山东高二高中数学期中考试带答案解析

山东高二高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.不等式组的解集为（）
A．B．
C．D．
2.在等差数列中，已知，则该数列的前项和（）
A．B．C．D．
3.设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．不确定
4.关于的不等式的解集为，且，则（）
A．B．C．D．
5.设等比数列的前项和为，若，则（）
A．B．C．D．
6.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题：把个面包分成份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的倍，则最少的那份面包个数为（）A．B．C．D．
7.已知，则的最小值是（）
A．B．C．D．
8.公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则（）
A．B．C．D．
9.若的内角满足，则（）
A．B．C．D．
10.若数列的通项公式是，则（）
A．B．C．D．
11.在中，内角所对的边分别是，若，，则的面积是() A．B．C．D．
12.满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）
A．或B．2或C．2或1D．2或-1
二、填空题
1.若，则的最小值为__________.
2.设数列、都是等差数列，若，，则 .
3.若变量满足约束条件，则的最小值为__________．
4.已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围_________.
三、解答题
1.已知集合，集合.
（1）求集合；
（2）若，求的取值范围.
2.(本小题10分)
某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？最少是多少？
3.为数列的前项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
4.在中，角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，的面积为，求.
5.的内角的对边分别为，已知
(1)求；
(2)若，求面积的最大值.
6.数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
山东高二高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.不等式组的解集为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，又，则不等式组的解集为，选A.
2.在等差数列中，已知，则该数列的前项和（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在等差数列中，因为，则，该数列的前项和为
，选B.
3.设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．不确定
【答案】A
【解析】由于，所以，所以是直角三角形.
【考点】解三角形、正余弦定理．
4.关于的不等式的解集为，且，则（）A．B．C．D．
【答案】A
【解析】原不等式等价于，，所以不等式的解集为：，所以
，解得，故选A.
【考点】一元二次不等式
5.设等比数列的前项和为，若，则（）
A．B．C．D．
【解析】由于数列为等比数列，则称等比数列，因此，即
，得：，选C.
6.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题：把个面包分成份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的倍，则最少的那份面包个数为（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设五个人所分得的面包为，
则有，所以，
由，解得，所以，解得，所以最少的一份为，故选C.
【考点】等差数列的通项公式.
【方法点晴】本题主要考查了等差数列模型的实际应用，其中解答中涉及到等差数列的等差中项公式的应用、以及等差数列的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力和转化与化归思想的应用，本题的解答中要求学生灵活运用等差数列的通项公式进行化简求值，本题的突破点在于设出等差数列是关键，属于中档试题.
7.已知，则的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，（当且仅当时取等号），则，选D.
8.公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为,且,所以,因为公比,所以,
所以．故B正确．
【考点】1等比数列的通项公式,及性质;2对数的运算．
9.若的内角满足，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，由正弦定理可得，由余弦定理可得
，故选D.
10.若数列的通项公式是，则（）
A．B．C．D．
【解析】,选A.
11.在中，内角所对的边分别是，若，，则的面积是() A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，，又由余弦定理可知，所以，即，所以，故选C.
【考点】余弦定理；三角形的面积公式.
12.满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）
A．或B．2或C．2或1D．2或-1
【答案】D
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分ABC).
由得,即直线的截距最大,z也最大。

若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，
若a>0，目标函数y=ax+z的斜率k=a>0，要使z=y−ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=ax+z与直线2x−y+2=0平行，此时a=2，
若a<0，目标函数y=ax+z的斜率k=a<0，要使z=y−ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=ax+z与直线x+y−2=0，平行，此时a=−1，
综上a=−1或a=2，
故选：D.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.
二、填空题
1.若，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】由，可知，
所以，
当且仅当，即等号成立，所以的最小值为.
【考点】基本不等式求最值.
2.设数列、都是等差数列，若，，则 .
【答案】.
【解析】由于数列、都是等差数列，则数列也是等差数列，且是和的等差中项，故.
【考点】等差数列的性质
3.若变量满足约束条件，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】先画出二元一次不等式所表示的可行域，目标函数为截距形，，直线的截距越大，值越小，
可见最优解为，则的最小值为.
4.已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围_________.
【答案】
【解析】由题意可得，，即求的最大值
，所以当n=3时，，所以，填。

【点睛】
对于不等式恒成立的题型，我们常用分离参数的方法，如本题分离参数k，得，所以只需求
的最大值，而对于f(n)，我们采用作差的方法找到f(n)的单调区间，从而求到最大值。

三、解答题
1.已知集合，集合.
（1）求集合；
（2）若，求的取值范围.
【答案】(1) ,；（2）.
【解析】解分式不等式要先移项使一边为0，然后通分，根据分子与分母同号（或异号），转化为分子与分母的积
大于0（或小于0），化为一元二次不等式找出解集，有关集合的包含关系问题，可借助工具数轴，根据集合之间
的包含关系，列不等式后，解不等式组求出参数的范围，但要注意端点的等号是否可取.
试题解析：
（1）即,
即.
（2）.
【点睛】解分式不等式要先移项使一边为0，然后通分，根据分子与分母同号（或异号），转化为分子与分母的积
大于0（或小于0），化为一元二次（或高次）不等式找出解集；解一元二次不等式时，先把二次项系数化为正数，画开口向上的抛物线，根据判别式判断根的情况，有根则求根、标根，根据二次不等式的要求写出解集；有关集合的包含关系问题，可借助工具数轴，根据集合之间的包含关系，列不等式后，解不等式组求出参数的范围，但要注意端点的等号是否可取.
2.(本小题10分)
某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？最少是多少？
【答案】解：设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f(n)，设该车的年平均费用为S万元，则有
，
，
当且仅当，即时，等号成立.
∴这种汽车使用10年时它的年平均费用最少，年平均费用最少为3万元
【解析】略
3.为数列的前项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】(1)；（2）.
【解析】已知数列的递推关系中含有前n项和与第n项的关系，求数列的通项公式，一般分两步，第一步
n=1时，第二步，常用前n项和减去前n-1项和（两式相减）去处理，化为与的关系后，再求通项公式；关于裂项相消法求数列的和，关键是裂项时要注意系数，相消后要注意剩余的项不重不漏.
试题解析：
当时，，因为，所以，
当时，，
即，
因为，所以，
所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，且.
（2）由（1）知，，则数列前项和为
.
【点睛】数列的递推关系中为与的关系，求数列的通项公式，一般分两步，第一步n=1时，得出所表达的含义；第二步当时，常用两式相减去处理，化为与的关系后，再求通项公式；数列求和常用方法有错位
相减法、倒序相加法、裂项相消法、分组求和法等；关于裂项相消法求数列的和，关键是裂项时要注意系数，相消后要注意剩余的项要准确.
4.在中，角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，的面积为，求.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）利用两角差的余弦公式，化简已知条件得到，所以
；（2）由（1）知，求得，利用三角形的面积公式，有
，求得，由余弦定理，有化简得，联立方程组
解得或.
试题解析：
（1）由
知
即，又，
∴
（2）由及，知，
又，即，∴
由余弦定理，得
∴，∴或
【考点】解三角形，正余弦定理．
5.的内角的对边分别为，已知
(1)求；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由正弦定理及两角和的正弦公式,三角形内角和公式可得,进而得；(2)由余弦定理可得
,由基本不等式,得,代入三角形面积公式,可得三角形面积的最大值.
试题解析： (1)因为
所以由正弦定理得...........................2分
所以即.....................3分
因为，所以，又，解得...................5分；
(2)由余弦定理得，即...................6分
由不等式得，当且仅当时，取等号，所以，
解得...................8分
所以的面积为
所以面积的最大值为...................10分.
【考点】正,余弦定理及两角和的正弦公式；三角形内角和公式．
6.数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】(1)；（2）.
【解析】求数列的通项公式，首先要把递推关系进行变形，把陌生的数列转化成特殊数列，本题把数列化为等差数列，根据等差数列的通项公式求出通项，第二步先借助第一步的结论表示，由于符合利用错位相减法求和特征，因此利用错位相减法，求出数列的前n项的和.
试题解析：
（1）由已知可得，即，
所以是以为首项，1为公差的等差数列，
所以，即.
（2）由（1）知，从而，
①
②
①-②得：
所以.
【点睛】当数列的递推关系为第n项与第n+1项的关系时，把递推公式进行变形或构造，转化为特殊数列（等差数列或等比数列），然后根据等差数列或等比数列的公式求出所求数列的通项公式，数列求和常用方法有错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、分组求和法等.。