高2021届高2018级步步高苏教版一轮复习第九章第6节双曲线

⾼2021届⾼2018级步步⾼苏教版⼀轮复习第九章第6节双曲线
第6节双曲线
最新考纲了解双曲线的定义、⼏何图形和标准⽅程,知道其简单的⼏何性质(范围、对称性、顶点、离⼼率、渐近线
).
知识梳理
1.双曲线的定义
平⾯内与两个定点F1,F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(⼩于|F1F2|且⼤于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式:集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c为常数且
a>0,c>0:
(1)若a
(2)若a＝c,则集合P为两条射线;
(3)若a>c,则集合P为空集.
2.双曲线的标准⽅程和⼏何性质
标准⽅程x2
a2－
y2
b2＝1
(a>0,b>0)
y2
a2－
x2
b2＝1
(a>0,b>0)
图形
性质
范围x≥a或x≤－a,y∈R x∈R,y≤－a或y≥a
对称性对称轴:坐标轴;对称中⼼:原点
顶点A1(－a,0),A2(a,0)A1(0,－a),A2(0,a)
渐近线y＝±
b
a x y＝±
a
b x
离⼼率e＝
c
a,e∈(1,＋∞)
实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长度|A1A2|＝2a;线段B1B2
叫做双曲线的虚轴,它的长度|B1B2|＝2b;a叫做双曲线的实半
轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
a,b,c的关系c2＝a2＋b2
[微点提醒]
1.过双曲线的⼀个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2 a.
2.离⼼率e＝c
a＝a2＋b2
a＝1＋
b2
a2.
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直,离⼼率等于 2.
基础⾃测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平⾯内到点F1(0,4),F2(0,－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()
(2)平⾯内到点F1(0,4),F2(0,－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()
(3)⽅程x2
m－
y2
n＝1(mn>0)表⽰焦点在x轴上的双曲线.()
(4)双曲线x2
m2－
y2
n2＝λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线⽅程是
x
m±
y
n＝0.()
(5)若双曲线x2
a2－
y2
b2＝1(a>0,b>0)与
x2
b2－
y2
a2＝1(a>0,b>0)的离⼼率分别是e1,e2,则
1
e21＋
1
e22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).()
解析(1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|,表⽰的轨迹为两条射线.
(2)由双曲线的定义知,应为双曲线的⼀⽀,⽽⾮双曲线的全部.
(3)当m＞0,n＞0时表⽰焦点在x轴上的双曲线,⽽m＜0,n＜0时则表⽰焦点在y轴上的双曲线.
答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√
2.(选修2－1P62A6改编)经过点A(3,－1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线⽅程为________________.
解析设双曲线⽅程为:x2－y2＝λ(λ≠0),把点A(3,－1)代⼊,得λ＝8,故所求双曲线
⽅程为x 28－y 2
8＝1.
答案 x 28－y 2
8＝1
3.(选修2－1P61A1改编)已知双曲线x 2
－y 2
16＝1上⼀点P 到它的⼀个焦点的距离
等于4,那么点P 到另⼀个焦点的距离等于________.
解析设双曲线的焦点为F 1,F 2,|PF 1|＝4,则||PF 1|－|PF 2||＝2,故|PF 2|＝6或2,⼜双曲线上的点到焦点的距离的最⼩值为c －a ＝17－1,故|PF 2|＝6. 答案 6
4.(2018·浙江卷)双曲线x 23－y 2
＝1的焦点坐标是( ) A.(－2,0),(2,0) B.(－2,0),(2,0) C.(0,－2),(0,2) D.(0,－2),(0,2)
解析由题可知双曲线的焦点在x 轴上,⼜c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4,所以c ＝2,故焦点坐标为(－2,0),(2,0). 答案 B
5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的⼀条渐近线⽅程为y ＝35x ,则a ＝________.
解析由题意可得3a ＝3
5,所以a ＝5. 答案 5
6.(2018·北京卷)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离⼼率为5
2,则a ＝________. 解析由题意可得,a 2＋4a 2＝? ????522
,即a 2＝16,⼜a >0,所以a ＝4.
考点⼀双曲线的定义及应⽤
【例1】 (1)已知F 1,F 2为双曲线C :x 2－y 2＝2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|＝2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2＝( )
A.14
B.35
C.34
D.45
(2)(2019·西安调研)已知圆C 1:(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2:(x －3)2＋y 2＝9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切,则动圆圆⼼M 的轨迹⽅程为____________.
解析 (1)由x 2－y 2＝2,知a ＝b ＝2,c ＝2.由双曲线定义知,|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22,⼜|PF 1|＝2|PF 2|,
∴|PF 1|＝42,|PF 2|＝22,
在△PF 1F 2中,|F 1F 2|＝2c ＝4,由余弦定理,得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1
|·|PF 2
|
＝34.
(2)如图所⽰,设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .
根据两圆外切的条件, 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |, |MC 2|－|BC 2|＝|MB |, 因为|MA |＝|MB |,
所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|, 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2,
所以点M 到两定点C 1,C 2的距离的差是常数且⼩于|C 1C 2|＝6.
⼜根据双曲线的定义,得动点M 的轨迹为双曲线的左⽀(点M 与C 2的距离⼤,与C 1的距离⼩),
其中a ＝1,c ＝3,则b 2＝8.
故点M 的轨迹⽅程为x 2
－y 2
8＝1(x ≤－1).
答案 (1)C (2)x 2
－y 28＝1(x ≤－1)
规律⽅法 1.利⽤双曲线的定义判定平⾯内动点的轨迹是否为双曲线,进⽽根据要求可求出曲线⽅程;
2.在“焦点三⾓形”中,常利⽤正弦定理、余弦定理,经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ,运⽤平⽅的⽅法,建⽴与|PF 1|,|PF 2|的联系.【训练1】 (1)(2018·赣南五校联考)已知双曲线C :x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0,b >0)的离⼼率为2,左、右焦点分别为F 1,F 2,点A 在双曲线C 上,若△AF 1F 2的周长为10a ,则△AF 1F 2的⾯积为( ) A.215a 2 B.15a 2 C.30a 2
D.15a 2
(2)(2019·长春质检)双曲线C 的渐近线⽅程为y ＝±233x ,⼀个焦点为F (0,－7),点A (2,0),点P 为双曲线第⼀象限内的点,则当点P 的位置变化时,△P AF 周长的最⼩值为( ) A.8
B.10
D.3＋317
解析 (1)由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右⽀上,由e ＝c
a ＝2,得c ＝2a ,∴△AF 1F 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ,⼜△AF 1F 2的周长为10a ,∴|AF 1|＋|AF 2|＝6a ,⼜∵|AF 1|－|AF 2|＝2a , ∴|AF 1|＝4a ,|AF 2|＝2a ,在△AF 1F 2中,|F 1F 2|＝4a , ∴cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|2
2|AF 1
|·|AF 2
|
＝（4a ）2＋（2a ）2－（4a ）22×4a ×2a
＝1
4.
⼜0<∠F 1AF <π,∴sin ∠F 1AF 2＝15
4,
∴S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×4a ×2a ×15
4＝15a 2.
(2)由已知得双曲线⽅程为y 24－x 2
3＝1,设双曲线的另⼀个焦点为F ′,则|PF |＝|PF ′|＋4,△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3,当F ′,P ,A 三点共线时,|PF ′|＋|P A |有最⼩值,为|AF ′|＝3,故△P AF 的周长的最⼩值为10. 答案 (1)B (2)B
考点⼆双曲线的标准⽅程
【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C :x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0,b >0)的⼀条渐近线⽅程
为y ＝52x ,且与椭圆x 212＋y 2
3＝1有公共焦点,则C 的⽅程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1
(2)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0,b >0)的离⼼率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点.设A ,B 到双曲线的同⼀条渐近线的距离分别为d 1和d 2,且d 1＋d 2＝6,则双曲线的⽅程为( ) A.x 24－y 2
12＝1 B.x 212－y 2
4＝1 C.x 23－y 2
9＝1
D.x 29－y 2
3＝1
解析 (1)由题设知b a ＝5
2
,①
⼜由椭圆x 212＋y 2
3＝1与双曲线有公共焦点, 易知a 2＋b 2＝c 2＝9,②
由①②解得a ＝2,b ＝5,则双曲线C 的⽅程为x 24－y 2
5＝1.
(2)由d 1＋d 2＝6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b ＝3.因为双曲线x 2
a
2－
y 2b 2＝1(a >0,b >0)的离⼼率为2,所以c a ＝2,所以a 2＋b 2a 2＝4,所以a 2＋9a
2＝4,解得a 2
＝3,所以双曲线的⽅程为x 23－y 2
9＝1. 答案 (1)B (2)C
规律⽅法 1.利⽤待定系数法求双曲线标准⽅程的关键是:设出双曲线⽅程的标准形式,根据已知条件,列出关于参数a ,b ,c 的⽅程并求出a ,b ,c 的值.
2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线⽅程为x 2a 2－y 2
b 2＝λ(λ≠0).
【训练2】 (1)(2018·海南⼆模)已知双曲线C :x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0,b >0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴的⼀个端点组成⼀个等边三⾓形,则双曲线C 的标准⽅程是( ) A.x 212
－y 2
＝1
B.x 29－y 2
3＝1
C.x 2
－y 2
3＝1
D.x 223－y 2
32
＝1 (2)已知双曲线的渐近线⽅程为2x ±3y ＝0,且双曲线经过点P (6,2),则双曲线的⽅程为________________.
解析 (1)由双曲线C :x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0,b >0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴
的⼀个端点组成⼀个等边三⾓形,可得2a 2－3b 2＝1，b a ＝3，解得a ＝1，
b ＝3，
∴双曲线C 的标准⽅程是x 2
－y 2
3＝1.
(2)由双曲线的渐近线⽅程为y ＝±
23x ,可设双曲线⽅程为x 29－y 2
4＝λ(λ≠0).因为双曲
线过点P (6,2),所以69－44＝λ,λ＝－13,故所求双曲线⽅程为y 243
－x 2
3＝1.
答案 (1)C (2)y 243－x 2
3＝1
考点三双曲线的性质多维探究
⾓度1 求双曲线的渐近线
【例3－1】 (⼀题多解)(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0,b >0)的离⼼率为3,则其渐近线⽅程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22x
D.y ＝±3
2x
解析法⼀由题意知,e ＝c a ＝3,所以c ＝3a ,所以b ＝c 2－a 2＝2a ,即b
a ＝2,所以该双曲线的渐近线⽅程为y ＝±
b
a x ＝±2x . 法⼆由e ＝c
a ＝1＋? ??
b a 2
＝3,得b a ＝2,所以该双曲线的渐近线⽅程为y ＝±b a x ＝±2x . 答案 A
⾓度2 求双曲线的离⼼率
【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0,b >0)的左、右焦点,O 是坐标原点.过F 2作C 的⼀条渐近线的垂线,垂⾜为P .若|PF 1|＝6|OP |,则C 的离⼼率为( ) A. 5
B.2
C. 3
D. 2
(2)(2019·泰安联考)已知双曲线C 1:x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0),圆C 2:x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0,若双曲线C 1的⼀条渐近线与圆C 2有两个不同的交点,则双曲线C 1的离⼼率的取值范围是( ) A.? ????
1，
233 B.? ????
233，＋∞ C.(1,2)
D.(2,＋∞)
解析 (1)不妨设⼀条渐近线的⽅程为y ＝b a x ,则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |
a 2＋
b 2＝
b ,在Rt △F 2PO 中,|F 2O |＝
c ,所以|PO |＝a ,所以|PF 1|＝6a ,⼜|F 1O |＝c ,所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中,根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－
（6a ）2
2ac ＝－cos ∠POF 2＝
－a c ,则3a 2＋c 2－(6a )2＝0,得3a 2＝c 2,所以e ＝c
a ＝ 3.
(2)由双曲线⽅程可得其渐近线⽅程为y ＝±b a x ,即bx ±ay ＝0,圆C 2:x 2＋y 2
－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2,圆⼼C 2的坐标为(a ,0),半径r ＝1
2a ,由双曲线C 1的⼀条渐近线与圆C 2有两个不同的交点,得
|ab |a 2＋b
2<1
2a ,即c >2b ,即c 2>4b 2,⼜知b 2＝c 2－a 2,所以c 2>4(c 2－a 2),即c 2<43a 2,所以e ＝c a <23
3,⼜知e >1,所以双曲线C 1的离⼼率的取值范围为? ????
1，
233. 答案 (1)C (2)A
⾓度3 与双曲线有关的范围(最值)问题
【例3－3】已知M (x 0,y 0)是双曲线C :x 22－y 2
＝1上的⼀点,F 1,F 2是C 的两个焦点,
若MF 1→·MF 2→<0,则y 0的取值范围是( ) A.? ????
－33
，33
B.? ????
－36
，36
C.?
－
223，223 D.?
－
233，233 解析因为F 1(－3,0),F 2(3,0),x 202－y 20＝1,所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0,－y 0)·
(3－
x 0,－y 0)＝x 20＋y 20－3<0,即3y 2
－1<0,解得－33
规律⽅法 1.求双曲线离⼼率或其取值范围的⽅法 (1)求a ,b ,c 的值,由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2
a 2直接求e .
(2)列出含有a ,b ,c 的齐次⽅程(或不等式),借助于b 2＝c 2－a 2消去b ,然后转化成关于e 的⽅程(或不等式)求解.
2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接变换转化求解.
(2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
【训练3】 (1)在平⾯直⾓坐标系xOy 中,双曲线C :y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0,b >0)的⼀条渐近线与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切,则C 的离⼼率为( ) A.43
B.54
C.169
D.2516
(2)(2019·安阳⼆模)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 2
4－m ＝1,它的焦点到渐近
线的距离的取值范围是________.
解析 (1)双曲线C 的渐近线⽅程为by ±ax ＝0,结合图形易知与圆相切的只可能是by －ax ＝0,⼜圆⼼坐标为(2,1), 则
|b －2a |a 2＋b
2＝1,得3a ＝4b ,所以9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2),则e 2
＝2516, ⼜e >1,故e ＝5
4.
(2)对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0,b >0),它的⼀个焦点(
c ,0)到渐近线bx
－ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .本题中,双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2
m －4＝1,其焦点在x 轴上,则8－m >0，m －4>0，解得4
∈(0,2).
答案 (1)B (2)(0,2)
[思维升华]
已知双曲线的标准⽅程求双曲线的渐近线⽅程时,只要令双曲线的标准⽅程中“1”为“0”就得到两渐近线⽅程,即⽅程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0,b >0)的两条渐近线⽅程. [易错防范]
1.双曲线⽅程中c 2＝a 2＋b 2,说明双曲线⽅程中c 最⼤,解决双曲线问题时不要忽视了这个结论,不要与椭圆中的知识相混淆.
2.求双曲线离⼼率及其范围时,不要忽略了双曲线的离⼼率的取值范围是(1,＋∞)这个前提条件,否则很容易产⽣增解或扩⼤所求离⼼率的取值范围致错.
3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0,b >0)的渐近线⽅程是y ＝±
b a x ,y 2a 2－x 2
b 2＝1 (a >0,b >0)的渐近线
⽅程是y ＝±
a
b x . 4.直线与双曲线交于⼀点时,不⼀定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平⾏时,直线与双曲线相交于⼀点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有⼀个交点.
基础巩固题组 (建议⽤时:40分钟)
⼀、选择题
1.(2019·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的虚轴长为2,焦距为23,则双曲线的渐近线⽅程为( )
A.y ＝±
12x B.y ＝±2
2x C.y ＝±2x
D.y ＝±2x
解析因为2b ＝2,所以b ＝1,因为2c ＝23,所以c ＝3,所以a ＝c 2－b 2＝2,所以双曲线的渐近线⽅程为y ＝±b a x ＝±
2
2x . 答案 B
2.(2019·重庆九校联考)双曲线C :x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0,b >0)的⼀个焦点为F ,过点F 作双曲线C 的⼀条渐近线的垂线,垂⾜为A ,且交y 轴于B ,若A 为BF 的中点,则双曲线的离⼼率为( ) A. 2
B. 3
C.2
D.6
2
解析由题易知双曲线C 的⼀条渐近线与x 轴的夹⾓为π
4,故双曲线C 的离⼼率e ＝? ?
cos π4－1
＝ 2. 答案 A
3.(⼀题多解)(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的离⼼率为2,则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2
B.2
C.32
2
D.2 2
解析法⼀由离⼼率e ＝c
a ＝2,得c ＝2a ,⼜
b 2＝
c 2－a 2,得b ＝a ,所以双曲线C 的渐近线⽅程为y ＝±x .由点到直线的距离公式,得点(4,0)到C 的渐近线的距离为4
1＋1
＝2 2. 法⼆离⼼率e ＝2的双曲线是等轴双曲线,其渐近线⽅程是y ＝±x ,∴点(4,0)到C 的渐近线的距离为4
1＋1
＝2 2. 答案 D
4.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的离⼼率为3
2,过右焦点F 作渐近线的垂线,垂⾜为
M .若△FOM 的⾯积为5,其中O 为坐标原点,则双曲线的⽅程为( ) A.x 2
－4y 2
5＝1 B.x 22－2y 2
5＝1 C.x 24－y 2
5＝1
D.x 216－y 2
20＝1
解析由题意可知e ＝c a ＝32,可得b a ＝5
2,
取⼀条渐近线为y ＝b
a x ,
可得F 到渐近线y ＝b
a x 的距离d ＝
bc
a 2＋
b 2
＝b , 在Rt △FOM 中,由勾股定理可得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝c 2－b 2＝a ,由题意可得1
2ab ＝5,
联⽴b a ＝52，12ab ＝5，解得a ＝2，b ＝5，
所以双曲线的⽅程为x 24－y 2
5＝1. 答案 C
5.(2019·呼和浩特质检)已知F 2,F 1是双曲线y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0,b >0)的上、下两个焦点,过F 1的直线与双曲线的上下两⽀分别交于点B ,A ,若△ABF 2为等边三⾓形,则双曲线的渐近线⽅程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±2
2x C.y ＝±6x
D.y ＝±6
6x
解析根据双曲线的定义,可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ,
∵△ABF 2为等边三⾓形,∴|BF 2|＝|AB |,∴|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a ,⼜∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ,∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ,∵在△AF 1F 2中,|AF 1|＝2a ,|AF 2|＝4a ,∠F 1AF 2＝120°,∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos 120°,即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a ×? ??
－12＝28a 2,亦即c 2＝7a 2,则b ＝c 2－a 2＝6a 2＝6a ,由此可得双曲
线C 的渐近线⽅程为y ＝±6
6x .
答案 D ⼆、填空题
6.(2018·沈阳模拟)直线l :y ＝2x ＋10过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0,b >0)⼀个焦点且与其⼀条渐近线平⾏,则双曲线⽅程为________________. 解析由题意得⼀个焦点为F (－5,0),
c ＝5,b
a ＝2, ⼜a 2＋
b 2＝
c 2,所以a 2＝5,b 2＝20,
所以双曲线⽅程为x 25－y 2
20＝1.
答案 x 25－y 2
20＝1
7.设双曲线x 29－y 2
16＝1的右顶点为A ,右焦点为F .过点F 且平⾏于双曲线的⼀条渐近线的直线与双曲线交于点B ,则△AFB 的⾯积为________.解析 a 2＝9,b 2＝16,故c ＝5.
∴A (3,0),F (5,0),不妨设直线BF 的⽅程为y ＝4
3(x －5),
代⼊双曲线⽅程解得B ? ??
17
5，－3215.
∴S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12·2·
3215＝32
15.
答案 3215
8.已知双曲线C :x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点.P 是双曲线在第⼀象限上的点,直线PO ,PF 2分别交双曲线C 左、右⽀于M ,N .若|PF 1|＝2|PF 2|,且∠MF 2N ＝60°,则双曲线C 的离⼼率为________.
解析由题意,|PF 1|＝2|PF 2|,由双曲线的定义可得,|PF 1|－|PF 2|＝2a ,可得|PF 1|＝4a ,|PF 2|＝2a ,⼜|F 1O |＝|F 2O |,|PO |
＝|MO |,得四边形PF 1MF 2为平⾏四边形,⼜∠MF 2N ＝60°,可得∠F 1PF 2＝60°,在△PF 1F 2中,由余弦定理可得,4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a ·2a ·cos 60°,即4c 2＝20a 2－8a 2,c 2＝3a 2,可得c ＝3a ,所以e ＝c a ＝ 3. 答案
3
三、解答题
9.(2019·安徽江南⼗校联考)已知双曲线的中⼼在原点,焦点F 1,F 2在坐标轴上,离⼼
率为2,且过点P (4,－10). (1)求双曲线的⽅程;
(2)(⼀题多解)若点M (3,m )在双曲线上,求证:MF 1→·MF 2→
＝0. (1)解∵e ＝2,
∴可设双曲线的⽅程为x 2－y 2＝λ(λ≠0). ∵双曲线过点(4,－10),∴16－10＝λ,即λ＝6. ∴双曲线的⽅程为x 2
－y 2
＝6,即x 26－y 2
6
＝1.
(2)证明法⼀由(1)可知,a ＝b ＝6, ∴c ＝23,∴F 1(－23,0),F 2(23,0), ∴k MF 1＝m 3＋23,k MF 2＝m
3－23,
k MF 1·k MF 2＝m 29－12
＝－m 2
3.
∵点M (3,m )在双曲线上,∴9－m 2＝6,m 2＝3, 故k MF 1·k MF 2＝－1,∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→
＝0. 法⼆由(1)可知,a ＝b ＝6,∴c ＝23, ∴F 1(－23,0),F 2(23,0),
MF 1→＝(－23－3,－m ),MF 2
→＝(23－3,－m ), ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2, ∵点M (3,m )在双曲线上,∴9－m 2＝6,即m 2－3＝0,∴MF 1→·MF 2→＝0.
10.设A ,B 分别为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0,b >0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的⽅程;
(2)已知直线y ＝3
3x －2与双曲线的右⽀交于M ,N 两点,且在双曲线的右⽀上存在
点D ,使OM →＋ON →＝tOD →
,求t 的值及点D 的坐标. 解 (1)由题意知a ＝23,
∵⼀条渐近线为y ＝b
a x ,即bx －ay ＝0.
∴由焦点到渐近线的距离为3,得|bc |
b 2＋a 2＝ 3.
⼜∵c 2＝a 2＋b 2,∴b 2＝3, ∴双曲线的⽅程为x 212－y 2
3＝1.
(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),D (x 0,y 0),其中x 0≥2 3. ⼜OM →＋ON →＝tOD →,即(x 1,y 1)＋(x 2,y 2)＝t (x 0,y 0), 则x 1＋x 2＝tx 0,y 1＋y 2＝ty 0.
将直线⽅程y ＝33x －2代⼊双曲线⽅程x 212－y 2
3＝1得x 2－163x ＋84＝0,其中Δ＝(163)2－4×84>0,
则x 1＋x 2＝163,y 1＋y 2＝3
3(x 1＋x 2)－4＝12. ∴x 0y 0＝433，x 2012－y 2
03
＝1.解得x 0＝43，
y 0＝3.
∴t ＝4,点D 的坐标为(43,3).
能⼒提升题组 (建议⽤时:20分钟)
11.(2019·河南适应测试)已知F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0,b >0)的左、右焦
点,P 是双曲线上⼀点,若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ,且△PF 1F 2的最⼩内⾓为π
6,则双曲线的渐近线⽅程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±
12x C.y ＝±22x
D.y ＝±2x
解析不妨设P 为双曲线右⽀上⼀点,则|PF 1|>|PF 2|,由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ,⼜|PF 1|＋|PF 2|＝6a ,所以|PF 1|＝4a ,|PF 2|＝2a .⼜因为2c >2a ，
4a >2a ，所以∠PF 1F 2为
最⼩内⾓,故∠PF 1F 2＝π
6.
由余弦定理,可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c ＝32,即(3a －c )2
＝0,所以c ＝
3a ,则b ＝2a ,所以双曲线的渐近线⽅程为y ＝±2x . 答案 D
12.(2019·⼴东六校联考)已知点F 为双曲线E :x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0,b >0)的右焦点,直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ,N 两点,若MF ⊥NF ,设∠MNF ＝β,且β∈
π12，π6,则该双曲线的离⼼率的取值范围是( ) A.[2,2＋6] B.[2,3＋1] C.[2,2＋6]
D.[2,3＋1]
解析如图,设左焦点为F ′,连接MF ′,NF ′,令|MF |＝r 1,|MF ′|＝r 2,则|NF |＝|MF ′|＝r 2,由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①,∵点M 与点N 关于原点对称,且MF ⊥NF ,∴|OM |＝
|ON |＝|OF |＝c ,∴r 21＋r 22＝4c 2②,
由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2),⼜知S △MNF ＝2S △MOF , ∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β,∴c 2－a 2＝c 2·sin 2β,
∴e 2＝11－sin 2β,⼜∵β∈
π12，π6,∴sin 2β∈
12，32,∴e 2＝11－sin 2β∈[2,(3＋
1)2].
⼜e >1,∴e ∈[2,3＋1]. 答案 D
13.(2018·北京卷)已知椭圆M :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),双曲线N :x 2m 2－y 2
n 2＝1.若双曲线N 的
两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为⼀个正六边形的顶点,则椭圆M 的离⼼率为________;双曲线N 的离⼼率为________.
解析设椭圆的右焦点为F (c ,0),双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第⼀象限内的交点为A ,
由题意可知A ? ????
c 2，
3c 2,由点A 在椭圆M 上得,c 24a 2＋3c 24b 2＝1,∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2,∵b 2＝a 2－c 2,∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2),∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0,∴e 4椭－
8e 2
椭＋4＝0,∴e 2椭＝4±
23,∴e 椭＝3＋1(舍去)或 e 椭＝3－1,∴椭圆M 的离⼼率为3－1.∵双曲线的渐近线过点A ? ????
c 2，
3c 2,∴渐近线⽅程为y ＝3x ,∴n m ＝3,故双曲线的离⼼率e 双＝m 2＋n 2
m 2＝2.
答案
3－1 2
14.已知椭圆C 1的⽅程为x 24＋y 2
＝1,双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点,⽽C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的⽅程; (2)若直线l :y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ,且OA →·OB →＞2(其中
O 为原点),求k 的取值范围.
解 (1)设双曲线C 2的⽅程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0,b ＞0), 则a 2＝3,
c 2＝4,再由a 2＋b 2＝c 2,得b 2＝1. 故C 2的⽅程为x 23－y 2
＝1.
(2)将y ＝kx ＋2代⼊x 23－y 2
＝1, 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.
由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点,得
1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2
）＞0，∴k 2≠1
3且k 2＜1.①设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),
则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2,x 1x 2＝－9
1－3k 2.
∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)
＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2
＋7
3k 2－1
.
⼜∵OA →·OB →＞2,得x 1x 2＋y 1y 2
＞2, ∴3k 2＋73k 2－1＞2,即－3k 2＋93k 2－1＞0,解得13＜k 2＜3.②由①②得1
3＜k 2＜1,
故k 的取值范围为? ????－1，－33∪? ??
33，1.。