数学新课标高考一轮复习训练手册(理科) 第58讲《随机事件的概率与古典概型》人教A版必修3B

课时作业(五十八)B [第58讲 随机事件的概率与古典概型]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
1．在数学考试中，小明的成绩在90分及以上的概率是0.12，在80～89分的概率为0.55，在70～79分的概率为0.15，在60～69分的概率为0.08.则小明在数学考试中取得80分及以上成绩的概率与考试不及格(低于60分)的概率分别是( )
A ．0.90,0.10
B ．0.67,0.33
C ．0.67,0.10
D ．0.70,0.10
2．若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2
＋y 2＝16内的概率为( )
A.29
B.736
C.16
D.14
3．如图K58－1，三行三列的方阵有9个数a ij (i ＝1,2,3；j ＝1,2,3)，从中任取三个
数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( ) ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33
图K58－1
A.37
B.47
C.114
D.1314
4．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是( ) A.1564 B.15128 C.24125 D.48125 能力提升
5．将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次5点向上的概率是( )
A.5216
B.25216
C.31216
D.91216
6．将一枚质地均匀的硬币先后抛三次，恰好出现一次正面朝上的概率为( ) A.12 B.14 C.38 D.58
7．甲袋中有不可识别的m 个白球，n 个黑球，乙袋中有不可识别的n 个白球，m 个黑球(m ≠n )，现从两袋中各摸一个球．事件A ：“两球同色”，事件B ：“两球异色”，则P (A )与P (B )的大小为( )
A ．P (A )<P (
B )
B ．P (A )＝P (B )
C ．P (A )>P (B )
D ．视m 、n 大小确定
8．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1,2,3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为( )
A.151
B.168
C.1306
D.1408
9．以平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率P 为( )
A.367385
B.376385
C.192385
D.18385
10．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为________．(结果用分数表示)
11．[2010·浙江卷] 在如图K58－2所示的平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P ，Q ，M ，N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点．在A ，P ，M ，C 中任取一点
记为E ，在B ，Q ，N ，D 中任取一点记为F .设G 为满足向量OG →＝OE →＋OF →
的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外(不含边界)的概率为________．
12．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为________．
13．甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是________．
14．(10分)为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银
卡)．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中3
4是省外游客，
其余是省内游客．在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有2
3持银卡．
(1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；
(2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．
15．(13分)已知口袋中有大小相同的n个白球和m个红球，且2≤n≤m，从袋中任意取出两个球．
(1)当n＝3，m＝4时，求取出的两个球中至少有一个红球的概率；
(2)设取出的两球都是红球的概率为p1，取出的两球恰是1红1白的概率为p2，且p1＝2p2，求证：m＝4n＋1.
难点突破
16．(12分)[2011·重庆卷] 某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：
(1)恰有2人申请A片区房源的概率；
(2)申请的房源所在片区的个数X的分布列与期望．
课时作业(五十八)B
【基础热身】
1．C [解析] 取得80分及以上的概率为：0.12＋0.55＝0.67；不及格的概率为：1－0.67－0.15－0.08＝0.10.
2．A [解析] 基本事件的总数是36，点P 落在圆内的基本事件是(1,1)，(1,2)，
(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共8个，故所求的概率是836＝2
9.
3．D [解析] 从中任取三个数共有C 39＝84种取法，没有同行、同列的取法有C 13C 1
2
C 11＝6，至少有两个数位于同行或同列的概率是1－684＝13
14，选D.
4．A [解析] 将5本不同的书全发给4名同学共有45种发法，其中每名同学至少有
一本书的发法有C 25A 4
4，故每名同学至少有一本书的概率是P ＝C 25A 4445＝1564，选A. 【能力提升】
5．D [解析] 抛掷3次，共有6×6×6＝216个事件．一次也不出现5，则每次抛掷都有5种可能，故一次也未出现5的事件总数为5×5×5＝125.于是没有出现一次5点向
上的概率P ＝125216，所求的概率为1－125216＝91
216.
6．C [解析] 总事件数为8个，分别为：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，
正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．“恰好出现1次正面朝上”的事件为事件A ，包括(正，反，反)，(反，正，反)和(反，反，
正)3个．所以，所求事件的概率为3
8.
7．A [解析] 基本事件总数为(m ＋n )2，记事件A 为“两球同色”，则A 可分为“两
球皆白”与“两球皆黑”两个互斥事件，∴P (A )＝mn (m ＋n )2＋mn (m ＋n )2＝2mn
(m ＋n )2.而B 与A 是
对立事件，且m ≠n ，所以P (B )＝1－P (A )＝m 2＋n 2
(m ＋n )>P (A )．故选A.
8．B [解析] 基本事件总数为C 318＝17×16×3. 选出火炬手编号为a n ＝a 1＋3(n －1)，
a 1＝1时，由1,4,7,10,13,16可得4种选法； a 1＝2时，由2,5,8,11,14,17可得4种选法； a 1＝3时，由3,6,9,12,15,18可得4种选法．
所以P ＝4＋4＋417×16×3
＝1
68.
9．A [解析] 由平行六面体的八个顶点，共能作成的三角形有C 38＝56个，从中任意取出两个三角形的方法数为C 256，由于平行六面体共有六个面和六个对角面，且每一个面
上有四个顶点，从中任意取出三个点作成的三角形都是共面三角形，从而任取两个三角
形共面的情况有12C 2
4＝72个，即任意取出的两个三角形恰好共面的概率是P 1＝72C 256＝18385.
由于事件A ：“任意取出两个三角形不共面”与事件B ：“任意取出的两个三角形恰好共
面”是对立事件，故所求概率P ＝1－P 1＝367
385，选A.
10.119
190 [解析] 方法1：将事件“两人不属于同一个国家”分拆为下列基本事件：A ：“一中一法”，B ：“一中一美”；C ：“一美一法”，则A 、B 、C 互斥，
由P (A )＝C 14C 15C 220，P (B )＝C 111C 15C 220，P (C )＝C 111C 14
C 220
.
∴P ＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝
119
190
. 方法2：设事件A ：“两人不属于同一国家”的对立事件为A ：“两人同属一个国
家”，∵P (A )＝C 211＋C 24＋C 2
5
C 2
20
＝71190，
∴P (A )＝1－71190＝119
190.
11.3
4 [解析] 由于在A ，P ，M ，C 中任取一点记为E ，在B ，Q ，N ，D 中任取一点记为F ，所以构成的点G 组成的集合中的点有4×4＝16种．若点E 落在A 上，在B ，Q ，N ，D 中任取一点记为F ，向量OG →＝OE →＋OF →
点落在平行四边形ABCD 外的有4种，由对称性可知点E 落在C 上也有4种；若点E 落在P 上，在B ，Q ，N ，D 中任取一点记为F ，向量OG →＝OE →＋OF →
点落在平行四边形ABCD 外的有2种，由对称性可知点E 落在M 上也有2种．所以上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外(不含边界)的概率为4＋2＋2＋416
＝34. 12.
35
54
[解析] 从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除．所有的三位数有A 310－A 2
9＝648个，将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1,4,7}、被3除余2的有{2,5,8}，被3整除的有{0,3,6,9}，若要求所得的三位数被3整除，则可以进行如下分类：①三个数字均取第一组，或均取第二组，有2A 33
＝12个；②若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有A 34－A 2
3＝18个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有C 13·C 13·C 13·A 33＝162个；④若三组各
取一个数字，第三组中取0，有C 1
3·C 13·2·A 22＝36个．这样能被3整除的数共有228个，不
能被3整除的数有420个，所以概率为420648＝35
54.
13.13
15 [解析] 方法1：设事件A ：甲乙两人中至少有一人抽到选择题．将A 分拆为B ：“甲选乙判”，C ：“甲选乙选”，D ：“甲判乙选”三个互斥事件，则P (A )＝P (B )＋P (C )＋P (D )．
而P (B )＝C 16C 14C 110C 19，P (C )＝C 16C 15C 110C 19，P (D )＝C 14·C 16
C 110C 19
，
∴P (A )＝2490＋3090＋2490＝7890＝13
15.
方法2：设事件A ：甲乙两人中至少有一人抽到选择题，则其对立事件为A ：甲乙
两人均抽判断题．∴P (A )＝C 14C 13
C 110C 19
＝1290，∴P (A )＝1－1290＝7890＝1315.
故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为13
15.
14．[解答] (1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．
设事件A 为“采访该团2人，恰有1人持银卡”，
则P (A )＝C 16C 130
C 236
＝27，
所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是2
7.
(2)设事件B 为“采访该团2人，持金卡人数与持银卡人数相等”，可以分为： 事件B 1为“采访该团2人，持金卡0人，持银卡0人”，或事件B 2为“采访该团2
人，持金卡1人，持银卡1人”两种情况，则P (B )＝P (B 1)＋P (B 2)＝C 221C 236＋C 19C 1
6
C 236
＝44105，
所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是44
105.
15．[解答] (1)取出的两个球中恰有一个红球的概率为P 1＝C 14C 13
C 27＝47
，
取出的两个球中恰好有两个红球的概率为P 2＝C 24
C 27＝27，
所以取出的两个球中至少有一个红球的概率为
P ＝P 1＋P 2＝47＋27＝6
7
.
(2)证明：由已知得p 1＝C 2m C 2n ＋m ，p 2＝C 1m C 1
n
C 2n ＋m ，
又p 1＝2p 2，∴C 2m ＝2C 1m C 1
n ， ∴m (m －1)2
＝2mn ，即m 2－m －4mn ＝0. 又m ≠0，则m ＝4n ＋1. 【难点突破】
16．[解答] 这是等可能性事件的概率计算问题．
(1)解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式有
C 24·22
种，从而恰有2人申请A 片区房源的概率为C 24·2234＝827. 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验，记“申请A
片区房源”为事件A ，则P (A )＝1
3.
从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人申请A 片
区房源的概率为P 4(2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232
＝
827.
(2)X 的所有可能值为1,2,3.又P (X ＝1)＝334＝1
27，
P (X ＝2)＝C 23(C 12C 34＋C 24C 2
2)
34
＝1427
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫或P (X ＝2)＝C 23(24
－2)34＝1427， P (X ＝3)＝C 13C 24C 1
2
34＝49⎝⎛⎭
⎫或P (X ＝3)＝C 24A 3334＝49.
综上知，X 有分布列
从而有E (X )＝1×127＋2×1427＋3×49＝65
27.。