2020-2021学年陕西省西安市凌云中学高一数学理期末试题含解析

2020-2021学年陕西省西安市凌云中学高一数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. .设角则的值等于（）
A． B．－ C． D．
参考答案：
D
略
2. =
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
3. 直线的倾斜角是（）
（A）30°（B）120°（C）60°（D）150°
参考答案：
A
略
4. 设a，b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列命题：
①若②若
③若④若
其中正确命题的个数是 ( ）
A．0 B．1 C．2
D．3
参考答案：
B
5. （3分）以下关于几何体的三视图的讨论中，正确的是（）
A．球的三视图总是三个全等的圆
B．正方体的三视图总是三个全等的正方形
C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形
D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆
参考答案：
A
考点：简单空间图形的三视图．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：球的三视图总是三个全等的圆；正方体、水平放置的正四面体的三视图跟摆放有关；水平放置
的圆台的俯视图是两个同心圆．
解答：球的三视图总是三个全等的圆，正确；
正方体的三视图总是三个全等的正方形，不一定，跟摆放有关，故不正确；
水平放置的正四面体的三视图都是正三角形，不一定，跟摆放有关，故不正确；
水平放置的圆台的俯视图是两个同心圆，故不正确．
故选：A．
点评：本题考查简单空间图形的三视图，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
6. 函数y=f（x）在区间上的简图如图所示，则函数y=f（x）的解析式可以是（）
A．f（x）=sin（2x+）B．f（x）=sin（2x﹣） C．f（x）=sin（x+）D．f（x）=sin（x﹣）
参考答案：
B
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】计算题．
【分析】根据图象的最高点和最低点，得到A的值，根据半个周期的长度得到ω的值，写出解析
式，根据函数的图象过（）点，代入点的坐标，求出φ的值，写出解析式．
【解答】解：由图象知A=1，
∵=，
∴T=π，
∴ω=2，
∴函数的解析式是y=sin（2x+φ）
∵函数的图象过（）
∴0=sin（2×+φ）
∴φ=kπ﹣，
∴φ=∴函数的解析式是y=sin（2x﹣）
故选B．
【点评】本题考查由函数的图象求函数的解析式，本题解题的难点是求出解析式的初相，这里可以利用代入特殊点或五点对应法，本题是一个基础题．
7. 等差数列{a n}的前n项和为S n，已知，S2m﹣1=38，则m=（）
A．9 B．10 C．20 D．38
参考答案：
B
【考点】85：等差数列的前n项和．
【分析】根据等差数列的性质可知，第m﹣1项与第m+1项的和等于第m项的2倍，代入a m﹣1+a m+1﹣
a m2=0中，即可求出第m项的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出前2m﹣1项的和，利用等差数列的性质化为关于第m项的关系式，把第m项的值代入即可求出m的值．
【解答】解：根据等差数列的性质可得：a m﹣1+a m+1=2a m，
则a m﹣1+a m+1﹣a m2=a m（2﹣a m）=0，
解得：a m=0或a m=2，
又S2m﹣1==（2m﹣1）a m，
若a m=0，显然（2m﹣1）a m=38不成立，故应有a m=2
此时S2m﹣1=（2m﹣1）a m=4m﹣2=38，解得m=10
故选B．
8. 如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
参考答案：
D
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A中因为BD∥B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1∥D1A，所以
∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD=45°．
【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；
C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；
D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°
故选D
【点评】本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．
9. 若函数（其中为常数）的图象如右图所示，则函数
的大致图象是
参考答案：
D
10. 如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f（x）满足f（x﹣1）=2x+1，若f（a）=3a，则a= ．
参考答案：
3
【考点】函数的零点．
【专题】计算题；函数思想；换元法；函数的性质及应用．
【分析】利用函数的解析式列出方程求解即可．
【解答】解：函数f（x）满足f（x﹣1）=2x+1，f（a）=f（a+1﹣1）=3a，可得2（a+1）+1=3a，解得a=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查函数的解析式的应用，考查计算能力．
12. 计算
=
参考答案：
12
13. 如图，已知两个正方形和不在同一平面内，平面平面，分别为的中点，若两个正方形的顶点都在球上，且球的表面积为，则的长
为
参考答案：
14. 已知向量，，的起点相同且满足，则
的最大值为 ．
参考答案：
3
【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】可作作
=，
=，
=，根据条件可以得出OA=2，OB=
，AC⊥BC，从而说明点C
在以
AB 为直径的圆上，从而当OC 过圆心时，OC 最长，即||最大，设圆心为D ，从而根据OC=OD+DC
，由中线长定理，便可得出最大值．
【解答】解：如图，作
=，
=，
=
，则﹣=
，﹣=
，
∵（﹣）?（﹣）=0， ∴
⊥
，
∴AC⊥BC，
∴点C 在以AB 为直径的圆上，设圆心为D ，D 为AB 中点； 由AB=2；
∴圆半径为1；
∴当OC 过D 点时，OC 最大，即||最大， 由OD 为中点，由中线长定理，可得 （2OD ）2+AB 2=2（OA 2+OB 2）， 即有4OD 2+22=2[22+（）2]，
解得OD=2，
则OC 的最大值为2+1=3． 故答案为：3．
15. 已知幂函数
的图象过点
，则
______________.
参考答案：
略
16. 函数的最小正周期是___________。

参考答案：
，
17.
．
参考答案：
－1
原式等于
，故填：-1.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
参考答案：
解：（1）∵，，
∴，则，
∴.
（2）由，
.
19. 规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对实数x，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，进一步令f2(x)＝f1(g(x))．
(1)若x＝，分别求f1(x)和f2(x)；
(2)若f1(x)＝1，f2(x)＝3同时满足，求x的取值范围．
参考答案：
(1)当x＝时，4x＝，
∴f1(x)＝＝1，g(x)＝－＝，
∴f2(x)＝f1[g(x)]＝f1＝[3]＝3.
(2)由f1(x)＝[4x]＝1，得g(x)＝4x－1，于是f2(x)＝f1(4x－1)＝[16x－4]＝3.
∴
∴≤x<．
20. 已知正项数列{a n}，{b n}满足a1=3，a2=6，{b n}是等差数列，且对任意正整数n，都有
成等比数列．
（ I）求数列{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设，试比较2S n与的大小．
参考答案：
【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．
【分析】（I）利用正项数列{a n}，{b n}满足对任意正整数n，都有成等比数列，可得a n=b n b n+1，结合{b n}是等差数列，可求数列的公差，从而可求数列{b n}的通项公式；
（Ⅱ）确定数列{a n}的通项，利用裂项法求和，再作出比较，可得结论．
【解答】解：（I）∵正项数列{a n}，{b n}满足对任意正整数n，都有成等比数列，
∴a n=b n b n+1，
∵a1=3，a2=6，∴b1b2=3，b2b3=6
∵{b n}是等差数列，∴b1+b3=2b2，∴b1=，b2=
∴b n=；
（Ⅱ）a n=b n b n+1=，则=2（）
∴S n=2[（）+（）+…+（）]=1﹣
∴2S n=2﹣
∵=2﹣
∴2S n﹣（）=
∴当n=1，2时，2S n＜；当n≥3时，2S n＞．
21. 某工厂有甲、乙两生产车间，其污水瞬时排放量y（单位：m3/h ）关于时间t（单位：h）的关系均近似地满足函数y=Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其图象如下：
（Ⅰ）根据图象求函数解析式；
（II）由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂两车间任意时刻的污水排放量之和不超过5m3/h，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？
参考答案：
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】（Ⅰ）由图可得A，b，利用周期公式可求ω，将t=0，y=3，代入y=sin（t+φ）+2，结合范围0＜φ＜π，可求φ从而可求函数解析式．
（II）设乙车间至少比甲车间推迟m小时投产，据题意得cos[（t+m）]+2+cos（t）+2≤5，
化简可得﹣≤cos（m）≤，由m∈（0，6），可得范围2≤m≤4，即可得解．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）由图可得：A=（3﹣1）=1，…1分b=（3+1）=2，…2分
∵=6，
∴ω=，…3分
∴将t=0，y=3，代入y=sin（t+φ）+2，可得：sinφ=1，
又∵0＜φ＜π，
∴φ=，…5分
∴y=sin（t+）+2=cos（t）+2，
∴所求函数的解析式为y=cos（t）+2，（t≥0），…6分
（注：解析式写成y=sin（t+）+2，或未写t≥0不扣分）
（II）设乙车间至少比甲车间推迟m小时投产，…7分
根据题意可得：cos[（t+m）]+2+cos（t）+2≤5，…8分
∴cos（t）cos（m）﹣sin（t）sin（m）+cos（t）≤1，
∴[1+co s（m）]cos（t）﹣sin（t）sin（m）≤1，
∴≤1，
∴≤1，可得：2|cos（m）|≤1，…11分
∴﹣≤cos（m）≤，由m∈（0，6），可得：≤m≤，
∴2≤m≤4，
∴为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟2小时投产…12分
22. 两人相约在7点到8点在某地会面，先到者等候另一个人20分钟方可离去. 试求这两人能会面的概率？
参考答案：
.解：以X、Y分别表示两人到达时刻，建立直角坐标系如图：
则0≤X≤60，0≤Y≤60。

两人能会面的充要条件是|X-Y|≤20
∴P=
-----------------10分
略。