甘肃省庆阳市2022届数学高二下期末教学质量检测试题含解析

甘肃省庆阳市2022届数学高二(下)期末教学质量检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ）
A ．12E E ξξ<，12D D ξξ<
B ．12E E ξξ=，12D D ξξ>
C ．12E E ξξ=，12
D D ξξ< D ．12
E E ξξ>，12D D ξξ>
2．设2
a xdx =⎰
，则6
12ax x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的展开式中的常数项为（ ）
A ．20
B ．20-
C ．15-
D ．15
3．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，n n x y +能被x y +整除”，第二步归纳假 设应该写成（ ）
A ．假设当()n k k N *=∈时，k k x y +能被x y +整除
B ．假设当2()n k k N *=∈时，k k x y +能被x y +整除
C ．假设当21()n k k N *=+∈时，k k x y +能被x y +整除
D ．假设当21()n k k N *=-∈时，2121k k x y --+能被x y +整除
4．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点, 则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是（ ）
A ．１
B
C ．２
D ．5．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种
B ．20种
C ．25种
D ．32种
6．设函数()x f x xe =，则（ ） A ．1x =为()f x 的极大值点 B ．1x =为()f x 的极小值点 C ．1x =-为()f x 的极大值点
D ．1x =-为()f x 的极小值点
7．下列两个量之间的关系是相关关系的为（ ） A ．匀速直线运动的物体时间与位移的关系 B ．学生的成绩和体重
C ．路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少
D ．水的体积和重量 8．
()1
2x
e
x dx +⎰等于（ ）
A ．e
B ．1e -
C ．1
D ．1e + 9．正数a 、b 、c 、d 满足a d b c +=+，||||a d b c -<-，则（ ） A ．ad bc = B ．ad bc <
C ．>ad bc
D ．ad 与bc 的大小关系不定
10．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224
a b c
+-，则C =
A ．
π2
B ．
π3
C ．
π4
D ．
π6
11．已知函数()f x ，满足()y f x =-和(2)y f x =+均为偶函数，且(1)2
f π
=
，设()g x
()()f x f x =+-，则(2019)g =
A ．
2
π B ．
23
π C ．π
D ．
43
π 12．若不等式()()121311133
x x
a g x g ++-≥-对任意的(],1x ∈-∞恒成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．(],0-∞
B ．(],1-∞
C ．[)0,+∞
D ．[
)1,+∞
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．若二项式（x ﹣x
）n 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数为__．
14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M(如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为__________.
15．设一个回归方程为0.4 1.8y x =-，则当25x =时，y 的估计值是_______. 16．若2018
220180122018(31)
x a a x a x a x -=++++，则
2018
12
2
2018
333a a a +++
=_______. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．如图，在多面体PABCDE 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，//DE PA .
（1）证明：//CE 平面PAB ；
（2）若60ABC ∠=︒，2PA AB ==，当DE 长为多少时，平面PAC ⊥平面PCE .
18．已知抛物线2
:2(0)C y px p =>与椭圆22
14
3
x y +=有共同的焦点，
过点(1,0)M -的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点.
(Ⅰ)求抛物线C 的方程；
(Ⅱ)若·16MA MB =，求直线l 的方程.
19．（6分）从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则实验结束
(1)求第一次实验恰好摸到1个红球和1个白球的概率； (2)记实验次数为X ，求X 的分布列及数学期望． 20．（6分）已知1C 的极坐标方程为cos 14πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，M ,N 分别为1C 在直角坐标系中与x 轴，y 轴的交点．曲线2C 的参数方程为14x t t y t t ⎧
=-⎪⎪
⎨⎛⎫⎪=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩
（t 为参数，且0t >），P 为M ,N 的中点．
（1）将1C ，2C 化为普通方程；
（2）求直线OP （O 为坐标原点）被曲线2C 所截得弦长．
21．（6分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，APB ∆是以P ∠为直角的等腰直角三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ．
(1)证明：平面PAD ⊥平面PBC ；
(2) M 为直线PC 的中点，且2AP AD ==，求二面角A MD B --的余弦值. 22．（8分）已知函数()
()2
1+ax
x f x e
=
，（其中a R ∈,e 为自然对数的底数）.
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若12,x x 分别是()f x 的极大值点和极小值点，且12x x >，求证：()()1212f x f x x x +>+.
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】
分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】
1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，
()1409P ξ==
，()1129P ξ==，()1414
11999P ξ==--=， 故123E ξ=，2
2214144402199999
D ξ=⨯+⨯+⨯-=.
()22110323P ξ⨯===⨯，()22122
1323P ξ⨯⨯===⨯，
故223E ξ=，2
221242013399D ξ=⨯+⨯-=,
故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B . 【点睛】
离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别. 2．B 【解析】 【分析】
利用定积分的知识求解出a ，从而可列出展开式的通项，由620r -=求得3r =，代入通项公式求得常
2
20
21202a xdx x ===⎰ 66
112ax x x x ⎛⎫∴⎛⎫=- ⎪⎝ ⎪⎝⎭-⎭ 61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式通项公式为：()()66216611r
r r r r
r r T C x C x x --+⎛⎫=-=⋅- ⎪⎝⎭
令620r -=，解得：3r = ()3
3
46120T C ∴=⨯-=-，即常数项为：20-
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查二项式定理中的指定项系数的求解问题，涉及到简单的定积分的求解，关键是能够熟练掌握二项展开式的通项公式的形式. 3．D 【解析】
注意n 为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设．
解：根据数学归纳法的证明步骤，注意n 为奇数，所以第二步归纳假设应写成：假设n=2k-1（k ∈N *）正确，再推n=2k+1正确；故选D ．
本题是基础题，不仅注意第二步的假设，还要使n=2k-1能取到1，是解好本题的关键． 4．B 【解析】
1
'21y x x
=-
=，则1x =，即()1,1P ，
所以d ==B ． 5．D 【解析】
每个同学都有2种选择，根据乘法原理，不同的报名方法共有5232=种，应选D. 6．D 【解析】
试题分析：因为()x
f x xe =，所以()()()=+=+1,=0,x=-1x x x
f x e xe e
x f x 令得''．
又()()()()()
>0:>-1;<0<-1,--1-1+f x x f x x f x 由得由得：所以在，
，在，∞'∞'，所以1x =-为
()f x 的极小值点．
考点：利用导数研究函数的极值；导数的运算法则．
点评：极值点的导数为0 ，但导数为0的点不一定是极值点．
【分析】
根据相关关系以及函数关系的概念，逐项判断，即可得出结果. 【详解】
A 选项，匀速直线运动的物体时间与位移的关系是函数关系；
B 选项，成绩与体重之间不具有相关性；
C 选项，路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少是相关关系；
D 选项，水的体积与重量是函数关系. 故选C 【点睛】
本题主要考查变量间的相关关系，熟记概念即可，属于常考题型. 8．A 【解析】 试题分析：因为
()1
2100
2|=11x
x e
x dx e x e e +=++-=⎰（），故选A ．
考点：定积分的运算． 9．C 【解析】
因为a ，b ，c ，d 均为正数，又由a+d=b+c 得a 2+2ad+d 2=b 2+2bc+c 2 所以（a 2+d 2）﹣（b 2+c 2）=2bc ﹣2ad ．① 又因为|a ﹣d|＜|b ﹣c
可得a 2﹣2ad+d 2＜b 2﹣2bc+c 2，② 将①代入②
得2bc ﹣2ad ＜﹣2bc+2ad ， 即4bc ＜4ad ，所以ad ＞bc 故选C ． 10．C 【解析】
分析：利用面积公式1
2
ABC
S
absinC =
和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得。

详解：由题可知222
124
ABC
a b c S
absinC +-==
所以2222absinC a b c +-=
由余弦定理2222a b c abcosC +-= 所以sinC cosC =
()C 0,π∈
C 4
π
∴=
故选C.
点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。

11．C 【解析】
分析：根据函数的奇偶性和周期性求出()()201921g f =，然后即可得到答案 详解：由题意可得：()()f x f x -=
()()()222f x f x f x +=-+=- 故()()
4f x f x =+，周期为4 ()()()()()()()()2019?20192019331121?g f f f f f f f π=+-=+-=-+==
故选C
点睛：本题考查了函数的奇偶性和周期性，运用周期性进行化简，结合已知条件求出结果，本题的解题方法需要掌握。

12．B 【解析】 【分析】
不等式可整理为1212()()333
x x x
x
a +≤=+，然后转化为求函数y 12()()33x x =+在（﹣∞，1）上的最小值即可，利用单调性可求最值． 【详解】 不等式()()121311133
x x
a g
x g ++-≥-，
即不等式lg
()12133x x
a ++-≥lg3x ﹣
1，
∴
()1
12133
3
x x
x a -++-⋅≥，整理可得1212()()333
x x x
x a +≤=+，
∵y 1
2()()3
3
x
x
=+在（﹣∞，1）上单调递减，
∴x ∈（﹣∞，1），y 1
212
()()3
3
33
x
x
=++
=＞1， ∴要使原不等式恒成立，只需a ≤1，即a 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：B. 【点睛】
本题考查不等式恒成立问题、函数单调性，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．1120 【解析】 由题意可得：n=8. ∴通项公式3882
18
8((2)r r r
r r r
r T C x C x --+==-，
令3
82
r -
=2，解得r=4. ∴展开式中含x 2项的系数为44
8(2)C -.
故答案为：1120.
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 14．
112
【解析】 【分析】
由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积. 【详解】
由题意可得，底面四边形EFGH 的正方形，其面积2
122EFGH S ⎛== ⎝⎭
， 顶点M 到底面四边形EFGH 的距离为1
2
d =， 由四棱锥的体积公式可得：111132212
M EFGH V -=⨯⨯=. 【点睛】
本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15．8.1 【解析】
分析：直接利用回归方程，将25x =代入，即可求得y 的估计值．
详解：∵回归方程为0.4 1.8y x =-，
∴当25x =时，y 的估计值为 0.425 1.88.2y =⨯-=．
故答案为8.1．
点睛：本题考查回归方程的运用，考查学生的计算能力，属于基础题． 16．1- 【解析】 分析：由2018
220180122018(31)
x a a x a x a x -=++++，得展开式的每一项的系数为r a ，代入
2018
12
2
2018
333a a a +++
，即可求解. 详解：由题意2018
220180122018(31)
x a a x a x a x -=++++，
得展开式的每一项的系数为201820183(1)r r r
r a C -=⋅⋅-，
所以
1234
2018201812
201820182018201820182
2018
333
a a a C C C C C +++
=-+-+-
又由0
1
2
3
2018201820182018201820182018(11)0C C C C C -+-++=-=，且0
20181C =，
所以
1234
2018201812
201820182018201820182
2018
1333
a a a C C C C C +++
=-+-+-=-.
点睛：本题主要考查了二项式定理的应用，其中对二项展开式的灵活变形和恰当的赋值，以及熟练掌握二项式系数的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）证明见解析；（2）1 【解析】 【分析】
(1)先证明面//PAB 面CDE ，从而可得//CE 平面PAB .
（2）设BC 的中点为M ，以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x ，y ，
z 轴，建立坐标系，设()0DE λλ=>,
易知平面PAC 的法向量为()
m BD ==-，求出平面PCE 的法向量，根据法向量垂直可求解. 【详解】
证明：（1）：∵//AB CD ，CD ⊂面CDE ，AB ⊄面CDE ， ∴//AB 面CDE .
同理//PA 面CDE ，又AB PA A ⋂=，AB 面PAB ，AP ⊂面PAB ，
∴面//PAB 面CDE ，又CE ⊂面CDE ， ∴//CE 平面PAB .
（2）∵2PA AB ==，60ABC ∠=︒，∴AC AB =， 设BC 的中点为M ，连接AM ， 则AM BC ⊥.
以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系A xyz -.
则()002P ,
,，()3,1,0C ，()0,2,0D ，令()0
DE λλ=>，则()0,2,E λ，
()3,1,2PC =-，()3,1,CE λ=-.
设平面PCE 的法向量为()111,,n x y z =，则00
n PC n CE ⎧⋅=⎨
⋅=⎩，
即11111132030
x y z x y z λ⎧+-=⎪⎨-++=⎪⎩，令11y =，则()113222x z λλ⎧=⎪-⎪
⎨⎪=⎪-⎩， ∴()2,1,232n λλ⎛⎫
= ⎪ ⎪
--⎝⎭
. 易知平面PAC 的法向量为()
3,3,0m BD ==-， 当平面PAC ⊥平面PCE 时，()
()
2
31300232n m λλ⋅=⨯-+⨯+⨯=--，
解之得1λ=.
所以当1DE =时，平面PAC ⊥平面PCE .
【点睛】
本题考查线面平行的证明和根据面面垂直求线段的长度，属于中档题.
18． (Ⅰ) 抛物线C 的方程为24y x =;(Ⅱ)直线l 的方程为310x -+=或310x ++=. 【解析】
分析：(Ⅰ)由题意可知椭圆的焦点坐标为()()-1010，，，
,则12
p
=,抛物线C 的方程为24y x =. (Ⅱ)依题意,可设直线l 的方程为 ()()12221,,,x my A x y B x y =-，． 联立直线方程与抛物线方程可得
2440y my -+=, 结合韦达定理可得()()211221,1,4 4.MA MB x y x y m ⋅=+⋅+=+则24416m +=,解得
3m =l 的方程为310x +=或310x y ++=．
详解：(Ⅰ)因为椭圆22
143
x y +=的焦点坐标为()()-1010，
，，,。