内蒙古高二高中数学期末考试带答案解析

内蒙古高二高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.在统计中，样本的标准差可以近似地反映总体的( )
A．平均状态B．分布规律C．最大值和最小值D．波动大小
2.要从已编号（）的枚最新研制的某型导弹中随机抽取枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的枚导弹的编号可能是（）
A．B．
C．D．
3.下列判断错误的是（）
A．“”是“a<b”的充分不必要条件
B．命题“”的否定是“”
C．若为假命题,则p,q均为假命题
D．“x=2”是“x2=4”的充分不必要条件
4.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位），其侧视图和主视图是全等的三角形，则该几何体的表面积
为（）
A．B．C．D．
5.若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（）
A．k<2或k>5 ；B．k>5 ；C．2<k<5；D．以上答案均不对
6.已知(a是常数）在上有最大值3，那么在上的最小值
是（ )
A．-37B．37C．-32D．32
7.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极小值点有几个（）
A．3B．2C．1D．0
8.“”是“”的（）.
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9.设f(x)＝xlnx,若f′(x 0)＝2,则x 0等于 ( ) A ．e
2
B ．e
C ．
D ．ln2
10.已知是R 上的单调增函数，则的取值范围是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
11.过抛物线y 2=8x 的焦点作直线L 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为4，则|AB|等于 （ ） A ．14 B ．12 C ．10 D ．8
12.执行右边的程序框图，若，则输出的（ ） ． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
13.设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的
取值范围为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
1.若函数在
处取极值，则
2.如图，
是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A 、B 的点，PA 垂直于⊙O 所在平面
于E ，
于
F ，因此________⊥平面PBC （请填图上的一条直线）
3.已知样本
的平均数是，标准差是，则
三、解答题
1.（1）求函数的导数
（2）已知，求及
2.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，且侧棱面，点是的中点．
（1）求证：；（2）求证：∥平面
3.某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.
(1)请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
4.已知抛物线的焦点F和椭圆的右焦点重合。

（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）设P（1，2），是否存在平行于OP（O为坐标原点）的直线，使得直线与抛物线C有公共点，且直线OP与的距离等于？若存在，求出直线的方程；若不存在，
说明理由。

5.设，其中为正实数
（1）当时，求的极值点；
（2）若为R上的单调函数，求的取值范围.
6.若函数，
（1）当时，求函数的单调增区间；（2）函数是否存在极值.
内蒙古高二高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.在统计中，样本的标准差可以近似地反映总体的( )
A．平均状态B．分布规律C．最大值和最小值D．波动大小
【答案】D
【解析】样本的均值反映总体的平均状态，频率大小反映总体的分布规律，标准差反应总体的波动大小，故选D
2.要从已编号（）的枚最新研制的某型导弹中随机抽取枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的枚导弹的编号可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】略
3.下列判断错误的是（）
A．“”是“a<b”的充分不必要条件
B．命题“”的否定是“”
C．若为假命题,则p,q均为假命题
D．“x=2”是“x2=4”的充分不必要条件
【答案】 C
【解析】略
4.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位），其侧视图和主视图是全等的三角形，则该几何体的表面积为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】略 5.若方程
表示双曲线，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．k<2或k>5 ；
B ．k>5 ；
C ．2<k<5；
D ．以上答案均不对
【答案】A 【解析】略
6.已知(a 是常数）在上有最大值3，那么在上的最小值
是 （ ) A ．-37 B ．37 C ．-32
D ．32
【答案】A 【解析】，则。

当时
，当时，
当时，所以是函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。

所以
是函数在区间上的最大值，从而可得，所以
，则在
上
的最小值为，故选A
7.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极小值
点有几个 （ ） A ．3 B ．2
C ．1
D ．0
【答案】C
【解析】由图可知，在区间内有4个零点，其中
的左右两侧均有，所以是函数
的拐点。

而由图可知，最左侧的零点的左侧
右侧
，所以该点是函数的极大值点。

左
侧第二个零点的左侧右侧
，所以该点是函数的极小值点。

最右侧的零点的左侧
右侧，所以该点是函数的极大值点。

综上可得，
在区间
内只有一个极小值点，故选C
8.“
”是“
”的（ ）.
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】略
9.设f(x)＝xlnx,若f′(x 0)＝2,则x 0等于 ( ) A ．e
2
B ．e
C ．
D ．ln2
【答案】B 【解析】，则
，从而有
，解得
，故选B
10.已知是R 上的单调增函数，则的取值范围是（）
A ．
B ．
C．D．
【答案】D
【解析】，则。

依题意可得恒成立，则，解得，故选D
11.过抛物线y2=8x的焦点作直线L交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为4，则|AB|等
于（）
A．14
B．12
C．10
D．8
【答案】B
【解析】抛物线的焦点为，设A、B横坐标为；A、B中点到抛物线准线距离为
A、B在准线上的射影为；根据抛物线定义及梯形性质得：
故选B
12.执行右边的程序框图，若，则输出的（）．
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】，则当时，当时
，所以程序运行了三次结束，此时，故选B
13.设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的
取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为,又因为曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则切线的斜率，
所以,解得，故选A.
二、填空题
1.若函数在处取极值，则
【答案】
【解析】略
2.如图，是⊙O的直径，C是圆周上不同于A、B的点，PA垂直于⊙O所在平面于E，于F，因此________⊥平面PBC（请填图上的一条直线）
【答案】AF
【解析】略
3.已知样本的平均数是，标准差是，则
【答案】96
【解析】略
三、解答题
1.（1）求函数的导数
（2）已知，求及
【答案】（1）………………………4分
（2）………………………7分
【解析】略
2.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，且侧棱面，点是的中点．
（1）求证：；（2）求证：∥平面
【答案】因为三棱柱是正三棱柱，所以平面，
又平面，所以，……………………………………… 2分
又点是棱的中点，且为正三角形，所以，
因为，所以平面，………………………………4分
又因为平面，所以．………………………………6分
(2)连接交于点，再连接．………7分
因为四边形为矩形，
所以为的中点，………………8分
又因为为的中点，
所以.………………………10分
又平面，平面，
所以平面．
【解析】略
3.某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.
(1)请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
【答案】（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为人,
第3组的频率为, …………3分
频率分布直方图如下: …………8分
（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为: 第3组:人,…………9分
第4组:人,…………10分
第5组:人,…………11分
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。

【解析】略
4.已知抛物线的焦点F和椭圆的右焦点重合。

（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）设P（1，2），是否存在平行于OP（O为坐标原点）的直线，使得直线与抛物线
C有公共点，且直线OP与的距离等于？若存在，求出直线的方程；若不存在，
说明理由。

【答案】
【解析】略
5.设，其中为正实数
（1）当时，求的极值点；
（2）若为R上的单调函数，求的取值范围.
【答案】对求导得①……………………2分
（I）当，若…………3分
综合①,可知
+00+
所以,是极小值点,是极大值点. ……………………6分
（II）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合①与条件a>0，知对任意都有成立………………………………………………9分
在R上恒成立，因此由此并结合，知
【解析】略
6.若函数，
（1）当时，求函数的单调增区间；（2）函数是否存在极值.
【答案】（1）由题意，函数的定义域为………………1分
当时，，……2分
令，即，得或………………4分
又因为,所以，函数的单调增区间为………………5分
（2）……………6分
解法一：令，因为对称轴，所以只需考虑的正负，
当即时，在（0，+∞）上，
即在（0，+∞）单调递增，无极值………………8分
当即时，在（0，+∞）有解，所以函数存在极值.…10分
综上所述：当时，函数存在极值；当时，函数不存在极值.…12分
解法二：令即，记
当即时，，在（0，+∞）单调递增，无极值………7分
当即时，解得：或
若则，列表如下：
（0，）（，+∞）
-—0+
由上表知：时函数取到极小值，即函数存在极小值。

………9分
若，则，在（0，+∞）单调递减，不存在极值。

……11分
综上所述，当时，函数存在极值，当时。

函数不存在极值
【解析】略。