边形ABCM 为矩形，
16CM AB ∴==，AM BC =，
在Rt ACM 中，tan CM CAM AM ∠=
，
则)16tan tan 30CM AM m CAM ︒
===∠， 答：AB 与CD
之间的距离；
（2）在Rt AMD △中，tan DM DAM AM
∠=， 则tan 16 1.7 1.335.36DM AM DAM =⋅∠≈⨯⨯=，
()35.361651DC DM CM m ∴=+=+≈，
答：建筑物CD 的高度约为51m ．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．。