30.勤学早九年级数学(下)第27章《相似》专题一点通

30.勤学早九年级数学（下）第27章《相似》专题一点通
一、利用相似证明线段相等
1已知△ABC 中，︒
=∠90ACB ，分别过A ，B 两点作经过点C 的直线的垂线，垂足分别为D ，E ，在线段DE 上取一点F ，使∠EBF=∠ABC 。

(1)如图l ，当AC= BC 时，写出图中所有与CD 相等的线段，并选取一 条给出证明；
<2)如图2．当AC ≠BC 时，在(1)中与CD 相等的线殷中找出一条仍然与CD 相等的线殷，并给出证明；
D B
F
A
D B
E
A
F
图1 图2
提示：（1）CD EF BE ==,证明CAD BCE ∆≅∆; (2)EF CD =.理由是：BCA BEF ∆∆∽，∴
BC BE CA EF =,∵CDA BEC ∆∆∽,∴CA
BC
CD BE =
, ∴
BC BE CA CD = , ∴CA
CD
CA EF =
, ∴.CD EF =. 二、巧用对顶三角形相似解题
2.D 为 Rt △ABC 的斜边AB 上一点，点E 在AC 上，连接DE ，CD ，且BCD ADE ∠=∠ ，CF ⊥CD 交DE 的延长线于点F ，连接AF.
1>如图①，若AC=BC ，求证:AB AF ⊥;
2)如图②，若AC ≠BC ，当D 在AB 上运动时，求证:AB AF ⊥;
A
C
B
D
F E
C
A
B
D
F
E
图1 图2
解：（1）∵ACF BCD ADE ∠=∠=∠,︒=∠=∠45DCA DFC ，∴CDF ∆为等腰直角∆，
∴。

，≌AB AF B CAF ACF BCD ⊥∴︒=∠=∠∴∆∆45, （2）∵ACF BCD ADE ∠=∠=∠，∴FEC AED FEC AED ∽△△∴∠=∠，
︒
=∠+∠∠=∠∴∴90,DFC FDC FDC FAC DEC AEF ∵∽△△，。

AB AF BAC FAC ⊥︒=∠+∠∴,90
三、利用相似证平行
3.(1)如图1．在口ABCD 中，E,F 分别是AB ，CD 上的点，若CE ∥AF ，求证DE ∥BF;
(2)如图2．在四边形ABCD 中．AD ∥BC ，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，若CE ∥AF ，求证:DE ∥BF
D
C
B
A E F
D C
A
B
F
E
图1 图2
解：（1）证DF BE DF BE =且∥
（2）延长DA ，CE 交于点K ，延长DE 与CB 的延长线交于点N ，由BN:AD=NE:DE=CN:DK ， 可得
BN:CN=AD:DK ，又易证DF:DC=AD:DK ，∴DF:DC=BN:CN ，易得到DE ∥BF.
四、等腰直角三角形中的相似问题
4.△BCD 中，BC=CD,︒
=∠90BCD ，点Q 为BD 上一点，M ，N 分别为直线BC ，CD 上一点，且︒
=∠90MQN
(1)如图1．若BQ=3DQ,求
QN
QM
的值， (2）如图2，若DQ=3BQ,QP ⊥BD 交直线DC 于点P ．求
NP
BM
的值. D
Q N
M
B
C
D
Q
B
C
M N P
图1 图2
解：（1）作QE ⊥DC 于E ，QF ⊥BC 于F ，∴QFM QEN ∽△△,∴
DQ
BQ
QE QF QN QM ===3. （2）辅助线同（1），证PQN BQM ∽△△，由（1）知，
3
1
====DQ BQ QE QF QN QM NP BM .
五、等腰三角形中的相似问题
5. 在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，以D 为顶点作B MDN ∠=∠.
(1)如图1．当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ，写出图中所有与△ADE 相似的三角形； (2)如图2，DM ，DN 分别交线段AC ，AB 于E ，F 点（点E 与点A 不重合）．不添加辅助线，写出图中所有
的相似三角形，证明你的结论。

B
A
C
N M D
E
A
M E
F
N
C
B
D
图1 图2
解：（1）图（1）中与ADE ∆相似的有ABD ∆，DCE ∆，ACD ∆。

（2）∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°，∠DEC+∠C+∠EDC=180°，∴,DEC BDF ∠=∠
∵∠B=∠C ，∴CED BDF ∽△△,DE DF CD BF =∴∴,DE
DF
BD BF =∴∠B=∠EDF ， ∴△BDF ∽△DEF.
六、矩形与正方形中的相似问题
6.如图．正方形ABCD 中，点P ，点Q 分别在BC ，CD 上，︒=∠45PAQ 。

(1)如图l,若AQ 交BC 的延长线于E,若AB=4，BP=1．求PE 的长；
(2)如图2,过P 点作PM ⊥AC ，QN ⊥AC ，垂足分别为M ，N ，若AB= 4，求AM •AN 的值;
D
C B A
P E
Q
D
C
B
A
P
Q
M N
图1 图2
解（1)连AC ，证PEA PAC ∽△△,∴2PA =PC •PE ，∴17,3
PE = （2）证,QAD PAM ∽△△,AQ AP AD AM =∴
证ANQ ABP ∽△△,AQ
AP
AN AB =∴, ,AN
AB
AD AM =∴
.∴AM •AN=AD •AB=16
七、利用射影形相似求比值
7.△ABC 中．∠BAC=90°，AB=AC ，D 为BC 的中点，F ，E 是AC 上两点，连接BE ，DF 交于△ABC 内一点G ，且∠EGF=45°.
(l)如图1．若AE=3CE=3，求BG 的长；
(2)如图2，若F 为AC 上任意一点，连接AC ，求证：∠EAG=∠ABE ； (3)若E 为AC 的中点，求EF:FD 的值.
A
C
E
G
F D
B
A
C
E G
F D B
图1 图2
解：（1）由已知得AB=AC=4，BE=5
，BCE BGD ∽△△,BE
BD
BC BG =
∴
, ∴5
16=
BG . （2）连接AD,∵AB=AC ，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴BAC ADB ∠==∠︒
90,∴CBA ABD ∽△△，∴
2AB =BD •BC,由（1）知BD •BC =BG •BE ，∴2AB = BG •BE ，∴EBA ABG ∽△△,
∴︒=∠=∠90BAE AGB 。

∴
ABE EAG ∠=∠. （3）
10
. 提示：可证FDC FEG ∽△△,CD EG FD EF =∴，∵,BAE BGA AGE ∽△∽△△
，
21
===∴
AB AE BG AG GA GE ，5
1===∴BE AE AB GA AE GE 设EG=m ，∴AE=m 5，∴m AC AB 52==,∴m BC 102=，∴CD=m 10
，CD EG FD FE =∴
八、利用A 、X 型求比值
8.如图，在△ABC 中．M ，N 分别为BC,AC 上一点，AM 和BN 相交于点 D ，BM=tMC ，点D 为AM 的中点.
(1)当t=1时，求
BN BD
的值; (2)当t=3时，求AC
AN
的值;
(3)若DNC BDN S S ∆∆=2，求t 的值.
A B C M
D
N
A
B C
M
D N
解：（1）作E BN AC ME 于交∥，∵BM=CM,∴BE=EN ，∵AD=DM ，∴ED=DN ，∴3
4
BD BN =； （2）作E BN AC ME 于交∥，∵,4
3
43=∴=CN ME BC BM ，∵AD=DM ，∴ME=AN ， ∴
，43=CN AN .7
3
=∴AC AN (3)作E BN AC ME 于交∥，设CM=1，则BM=t ，∴
，
t CM
BM
EN BE ==∵AD=DM ，∴DE=DN ， 设DE=DN= x ，∵xt BE t x BE t EN BE 22=∴=∴=，，∴BD=(2t+1)x ，∴，
12+=t DN
BD
设BD DNC BDM 中和△△、DN 上的高分别为1h ，2h ，则
，1
21+==t t
BC BM h h ∴
122BDM DNC S BD h S DN h ∆∆==g g ，∴（2t+1)•21
=+t t
，∴t =
九、特殊与一般
9.在Rt △ABC 中,︒
=∠90ACB ，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ．EF ⊥BE 交AB 于点F ，若AC=mBC ，CE=nEA (m,n 为实数)试探究线段EF 与EG 的数量关系. （1）如同①，当m=l ，n=1时,EF 与EG 的数量关系是 ；
（2）如图②，当m=1，n 为任意实数时，探究EF 与EG 之间的数量关系 ； （3）如图③，当m,n 为任意实数时，直接写出EF 与EG 的数量关系是 .
C
B
D
A
G
E
F
C B
D
A
F
G
E
E
C B
D
F G
图1 图2 图3
解：(1)EG=EF ，证明;GED FEA ∆≅∆
（2）EG=nEF. 证明：过E 作EP ⊥CD 于P ，EQ ⊥AB 于Q ，证明,AEQ CEP ∽△△
∴
EP CE n EQ AE
==，∵,,90GEP FEQ QEP FEG ∠=∠∴=∠=∠︒又,90︒
=∠=∠EPG EQF ∴,GEP FEQ ∽△△，n EQ
EP
EF EG ==∴
∴EG=n EF; (3)EG=mnEF. 提示：证
CP CE EQ EA ==n ，∴CP=nEQ ，证AC EP
m BC CP
==，∴EP=mCP=mnEQ ， 证EG EP EQ
mn mn EF EQ EQ
===.。