2023-2024学年安徽省六安市舒城二中九年级(上)质检数学试卷(10月份)+答案解析

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列函数中，属于二次函数的是( )A. B. C.
D.
2.下列对二次函数的图象的描述，正确的是2024年安徽省六安市舒城二中九年级（上）质检数学试卷
（10月份）
( )
A. 开口向下
B. 对称轴是y 轴
C. 经过原点
D. 在对称轴右侧部分是下降的3.若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在( )A. 第一、二象限 B. 第一、三象限
C. 第二、三象限
D. 第二、四象限
4.将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，反比例函数的图象经过矩形OABC 的边AB 的中点D ，则矩形
OABC 的面积为( )A. 2B. 4C. 5D. 8
6.如图，已知一次函数
和反比例函数的图象相交于、两点，则不等式
的解集为
( )
A. 或
B.
C.
D.
或
7.在反比例函数图象上有三个点
、
、，若
，则下列结论
正确的是 A.
B. C. D.
8.如图，抛物线的对称轴是直线
，且经过点
，则
的值为
( )
A. 0
B.
C. 1
D. 2
9.在同一坐标系中，一次函数
与二次函数
的图象可能是( )
A. B. C. D.
10.已知函数，使成立时x 的值恰好只有3个，则a 的值为( )
A. B. 0 C. 1 D. 2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

11.函数是二次函数，则______.
12.若函数的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为_________.
13.如图，在中，，，，点P从点A开始
沿AB向B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以的速度移
动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当的面积为最大时，运动时间t为______
14.已知二次函数的图象如图所示，下列结论：
①；
②；
③；
④；
⑤，的实数
其中正确的结论有______写出序号
三、解答题：本题共9小题，共90分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.本小题8分
已知函数和函数的图象都经过点
求m、k的值；求两图象的另一交点.
16.本小题8分
在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴分别交于A，B两点，且点A在点B的左边，与y
轴交于C点.
用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴；
画出这条抛物线，并求出抛物线与x轴的交点坐标.
17.本小题8分
如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，其中，
求抛物线的解析式；
当二次函数值小于一次函数值时，直接写出x的取值范围.
18.本小题8分
如图，已知点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足是C，一次函
数的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点
求点A的坐标；
若四边形ABOC的面积是3，求一次函数的表达式．
19.本小题10分
已知反比例函数为常数，的图象经过点
求这个函数的解析式；
判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由；
当时，求y的取值范围．
20.本小题10分
株洲五桥主桥主孔为拱梁钢构组合体系如图，小明暑假旅游时，来到五桥观光，发现拱梁的路面部分
有均匀排列着9根支柱，他回家上网查到了拱梁是抛物线，其跨度为20米，拱高中柱米，于是他建立如图2的坐标系，发现可以将余下的8根支柱的高度都算出来了，请你求出中柱左边第二根支柱CD的高度.
21.本小题12分
如图，某市一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是16m，宽是6m，隧道顶距地面
求出隧道上部抛物线的解析式；
现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4m，车载大型设备的顶站与路面的距离均为7m，它能否完全通过这个隧道？请说明理由.
如果该隧道内设双行道，那么这辆运货汽车沿隧道中线右侧行驶能否完全通过这个隧道？说明理由.
22.本小题12分
某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时为正整数，月销售利润为y元．
求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
23.本小题14分
已知抛物线经过、、三点，直线l是抛物线的对称轴．求抛物线的函数关系式；
设点P是直线l上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、函数是一次函数，故本选项错误；
B 、由原方程，得，属于一次函数，故本选项错误；
C、函数符合二次函数的定义；故本选项正确；
D、不是整式；故本选项错误．
故选：
二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数．二次函数可以表示为不为
本题考查了二次函数的定义．二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
A、由，可得出抛物线开口向上，选项A不正确；
B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线，选项B不正确；
C、代入求出y值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确；
D、由及抛物线对称轴为直线，利用二次函数的性质，可得出当时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．
综上即可得出结论．
【解答】
解：A、，
抛物线开口向上，选项A不正确；
B、，
抛物线的对称轴为直线，选项B不正确；
C、当时，，
抛物线经过原点，选项C正确；
D、，抛物线的对称轴为直线，
当时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．
故选：
3.【答案】D
【解析】解：点在第四象限，则该反比例函数的图象的两个分支在第二、四象限．
故选
根据反比例函数图象在第一、三象限或在第二、四象限，根据所在象限即可作出判断．
本题考查了反比例函数的性质和图象．
4.【答案】D
【解析】解：抛物线的顶点坐标为，把点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得
到对应点的坐标为，所以平移后的抛物线解析式为
故选：
先得到抛物线的顶点坐标，再根据点平移的规律得到点平移后的对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
5.【答案】B
【解析】解：，
是AB的中点，
矩形的面积
故选：
由反比例函数的系数k的几何意义可知：，然后可求得的值，从而可求得矩形OABC 的面积．
本题主要考查的是反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：观察函数图象，发现当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
不等式的解集是或
故选
根据一次函数图象与反比例函数图象的位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
本题考查反比例函数与一次函数综合．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、反比例函数的增减性是解题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答．
【解答】
解：在反比例函数图象上，，
，
对于反比例函数，在第四象限，y随x的增大而增大，
，
，
故选
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质，属于基础题．
由“对称轴是直线，且经过点”可知抛物线与x轴的另一个交点是，代入抛物线方程即可解得．
【解答】
解：因为对称轴且经过点，
所以抛物线与x轴的另一个交点是，
将代入抛物线解析式中，得
故选：
9.【答案】C
【解析】【分析】
根据分和两种情况讨论，找到符合条件的图象选项即可.
此题主要考查了二次函数和一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．
【解答】
解：当时，二次函数顶点在y轴负半轴，开口向上，一次函数经过一、二、四象限；
当时，二次函数顶点在y轴正半轴，开口向上，一次函数经过一、二、三象限．
故选：
10.【答案】D
【解析】解：函数的图象如图：
根据图象知道当时，对应成立的x值恰好有三个，
故选：
首先在坐标系中画出已知函数的图象，利用数形结合的方法即可找到使成
立的x值恰好有3个的a值．
此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
11.【答案】2
【解析】解：由题意得：，
解得，
，
整理得，，
解得，，，
综上所述，
故答案为
根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程，求出m的值即可．
本题考查二次函数的定义，要注意二次项系数不等于
12.【答案】
【解析】解：函数的图象与x轴有且只有一个交点，
，
解得：
故答案为：
由抛物线与x轴只有一个交点，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当时，抛物线与x轴有1个交点”是解题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：根据题意得三角形面积为：
，
由以上函数图象知
当时，的面积最大为
本题考查二次函数最大小值的求法．先用含t的代数式表示出PB、QB再根据三角形的面积公式计算．
求二次函数的最大小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如，等用配方法求解比较简单．
14.【答案】③④⑤
【解析】解：由图象可得：
抛物线开口向下，
，
图象与y轴交于正半轴，，
，，
；故①错误；
②时，即，
，故②错误；
③时，即，故③正确；
④，
，
时，，
，
，故④正确；
⑤由图象可得当时，函数取得最大值，即，
当时，，
，
，故⑤正确．
所以正确的有：③④⑤．
故答案为：③④⑤．
直接根据二次函数的图象与系数的关系及性质进行求解即可．
本题主要考查二次函数的图象跟性质，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系及性质是解题的关键．
15.【答案】解：把代入，得，分
把代入，得
；分
由知，
，分
，
两图象的另一交点坐标为分
【解析】将点代入可求出m的值，然后再代入可求出k的值．将求得的两个解析式联立解方程可得出另外一个交点．
本题考查了待定系数法的使用，这是数学中很重要的一种解题思想，要注意掌握．
16.【答案】解：，
故抛物线的顶点坐标为，对称轴；
列表：
x01234
y0
描点，连线得到如图：
令得，，
，，
故抛物线与x轴的交点坐标和
【解析】按照配方法把化为，即可求出顶点坐标和对称轴；
列表、描点、连线画出该函数的图象，由即可求得抛物线与x轴的交点坐标．
本题考查二次函数的图象与性质以及与坐标轴的交点，解题的关键是熟记二次函数的性质．
17.【答案】解：依题意得：，
解之得：，
抛物线解析式为；
抛物线的对称轴为直线，，
点B的坐标是，
由图象观察可知，当或时，二次函数值小于一次函数值．
【解析】先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；
利用二次函数的对称性求得点B的坐标，由图象观察可知，二次函数值小于一次函数值时，得出x的取值范围．
此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和结合图象比较函数大小关系等知识，利用函数图象比较函数的大小关系是难点．
18.【答案】解：点A在反比例函数的图象上，轴，，
，
，
点A的坐标为；
四边形ABOC的面积是3，
，
解得，
点B的坐标为，
依题意有，
解得
故一次函数的表达式为
【解析】根据反比例函数k值的几何意义可求点A的坐标；
根据梯形的面积公式可求点B的坐标，再根据待定系数法可求一次函数的表达式．
考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是熟练掌握反比例函数k值的几何意义、梯形的面积、待定系数法求一次函数解析式．
19.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
把点A的坐标代入解析式，得，
解得
这个函数解析式为
分别把点B，C的坐标代入，
可知点B的坐标不满足函数解析式，点C的坐标满足函数解析式，
点B不在这个函数的图象上，点C在这个函数的图象上．
当时，，当时，，
又由知，在时，y随x的增大而减小，
当时，
【解析】把点A的坐标代入已知函数解析式，通过方程即可求得k的值．
只要把点B、C的坐标分别代入函数解析式，横纵坐标坐标之积等于6时，即该点在函数图象上；
根据反比例函数图象的增减性解答问题．
本题考查了反比例函数图象的性质、待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征．用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．
20.【答案】解：根据题目条件B的坐标是，
设抛物线的解析式为，
将B的坐标代入，
得
解得：
所以抛物线的表达式
可设中柱右边第二根支柱底端点的坐标为，于是
，
中柱右边第二根支柱的高度是：米
答：中柱左边第二根支柱CD的高度为米．
【解析】根据题目可知B的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解，设中柱右边第二根支柱底端点的坐标为可求出支柱的长度．
此题主要考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
21.【答案】解：根据题意得，，，
设抛物线的解析式为，把代入，
解得：
抛物线的解析式为；
货运汽车能完全通过这个隧道．理由如下：
根据题意，把代入解析式，
得
，
货运汽车能通过；
货运汽车能完全通过这个隧道．理由如下：
根据题意，把代入解析式，
得
，
货运汽车能通过．
【解析】根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的解析式为，再由条件求出a 的值即可；
令，求出纵坐标与7m作比较即可；
隧道内设双行道后，求出纵坐标与7m作比较即可．
本题考查了二次函数的应用，求抛物线解析式可以使用一般式，顶点式或者交点式，因条件而定．运用二
次函数解题时，可以给自变量或者函数一个特殊值，求函数自变量的值，解答题目的问题．
22.【答案】解：根据题意得：
，
自变量x的取值范围是：且x为正整数；
当时，得，
解得，不合题意，舍去
当时，元
答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．
根据题意得：
，
，
当时，y有最大值为，
且x为正整数，
当时，，元，
当时，，元，
答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
【解析】根据题意知一件玩具的利润为元，月销售量为，然后根据月销售利润=一件玩具的利润月销售量即可求出函数关系式．
把时代入中，求出x的值即可．
把化成顶点式，求得当时，y有最大值，再根据且x为正
整数，分别计算出当和时y的值即可．
本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．
23.【答案】解：将、、代入抛物线中，得：
，
解得：
抛物线的解析式：
连接BC，直线BC与直线l的交点为P，连接AC，AP，此时的周长最小；
设直线BC的解析式为，
将，代入上式，
得：，
解得：，
直线BC的函数关系式；
当时，，即P的坐标
，，，
【解析】解：见答案；
见答案；
抛物线的对称轴为直线，设，已知、，则：
，，；
①若，则，得：
，得：；
②若，则，得：
，得：；
③若，则，得：
，得：，；
当时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的点有4个，，，，
该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．
直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．
由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若
连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．
由于的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①；②；③，可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示的三边长，再按上面的三种情况列式求解．。