高中人教B版必修第二册逆袭之路第四章4.1指数与指数函数小结

人教B 版（2019）必修第二册逆袭之路第四章4.1指数与指
数函数小结
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题 1．化简下列各式： （1）()
1
1
34
a
a --⎡⎤⋅⎢⎥⎣
⎦；（2）()2
31a a b b --⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭ 2．已知7
()1,()23
x f x x g x =
+=，在同一坐标系中作出这两个函数的图像. （1）估计它们交点的坐标，并验证；
（2）根据图像写出不等式()()f x g x <和()()f x g x 的解集. 3．已知01a <<
.
4．设()2x f x =，比较()()12f x f x 与()12f x x +的大小. 5．求下列各式的值：
（1）213264-⨯；（2）1
230.20.064-⨯. 6．化简下列各式：
（1）1
3
3
6827a b -
-⎛⎫ ⎪⎝⎭
；（2）0
3
3
2
2223b b b a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭. 7．将下列各题中的三个数按从小到大的顺序用不等号连接起来；
（1）2
2
3
411,3,33-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；（2）0 2.5
2.512,2.5,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 8．求下列函数的定义域和值域；
（1）1
2x y +=；（2
）y =（3
）y =.
9．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的
3
4
，写出存留污垢的百分比y 与漂洗次数x 的函数关系式，并求出若要使存留的污垢不超过原有的1%所要漂洗的最少次数. 10．已知a
是实数，比较2
和2
a a
-的大小.
11．设()x f x a =，其中0a >且1a ≠，比较
()()
122
f x f x +与122x x f +⎛⎫
⎪⎝⎭
的大小，
并证明.
参考答案
1．（1）1a -；（2）55a b -. 【解析】 【分析】
（1）运用的指数幂的运算公式直接求解即可； （2）运用的指数幂的运算公式直接求解即可； 【详解】
解：（1）()()()1
111343141a a a a a a ------⎡⎤⋅=⋅=⎢⎥⎣=⎦
；
（2）()()2
231
33255a a a b a b a b b b ----⎛⎫⋅⋅=⋅⋅= ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查了指数幂的运算法则，考查了数学运算能力. 2．（1）见解析；（2）[0,3]. 【分析】
（1）在同一直角坐标系内画出图像，根据函数的解析式进行验证即可； （2）由函数的图像直接写出不等式的解集. 【详解】
解：（1）图像如下.
函数7
()13
f x x =
+与()2x g x =的图像交点的坐标为(0,1),(3,8).
验证如下：07
(0)011,(0)213
f g =
⨯+===， ∴点(0,1)是函数()f x 与()g x 图像的一个交点；
37
(3)318,(3)283
f g =⨯+===,
∴点（3，8）是函数()f x 与()g x 图像的另一个交点.
（2）由图像知()()f x g x <的解集为(,0)(3,),()()f x g x -∞⋃+∞的解集为[0,3]. 【点睛】
本题考查了画函数图像，考查了根据函数图像解不等式问题，考查了数形结合思想. 3．
1233
a a -.
【分析】
把二次根式中被开方的式子进行配方，根据二次根式的性质，结合01a <<，化简即可. 【详解】
解：原式21
33a a ==-.01a <<，∴1233a a >，
1233
a a
=-.
【点睛】
本题考查了利用指数函数的单调性对二次根式进行化简，考查了数学运算能力. 4．()()()1212f x f x f x x =+. 【分析】
利用差比的方法，根据指数幂的运算法则，可以证明结论. 【详解】 解：
()2x f x =，
()()()121212121212222220x x x x x x x x f x f x f x x +++∴-+=⋅-=-=， ()()()1212f x f x f x x ∴=+.
【点睛】
本题考查了作差比较法，考查了指数幂的运算法则，考查了数学运算能力. 5．（1）8；（2）10.
【分析】
（1）根据指数幂的运算法则计算即可； （2）根据指数幂的运算法则计算即可. 【详解】
解：（1）()
221
1
61433
3
26422
2228---⨯=⨯=⨯==.
（2）()
1
12
2
323
3
0.4
0.20.0640.20.40.20.4100.04
---⨯=⨯=⨯=
=. 【点睛】
本题考查了指数幂的运算法则，考查了数学运算能力，把底数写成幂的形式是解题的关键. 6．（1）
2
32ab ；（2）318
a --. 【分析】
（1）根据指数幂的运算法则计算即可； （2）根据指数幂的运算法则计算即可. 【详解】
解：（1）原式()()
()()
113333312111263
63
3
822332
273a a a ab b b b ---------=
=
==. （2）原式()3
3
3333633211(1)8882b b b b a a a a a a ----⎛⎫
=⋅-=⋅-⋅=-=- ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查了指数幂的运算法则，考查了数学运算能力，把8，
27写成幂的形式是解题的关键. 7．（1）2
2
3
411333-⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
‘；（2） 2.5
0 2.512522⎛⎫<< ⎪⎝⎭.
【分析】
（1）把指数式都成同底数的形式，利用指数函数的单调性判断出大小； （2）利用指数函数的单调性，运用中间值比较法，判断出三个数的大小关系. 【详解】
解：（1）2
2
23
23
113,333--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，且22
23
2443
11333,333--⎛⎫⎛⎫
<<∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
（2）
2.5
2.5
2.5
0 2.051121,251,01,25222⎛⎫
⎛⎫>=<<∴<< ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
.
【点睛】
本题考查了指数式的比较大小，考查了指数函数单调性的应用，属于基础题. 8．（1）定义域为R ，值域为(0,)+∞；（2）(,0]-∞，[0,1)；（3）[0,)+∞，[1,)+∞. 【分析】
（1）根据指数运算的性质求出函数的定义域和值域；
（2）根据二次根式被开方数非负性，结合指数函数的单调性求出函数的定义域，结合二次根式的性质和指数运算的性质求出函数的值域；
（3）根据二次根式被开方数非负性，结合指数函数的单调性求出函数的定义域，结合二次根式的性质和指数函数的单调性求出函数的值域； 【详解】 解：（1）1
2
x y +=的定义域为R ，值域为(0,)+∞.
（2）由120x -≥知0x ，故y =(,0]-∞；由0121x -<知
121x -<，故y =[0,1).
（3）y =[0,)+∞0知2
1x
，故y =[1,)+∞.
【点睛】
本题考查了指数型函数和复合函数的定义域和值域，考查了数学运算能力.
9．()*14x
y x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭
N ；所要漂洗的最少次数为4.
【分析】
根据题意可以写出留污垢的百分比y 与漂洗次数x 的函数关系式，利用特殊值法和指数函数的单调性求出次数. 【详解】
解：由题意知，每次存留的污垢是原有的
1
4
，所以存留污垢的百分比y 与漂洗次数x 的函数关系式为()*14x
y x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭
N .
若1%y ≤，则11%4x
⎛⎫ ⎪⎝⎭
.而34
111%,1%.44⎛⎫⎛⎫
>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以4x =.
即所要漂洗的最少次数为4. 【点睛】
本题考查了数学阅读能力，考查了数学建模能力，考查了指数函数的单调性，考查了数学运算能力.
10．当1a 2-<<时，2
2a a
-<；
当1a =-或2时，2
2a
a
-=；
当1a <-或2a >时，2
2a a
->.
【分析】
根据指数函数的单调性，结合两个式子的指数的大小关系进行分类讨论，最后比较出大小关系. 【详解】
解：
031<-<，∴函数x y =在R 上是减函数，
∴当22a a >-，即1a 2-<<时，2
2a a
-<；
当22a a =-，即1a =-或2时，2
2a
a
-=；
当22a a <-，即1a <-或2a >时，2
2a a
->.
【点睛】
本题考查了指数式的大小比较，考查了分类讨论思想，考查了指数函数的单调性，考查了数学运算能力. 11．
()()121222f x f x x x f ++⎛⎫
⎪⎝⎭
，证明见解析.
【分析】
利用作差比较法，结合函数的解析式，运用配方法，最后判断出大小关系. 【详解】
解：
()()121222f x f x x x f ++⎛⎫
⎪⎝⎭
，当且仅当12x x =时取“=”. 证明如下：
()x f x a =，
()()12
1212122,222x x x x f x f x x x a a f a
++++⎛⎫∴== ⎪⎝⎭
， ()()1212121222
22x x x x
f x f x x x a a f a ++++⎛⎫∴-
=
- ⎪⎝⎭12
1212
2
222
20
2
2
x x x
x x x a a a a a +⎛⎫- ⎪
+-⎝
⎭=
=
()()121222f x f x x x f ++⎛⎫
∴
⎪⎝⎭
，当且仅当12x x =时取“=”.
【点睛】
本题考查了指数式之间的比较大小，考查了配方法，考查了作差比较法，考查了数学运算能力.。