不等式章末复习课件

m<0，解得 m>27.
二、含参数的不等式恒成立问题 对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有 以下几种： 1．变更主元法 根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范 围的变量要看作主元．
2．分离参数法 若 f(a)<g(x)恒成立，则 f(a)<g(x)min. 若 f(a)>g(x)恒成立，则 f(a)>g(x)max. 3．数形结合法 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象 直观化．
解 (1)把 a＝2 代入 f(x)＝x＋x＋a 1， 得 f(x)＝x＋x＋2 1＝(x＋1)＋x＋2 1－1. ∵x∈[0，＋∞)，∴x＋1>0，x＋2 1>0， ∴x＋1＋x＋2 1≥2 2. 当且仅当 x＋1＝x＋2 1，即 x＝ 2－1 时，f(x)取最小值． 此时，f(x)min＝2 2－1.
∴
(x2
－
x
＋
1)·3
－
6
＜
0
⇔
x2
－
x
－
1
＜
0
⇔
1－ 2
5＜x＜
1＋ 2
5，
∴x 的取值范围为{x1－2
5＜x＜1＋2
5 .
(2)解法一：∵f(x)＝mx－122＋34m－6<0， 在 x∈[1,3]上恒成立．
∴mfx>0m，ax＝f3＝7m－6<0
m<0， 或fxmax＝f1＝m－6<0
m＝0， 或fx＝－6<0，
3．二元一次不等式的平面区域的确定，首先是画出直 线(有虚实之分)，然后用特殊点，一般选择原点去验证，以 帮助选择直线的哪一侧．
4．简单线性规划问题的解法称为图解法，针对应用题 时，一定要正确地找到目标函数和线性约束条件，另外还应 注意最优解问题以及移动直线时在 y 轴上截距的正负与所 求线性目标函数的最值之间的关系．当目标函数的几何意义 为截距的正数倍时，截距最大时目标函数取最大值；而几何 意义为截距的负数倍时，截距最大时目标函数取最小值．
例 1 已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a，且不等式 f(x)>－2x 的解集为(1,3)．
(1)若方程 f(x)＋6a＝0 有两个相等的根，求 f(x)的解析 式；
(2)若 f(x)的最大值为正数，求 a 的取值范围．
解 (1)因为 f(x)＋2x>0 的解集为(1,3)， 设 f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且 a<0.
∞，－2－ 3)∪(－2＋ 3，0)．
例 2 已知方程 8x2－(m－1)x＋m－7＝0 有两实根． (1)如果两实根都大于 1，求实数 m 的取值范围； (2)如果两实根都在区间(1,3)内，求实数 m 取值的范围； (3)如果一根大于 2，另一根小于 2，求实数 m 的取值范 围．
解 (1)设函数 f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7，若两根均大
例 4 已知 f(x)＝x2＋2x＋2a－a2，若对任意 x∈[1，＋
∞)，f(x)>0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
解 设 g(x)＝x2＋2x.
∵f(x)>0，∴x2＋2x>a2－2A．
要使 f(x)>0 在[1，＋∞)上恒成立， 只需要 g(x)＝x2＋2x 在[1，＋∞)上的最小值大于 a2－ 2a 即可． ∵g(x)＝x2＋2x 在[1，＋∞)上是单调递增的， ∴g(x)min＝g(1)＝3. ∴a2－2a<3，解此一元二次不等式可得－1<a<3. ∴实数 a 的取值范围是(－1,3)．
7x－5y－23≤0，
例 5 已知 x，y 满足条件x＋7y－11≤0， 4x＋y＋10≥0.
求：(1)6x－5y 的最大值和最小值； (2)x2＋y2 的最大值和最小值．
解 作出可行域，如下图中的阴影部分(含边界)．
(1)设 z＝6x－5y，当 z＝0 时得直线 l：6x－5y＝0.由图 形可知当直线 l 平移至顶点 C，B 时 z 分别取最小值、最大 值．由4x＋x＋7yy＋ －1110＝＝00，， 得 C(－3,2)．
解得
6 m<7.
解法二：要使 f(x)＝m(x2－x＋1)－6<0 在[1,3]上恒成立， 则有 m<x2－6x＋1在 x∈[1,3]上恒成立． 而当 x∈[1,3]时， x2－6x＋1＝x－2162＋34≥9－63＋1＝67. ∴m<x2－6x＋1min＝67，∴m<67. ∴实数 m 的取值范围是－∞，67.
(2)当 0<a<1 时，f(x)＝x＋1＋x＋a 1－1， 若 x＋1＋x＋a 1≥2 a， 则当且仅当 x＋1＝x＋a 1时取等号， 此时 x＝ a－1<0(不合题意)， 因此，上式等号取不到． 设 x1>x2≥0，则
f(x1)－f(x2)＝x1＋x1＋a 1－x2－x2＋a 1 ＝(x1－x2)1－x1＋1ax2＋1， ∵x1>x2≥0，∴x1－x2>0，x1＋1>1，x2＋1≥1， ∴(x1＋1)(x2＋1)>1，而 0<a<1， ∴x1＋1ax2＋1<1，∴f(x1)－f(x2)>0， ∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∵x2－x＋1＞0，
∴m＜x2－6x＋1＞3⇔x2－x－1＜0⇔1－2
5＜x＜1＋2
5 .
∴x 的取值范围为{x1－2
5＜x＜1＋2
5 .
解法二：设 g(m)＝f(x)＝mx2－mx－6＋m＝(x2－x＋1)m －6.
由题意知 g(m)＜0 对 m∈[1,3]恒成立． ∵x2－x＋1＞0，∴g(m)是关于 m 的一次函数，且在[1,3] 上是单调增函数， ∴g(m)＜0 对 m∈[1,3]恒成立等价于 g(m)max＜0，即 g(3) ＜0.
由47xx＋ －y5＋y－102＝ 3＝0， 0， 得 B(－1，－6)． 所以 zmin＝6×(－3)－5×2＝－28， zmax＝6×(－1)－5×(－6)＝24.
(2)设 u＝x2＋y2，则 u 就是点(x，y)与原点之间的距离 的平方，由图可知，B 点到原点的距离最大，而当(x，y)在 原点时，距离最小，为 0.
f(x)＝4x＋29x(1<x<3)．
当 x>0 时，4x＋29x≥2 4x·29x＝2× 18＝6 2，
当且仅当 4x＝29x，即 x＝342时取等号．
又 x＝342∈A，∴f(x)的最小值为 6 2.
例 8 设函数 f(x)＝x＋x＋a 1，x∈[0，＋∞)． (1)当 a＝2 时，求函数 f(x)的最小值； (2)当 0<a<1 时，求函数 f(x)的最小值．
所以 umax＝(－1)2＋(－6)2＝37，umin＝0.
例 6 某企业生产 A，B 两种产品，生产每一吨产品所 需的劳动力、煤和电耗如下表：
产品品种 劳动力(个)
A 产品
3
B 产品
10
煤(吨) 9 4
电(千瓦) 4 5
已知生产每吨 A 产品的利润是 7 万元，生产每吨 B 产 品的利润是 12 万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力 300 个，煤 360 吨，并且供电局只能供电 200 千瓦，试问该企业 生产 A，B 两种产品各多少吨，才能获得最大利润？
四、利用基本不等式求最值 基本不等式通常用来求最值问题：一般用 a＋b≥2 ab (a>0，b>0)解“定积求和，和最小”问题，用 ab≤a＋2 b2 求“定和求积，积最大”问题．一定要注意适用的范围和 条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、 配凑、分离变量、减少变元等构造定值条件的方法，和对 等号能否成立的验证． 若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要 注意运用基本不等式解决实际问题．
1知识系统整合
2规律方法收藏
1.不等式的性质是不等式理论的基础，在应用不等式性 质进行论证时，要注意每个性质的条件，不要盲目乱用或 错用性质，特别是乘法性质容易出错，要在记忆基础上加 强训练，提高应用的灵活性．
2．一元二次不等式的解法是根据一元二次方程的根与 二次函数图象求解的，在求解含参数的一元二次不等式时， 要注意相应方程根的情况的讨论．
因而 f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3A．①
由方程 f(x)＋6a＝0 得 ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.② 因为方程②有两个相等的根，所以 Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0， 即 5a2－4a－1＝0.解得 a＝1 或 a＝－15. 由于 a<0，舍去 a＝1.
例 3 已知函数 f(x)＝mx2－mx－6＋m， (1)若对于 m∈[1,3]，f(x)＜0 恒成立，求实数 x 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<0 恒成立，求实数 m 的取值范 围．
解 (1)解法一：f(x)＜0⇔mx2－mx－6＋m＜0⇔(x2－x
＋1)m－6＜0.
Δ＝m－12－32m－7≥0， 于 1，需fm11－6>10>，1，
m≥25或m≤9，
解得m∈R， m>17，
即 m≥25.
(2)若两根 x1，x2∈(1,3)，则
Δ≥0， f1>0，
f3>0， 1<m1－6 1<3，
m≥25或m≤9， 即mm∈<3R4，，
17<m<49，
所以 25≤m<34. (3)若一根大于 2，另一根小于 2，则 f(2)<0，即 27－
解 设分别生产 A，B 两种产品 x 吨，y 吨，利润为 z 万元，则
3x＋10y≤300， 9x＋4y≤360， 4x＋5y≤200， x≥0，y≥0，
z＝7x＋12y，
作出可行域，如图阴影所示．
当直线 7x＋12y＝0 向右上方平行移动时， 经过 M(20,24)时 z 取最大值． ∴该企业生产 A，B 两种产品分别为 20 吨和 24 吨时， 才能获得最大利润．
例 7 已 知 不 等 式 ax2 － 4x ＋ 3<0 的 解 集 为 A ＝ {x|1<x<b}．
(1)求 a，b 的值； (2)求函数 f(x)＝(a＋b)x＋b－9ax(x∈A)的最小值．
1＋b＝4a， 解 (1)由题意得1×b＝3a，
a>0，
解得ab＝＝13，.
(2)由(1)知 a＝1，b＝3，∴A＝{x|1<x<3}，
将 a＝－15代入①得 f(x)的解析式 f(x)＝－15x2－65x－35. (2)由 f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a ＝ax－1＋a2a2－a2＋4aa＋1. 又 a<0，可得 f(x)的最大值为－a2＋4aa＋1.
由－a2＋4aa＋1>0， a<0，
解得 a<－2－ 3或－2＋ 3<a<0. 故当 f(x)的最大值为正数时，实数 a 的取值范围是(－
三、线性规划问题填空题为主，命题模式是以 线性规划为载体，考查区域的划分、区域的面积，涉及区域 的最值问题，决策问题，整点问题，参数的取值范围问题．
解题的步骤： (1)在平面区域内作出可行域； (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数适当的变形； (3)确定最优解；在可行域内平行移动目标函数变形后 的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数，即可求出最大值 或最小值．
∴f(x)min＝f(0)＝A．
5．应用基本不等式求函数最值时，有三个条件：一是 a，b 为正；二是 a＋b 与 ab 有一个为定值；三是等号要取 到．这三个条件缺一不可，为了达到使用基本不等式的目的， 常常需要对函数式(代数式)进行通分、分解等变形，构造和 为定值或积为定值的模型．
3学科思想培养
一、不等式与函数、方程的有关问题 1．利用不等式的性质、不等式的证明方法、解不等式 等知识可以解决函数中的有关问题，主要体现在：利用不等 式求函数的定义域、值域、最值、证明单调性等． 2．利用函数、方程、不等式之间的关系，可解决一元 二次方程根的分布问题． 3．不等式与数列、三角的综合题经常出现在高考题中， 如比较数列中两项的大小、数列求和与不等式证明结合、利 用基本不等式求三角形面积的最值等．