《平面图形的面积的复习》

《平面图形的面积的复习》
一、教学内容
平面图形面积计算公式的整理与复习。

二、学情分析
这节课是在学生刚刚学习了圆的面积之后进行的，在这之前学生分别在三上与四下学习了长方形、正方形和平行四边形、三角形、梯形的面积，时间跨度比较长，学生对这部分知识已经部分遗忘，尤其是公式的推导过程，所以有必要在圆面积学习后整体的对平面图形的面积进行复习，让学生对这部分知识有系统的认知。

三、设计思路
本节课设计思路是课前先让学生独立对面积公式进行回想与整理，课堂上主要引导学生对知识进行梳理，通过交流汇报，使学生对知识进行再现与重构，感受知识的关联，灵活运用面积的知识与方法解决问题，并在此基础上感受复习的一般方法。

四、学习目标
（1）进一步理解和掌握平面图形面积的计算方法和面积公式的推导过程，并能正确运用公式进行面积的计算。

（2）通过对平面图形面积公式之间关系的研究，感悟转化思想在面积公式推导过程中的作用与价值，感悟面积测量与面积计算基于都是“求包含面积单位的总个数”的一致性，
形成知识网络，发展空间观念和推理意识。

（3）进一步提高合作学习的意识、提高复习的兴趣，养成良好的复习习惯。

五、教学重点
对平面图形面积计算公式的推导过程的整理。

教学难点
对面积知识的关联与结构的建立。

六、教学过程
（一）、提出课题，明确任务
师：同学们，最近我们学习了圆的面积，这是小学阶段学习的最后一个平面图形的面积了，因此我们有必要对之前所学过的所有平面图形的面积进行复习，做到温故知新。

（出示课题《平面图形面积的复习》）
师：你认为我们该从哪些方面复习呢？
生1：平面图形都有哪些？
生2：平面图形的面积计算公式分别是什么？公式又是怎么推导出来的？
生3：怎么运用这些面积公式来解决问题？
师：先回想一下都有哪些平面图形吧？
生1：按照学习的先后顺序，有长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆这六种图形。

师：接下来我们就复习一下这些图形的面积公式以及面积公
式的推导过程。

【评析】数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。

复习课更要关注这一点。

教师考虑到学生对六种平面图形的面积计算公式比较熟悉，所以开课直入主题，唤起学生对公式的回忆，省时高效。

另外教师让学生自己提出要复习的主要内容，也是基于五年级学生的认知发展水平和已有的知识经验，体现了教学要认清学生认知的起点，准确把握学情，更好的设计高效的学习任务。

（二）、复习知识，沟通联系
师：课前已经让大家对这些公式进行了简单的整理，现在在组内交流一下这些公式以及推导过程。

在交流过程中请思考：这些面积公式在推导的过程中分别用了什么方法？
小组交流，要求每个学生至少汇报一种图形的面积。

1.图形面积知识再现。

（1）长方形的面积
师：接下来我们一起来梳理平面图形的面积，先来汇报最早学过的图形——长方形的面积。

组1：长方形的面积计算公式是长乘宽，我们小组经过刚才的交流，回想起了使用小方格去铺满这个长方形，看看一共有多少个小方格，面积就是多少。

师：通过这个小组的汇报，你们明白长方形的面积公式为什么是长乘宽吗？
生：他们小组只说出了用小方格来铺满这个长方形，并没有说清楚公式是怎么得到的。

师：用小方格铺满这个长方形实际是在干什么呢？
生：小方格实际是面积单位，用小方格铺满实际是用面积单位测量长方形的面积。

师：学习的时间比较长了，难免遗忘，接下来请同学们拿出信封中的学具，请大家按照一组汇报的方法测量任务一中长方形的面积，看看你有什么发现？
生进行测量，然后思考长方形的长在计算面积时实际表示什么，宽呢？长乘宽实际计算的是什么？
师：站在面积测量的角度大家有什么发现？
生：经过用小方格纸测量，我们发现长方形的长实际代表的是每行面积单位的个数，而宽实际代表面积单位的行数，长乘宽实际计算的是长方形中包含面积单位的总个数。

师生总结：经过面积测量，长方形面积的计算公式长乘宽实际求的是长方形中包含面积单位的总个数。

【评析】因为学习长方形的面积时间比较长了，留在学生头脑中的只剩面积计算公式了，至于公式为什么是长乘宽，大部分学生已经解释不清楚了，所以这里设计一个测量活动，通过面积测量引发学生思考，面积公式中的长与宽实际代表什么，从而感悟到面积计算与测量都是为了求出面积单位的总个数，从而感悟到面积计算背后的本质是求解面积单位的
个数。

（2）三角形面积
师：刚才我们通过再次测量长方形的面积回想起了面积公式怎么得出来的，接下来我们再汇报哪个图形的面积？
组1：我们小组汇报三角形的面积吧！因为两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底和高正好就是三角形的底和高，所以三角形的面积就是底乘高除以二，于是借助平行四边形的面积推出了三角形的面积。

师：大家认为这个小组汇报的怎么样？
生：我感觉汇报的比较全面，尤其是借助图形把拼摆的过程表示的很清楚，让我们很直观想到三角形面积公式是怎么得出的。

（3）平行四边形的面积
师：通过这个小组的汇报，要想得出三角形的面积必须要先知道哪个图形的面积？
生：平行四边形的面积。

师：接下来我们再研究一下平行四边形的面积吧！哪个小组想来汇报一下？
组2：平行四边形的面积是底乘高，通过剪拼把它转化为长方形的面积来得出了面积计算公式。

生2：我来补充一下，是沿着平行四边形的高剪下一个三角形，然后把它平移到另一边，转化为长方形，它们的面积相
等，平行四边形的底和高分别是长方形的长和宽，所以平行四边形的面积就是底乘高。

师：这个小组汇报的怎么样？
生：汇报的很清晰，尤其是平行四边形与转化后长方形的关系说的很清晰。

师：大家是不是一开始学习平行四边形的面积时就知道要沿着高剪开，把三角形平移到另一边从而转化为长方形的面积呢？
生1：应该不会。

生2：应该也是通过测量，在测量中想到这一方法的。

师：这是一个平行四边形，把它放到方格纸中测量，大家再想一想，你会用什么方法来得出测量的结果呢？
生1：可以把左边的三角形整体平移到右边，这样就好数整格的数量了。

生2：也可以按照一行中不够一格的进行平移，这样就把每一行都可以经过平移凑成整格的。

师：观察两种平移的方法，底6厘米实际指的是什么？高又指的是什么呢？
生：底也是指的每行面积单位的个数，而高实际指的是有这样的几行。

底乘高实际是求的面积单位的总个数。

师生总结：原来平行四边形的面积计算公式站在面积单位的角度，它与长方形面积本质是一样的，都是求面积单位的总
个数。

（4）梯形的面积
师：有了平行四边形的面积后又能得出哪个图形的面积呢？生：刚才已经汇报了三角形，还有就是梯形的面积。

组4：我们小组来汇报梯形的面积吧！它与三角形的方法是一样的，通过把两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，平行四边形的底就是原来梯形的上底与下底之和，高与梯形的高相等，所以梯形的面积公式就是（上底+下底）×高÷2，这样再次借助平行四边形的面积得出梯形的面积。

（5）正方形的面积
师：最后还有两个图形，一个正方形，一个圆，大家想汇报哪个？
组5：先汇报正方形的面积吧！因为正方形是特殊的长方形，正方形的两条边长相当于长方形的长与宽，于是正方形的面积就是边长乘边长，本质上也是通过计算求出面积单位的总个数。

师：你们越来越会说理了，了不起！
（6）圆的面积
师：最后我们来回想一下最近学习过的圆的面积，哪个小组来汇报一下！
组6：圆的面积公式是πr2 ，把圆进行等分后再拼接，就转化为一个近似的长方形，这个近似的长方形的长和宽分别是
圆周长的一半和半径，根据这一关系就得出圆的面积。

师：经过这个小组的汇报，大家还有疑问吗？
生：转化为近似长方形，怎么就能直接用长方形的面积计算公式来推导呢？
师：你们小组还有补充吗？
生：当等分的份数越多，拼接的就越像一个长方形，若是无限等分，再拼接就是一个长方形了！虽然我们做不到，但是可以想象到，这是利用了数学中的极限思想。

师：你们真正理解了极限思想，了不起！大家看这是分成的8等分的圆拼成的近似的长方形，这是16等分的圆拼成的，这是32等分的圆拼成的，这是64等分的圆拼成的，分的份数越多，拼成的就越像。

无限等分再拼接得到的图形就是一个长方形。

师生总结：通过梳理我们总结出了六种图形的面积公式及其公式的推导过程，在总结中大家都用了哪些方法进行整理的呢？随老师一起欣赏一下几位同学是怎样整理的。

展示几位学生的整理过程。

然后让学生谈谈自己的感受。

这里展示的顺序依次是从一一罗列出面积公式，但没有推导的过程；再到用文字描述公式推导过程的；最后用画图形式展示公式及其公式推导过程的。

从展示的顺序中让学生体会整理方法的优缺点，从而得出用画图这种方法不仅简单，更为清晰明确。

【评析】对于这六种图形面积计算公式的推导过程由于学生学习时间较长，已经淡忘了许多，课前布置学生进行整理，课上让学生带着问题先在小组里交流，然后集体交流，这样大家在同学和老师的引导下能有效地唤起记忆，进而加深学生对知识产生过程的理解。

在汇报过程中教师注意到了生生之间的评价与交流，师生之间的对话与交流。

比如：对于他们组的解释谁能做个简要的评价？注意学生在讲解过程中教具的使用，教师课件的配合使用。

这里还重点对圆面积公式的推导加以说明，因为圆的面积除了用到转化的数学思想还有极限的思想，所以在六类图形面积公式推导中是最难的。

其次是长方形的面积公式的得出，因为学的时间长容易遗忘，学生只记得长方形面积，却忘了公式是怎么来的，所以再次设计了测量长方形面积的活动，让学生感受到测量时长方形的长实际就是每行面积单位的个数，宽实际是面积单位的行数，而长乘宽实际求的是面积单位的总个数。

2、沟通公式间的联系。

师：在刚才整理六种图形的面积计算公式时，你有什么发现？
生：图形与图形之间是有联系的。

师：它们之间有内在的联系。

请大家根据公式的推导过程中体现出的图形关系，用线将有关系的图形连接起来，并在组内交流。

（教师巡视，请一个小组在黑板上画联系图，然后介绍连线背后的原因。

）
生：这些面积公式我们先研究的是长方形的，在它的基础之上研究的是正方形、平行四边形、圆面积公式，所以把长方形与这三种图形连接起来，在平行四边形面积公式的基础上研究三角形、梯形面积公式，所以再把平行四边形与这两种图形连接起来。

师：谁来评价一下他连接的方法。

生：通过这个图我们很清楚的看出了这些面积公式在推导过程中的联系。

师：连接的很有道理，评价的也很到位。

如果你是这样连接的，就可以得到五颗星了！大家再仔细看看这个连接好的图，它像什么呢？
生：像一棵树。

师：对，这是一棵面积之树，从上往下看，你看到了数学中的什么方法？
生：我看到了转化的方法，比如三角形的面积转化为平行四边形的面积。

师：如果从下往上看呢？你又能看到数学中的什么能力呢？生：推导，比如根据长方形的面积推导出了平行四边形的面积。

师：推导是很重要的一种数学能力，它是根据已知推出未知
的一种能力。

师：大家再看这棵面积之树，它的“根”在哪呢？
生：长方形的面积是所有图形面积的“根”。

师：从图上看，长方形的面积确实是这棵树的“根”。

再想想看，还有没有更基础的“根”呢？
生：刚才长方形的面积计算公式是通过测量得到，所以面积的测量应该才是这棵树的“根”。

生：我认为面积测量也不是真正的“根”，因为测量的本质是为了得出面积单位的总个数，所以这棵树的“根”应该是面积单位的总个数。

师生总结：同学们，刚才大家分析的很有道理，面积单位的总个数可以作为面积之树更基础的“根”，这样这棵平面图形的面积之树更完整了，有的是从根上长出来的，比如长方形；有的是从树干上生出来的，比如正方形、平行四边形、圆形；还有的是从树枝上发出来的，比如三角形、梯形。

在这棵树生长的过程中，还开出了两朵美丽的花，一朵是“转化”，一朵是“推导”，这两种方法对我们以后学习数学都是很好的帮手。

【评析】通过把有关图形用线连接的过程，引导学生整体发现图形面积公式在推导过程中的联系，初步感悟数学思想的统领价值。

通过从两个方向观察引导学生发现图形面积公式的主要是借助转化的思想与推导能力来整体建构的，“基础
知识贵在求联，基本思想贵在求通。

”复习本身就是一个“串点成线”的过程。

本环节通过小组合作学习的方式，沟通了六种平面图形吗面积之间的内在联系，连点成线，连线成网，自主构建了知识网络，是学生理解层面上的一次质的飞跃，使每一个学生在原有认识的基础上得到提高和发展，从而发展了学生的空间观念与推理意识。

三、解决数学问题，提升应用意识
师：我们通过回顾公式的推导过程，沟通了这些知识之间的联系，形成了这棵完整的面积之树，接下来进入收获的季节，看看你们能收获多少果实。

下面有3道题目，开动脑筋想一想，做一做，请你至少完成一道题，如果还有时间可以继续挑战另外两道题。

开始。

生独立完成题目，然后汇报结果。

师：第一题，选择有效的数据计算图形的面积。

生介绍算式与结果。

师：数据6厘米没有用到！为什么不用？
生：因为6厘米这条边上没有对应的高。

师：如果全部数据都用上你能求出什么呢？
生：可以求出6厘米的底上的高。

列算式为12×5÷6=10（厘米）
师：再来看第二题，平行四边形的面积是20平方米，阴影三角形的面积是多少呢？
生思考后回答（大多数回答是10平方米，但是追究原因学生则认为是两个完全相同的三角形拼成平行四边形，所以是20的一半）
师：真的是因为两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形的原因吗？
生：不是，这里有三个三角形。

我认为阴影的三角形与图形的平行四边形是等底等高的，所以三角形面积是平行四边形面积的一半。

师：看来问题答案背后的原因需要我们深度思考，不能只凭借经验来解释。

师：第三题，梯形的上底是4米，下底是8米，面积是30 平方米，它的高是多少米呢？
学生在做这个题时会出现乘二还是除以二的选择困惑。

当两种算式都出来后，引导学生思考用什么方法可以避免这样的思维障碍。

师：有什么好的方法可以有效的解决这个问题？
生：可以用方程的方法，设高为X，列方程（4+8）X÷2=30，这样就很容易避免是选择除以还是乘二的困惑了。

师总结：其实方程也是转化思想的体现，把逆向的思维转化为顺向的思维，从而让问题解决变得更加简单。

师：答对一道可以得到一颗星，多答对一道多得一颗星。

看看你得了几颗星了？还想继续接受挑战吗？请看题，求出
涂色图形的面积。

生思考汇报。

师：有的问题就像一层窗户纸一样，一点可能就破了，你想到解决问题的方法了吗？
生：只要把左边的半圆移到右边就转化成一个长方形，长是10厘米，宽是6厘米，面积是60平方厘米。

师：通过图形的平移进而转化为长方形，看来这转化的魅力还真是很大啊！还想体验吗？看最后一题，还是求阴影部分的面积。

生思考汇报思路：用正方形的面积减去圆的面积。

生观察以后发现这四道求阴影部分面积的题本质上是一样的，都是用正方形的面积减去一个圆的面积就等于阴影部分面积。

【评析】练习环节充分体现了分层设计的原则，有基础练习、创新练习、发散练习。

比如在练习一环节，提供了3道基础性练习，并分层提出了要求，让学生在规定时间内完成基础练习，在此基础上再去挑战，既能激发学生练习的积极性，又能体现分层实施练习的策略。

在后面的练习中又包含了发散练习，充分考察学生对转化思想方法的理解与运用。

在练习中还注重对学生的量化评价，采用星级评价方式激励学生完成练习，提升技能。

（四）、全课回顾总结，梳理复习方法
师：今天我们复习了平面图形的面积，大家都有什么收获？生：我通过这节课的复习，对平面图形的面积计算公式以及推导过程更加清晰了，还知道了它们之间的关系。

生：还学会了复习的方法，知道了转化思想在数学中应用有很多。

师总结：今天我们通过复习，形成了一棵平面图形面积的知识树，我把这棵树送给大家，希望通过构建这棵知识之树的方法对你以后的学习有所帮助。

下课！
【评析】一节真正的好的复习课，不仅仅是在课内引导学生再现知识，更重要的是在回顾梳理过程中体会知识背后的思想方法，在思想的统领下对知识重构，探寻知识之间的联系，形成知识结构，进而转化成学生的认知结构。

本节课学生经历了“回想——梳理——总结——应用”的复习过程，还掌握了复习的一般方法，相信学生会利用课上所学的方法主动复习其它知识。

如何进行“大单元教学”
1.如何理解“大单元教学”？
“大单元教学”的核心不在“单元”，不是“常规单元”的简单合并拼接。

“大单元教学”重在整体的视角和系统的思维。

目的是改变以往过于零碎、过于分散、过于细化的知识点教学的弊端，从整体上审视数学知识体系，宏观上把握知识之间的来龙去脉、联系关系，把知识纳入到一个结构中整体理解，系统的设计教学的实施路径，并在每个环节紧抓大单元中的核心概念，阶段性建构知识体系，进而形成认知结构。

数学核心素养的核心在数学思维，数学教学的最重要的目的是发展思维，如果把当下热提的“基于核心素养”调整为“基于发展思维”，更便于老师们把握教研教学的研究重心。

“大单元”的提法更容易让人和教材上的“常规单元”联系在一块，容易简单的理解为就是“常规单元”的合并，不便于从系统的视角理解和把握“整体教学”，建议把“大单元教学”调整为“整体教学”。

也就是把“基于核心素养的大单元教学”调整为“基于思维发展的整体教学”。

2.如何实施“整体教学”？
大体分为三步：整体性规划、分步骤实施、系统性认知。

（1）整体性规划。

一是在学习之前，教师要从整体上分析数学知识的起源、发展、本质、道理、联系等等，把握准知识的结构。

比如关于平面图形的面积的内容，从一开始学习面积开始，就要把图形面积的本质、各种平面图形面积公式的推导以及它们之间基于“面积单位个数的累加”和“转化”的关系，都要进行整体的分析，弄懂弄清它们的结构体系；甚至还需要把面积置于“图形的测量”大领域里面进行分析，面积和长度、角度、体积一样，也是图形的测量的一部分，需要从图形的测量的基本步骤——测量对象、测量标准、测量工具、测量方法、测量结果等环节进行认识，找到几种测量的一致性。

二是规划好实施步骤，课还得一课时一课时的上，核心素养还得一课时一课时的慢慢培养。

（2）分步骤实施。

一是将整体的知识系统分散到各学段、各年级、各单元、各课时学习。

比如平面图形的面积需要分解成面积和面积单位、长方形和正方形的面积、平行四边形的面积、三角形的面积、梯形的面积、圆的面积等若干模块、若干课时学习。

二是在分散教学过程中，始终要紧抓核心概念，突出联系和一致性。

在平面图形的面积这部分内容里，每部分内容根据各个不同的侧重点，紧抓“面积单位”“面积单位个数的累加”“转化”等核心概念，反复强化它们基于“面积单位个数的累加”的一致性和基于“转化”建立的紧密联系。

（3）系统性认知。

学习到一定阶段，需要安排回顾梳理的过程，用以系统梳理知识和方法，沟通知识间的联系，建构知识体系，进而形成认识结构。

刘朋朋老师执教的这节复习课，就是一节典型的“系统性认知”课，在学生自主回顾梳理的基础上，引导学生回想平面图形面积计算的学习过程，回顾计算公式的推导过程，分析每种图形面积计算的联系，梳理知识的结构，形成一棵平面图形的面积树，很形象的帮助学生理清知识结构，进而在学生头脑中形成认识的结构，进一步发展了思维。