尺寸链原理与计算

1.测量基准与设计基准不重合时的尺寸换算
测量基准与设计基准不重合的尺寸换算在生产实际中是经
常遇到的。如图所示：
设计基准
测量基准
tΔΔsxtt
hΔΔsxhh
测量基准 （a）
（b）
图中要加工三个圆弧槽，设计基准为与Φ50同心圆上的交点， 若为单件小批生产，通过试切法获得尺寸时，显然在圆弧槽加 工后，尺寸就无法测量，因此，在拟定工艺过程时，就要考虑 选用圆柱表面或选用内孔上母线为测量准来换算出尺寸。
3.已知封闭环及部分组成环，求其余组成环 根据封闭环和其他组成环的基本尺寸及公差（或偏差）
来计算尺寸链中某一组成环的基本尺寸及公差（或偏差）。
其实质属于反计算的一种，也可称作“尺寸链的中间计 算”。这种计算在工艺设计上应用较多，如基准的换算，工 序尺寸的确定等。
总之，尺寸链的基本理论，无论对机器的设计，或零件 的制造、检验，以及机器的部件（组件）装配，整机装配等， 都是一种很有实用价值的。如能正确地运用尺寸链计算方法， 可有利于保证产品质量、简化工艺、减少不合理的加工步骤 等。尤其在成批、大量生产中，通过尺寸链计算，能更合理 地确定工序尺寸、公差和余量，从而能减少加工时间，节约 原料，降低废品率，确保机器装配精度。
T n1
2
i
i 1
当计算出该环的公差、平均尺寸之后，应按将该环的公
差对平均尺寸按双向对称分布，即写成 改写成上下偏差的形式。
Ai
T
(A) i
2
，然后将之
组成环偏离正态分布时，用下面的近似公式：
n1
T0k k Ti2 i1
T0k称为当量公差，k值常取1.2~1.6。 各种k值可参考图表：
概率解法时计算的公差，是正态分布下所取的误差范围内的尺 寸变动，即尺寸出现在该范围内的概率为99.73%，由于超出之 外的概率仅为0.27%，这个数值很小，实际上可认为不至于出 现，所以取作为封闭环尺寸的实际变动范围是合理的。
99.73% 0.27% -3δ +3δ
§4 工艺过程尺寸链
工艺尺寸链正确地绘制、分析和计算工艺过程尺寸链，是 编制工艺规程的重要手段。下面就来看看工艺尺寸链的具体运 用。 一、基准不重合时的尺寸换算
基准不重合时的尺寸换算包括： ①测量基准与设计基准不重合时的尺寸换算； ②定位基准与设计基准不重合时的尺寸换算。
i 1
i 1
i 1
i 1
m
n
s Ai x Ai
i1
i1
m n
m n
x A A m i A n ( A im in A im ) a ( x A i A i)
i 1
i 1
i 1
i 1
m
n
x Ai s Ai
i1
i1
因为零件图和工艺卡片中的尺寸和公差，一般均以上、下偏
A3
A1 A∑
A2
L2
L3 L∑ L4
L1
A1 A∑
A3
L2
L3 L∑ L4
L1
A2
3. 组成环 一个尺寸链中，除封闭环以外的其他各环，都是“组成
环”。按其对封闭环的影响可分为增环和减环。
表示为：Ai 、Li i=1,2,3…… 增环：在尺寸链中，当其余组成环不变的情况下，将某一组 成环增大，封闭环也随之增大，该组成环即称为“增环”。
(2) 概率解法：又叫统计法。应用概率论原理来进行尺寸键计 算的一种方法。如算术平均、均方根偏差等。
求解尺寸链的情形：
1、已知组成环，求封闭环
2、已知封闭环，求组成环
尺寸链的正计算 尺寸链的反计算
3、已知封闭环及部分组成环，求其余组成环 尺寸链的中
间计算
1．已知组成环，求封闭环 根据各组成环基本尺寸及公差（或偏差），来计算封闭环
A A 4 A 5 A 6 A 1 A 2 A 3
由此可以推得多环尺寸链的基本尺寸的一般公式：
对于任何一个总数为N的独立尺寸链，若其中增环数为m， 由于其封闭环只有有一个，则减环数n为n=N－1－m。故：
m
n
A Ai Ai
i1
i1
上式说明：尺寸链封闭环的基本尺寸，等于各增环基本 尺寸之和，减去各减环基本尺寸立和。
差的形式标注，所以该式较为简便迅速
3.各环公差的计算
m n
m n
T A m a A m x i ( n A im a A x im ) i( n A im in A im )ax
i 1
i 1
i 1
i 1
m
m
n
n
m
n
( A im a xA im )i n ( A im a xA im )inTi Ti
L2
L3 L∑ L4
L1
L1为增环
L2
L3
L4
L5
L∑
L1
L1、L4为增环
减环：在尺寸链中，当其余组成环不变的情况下，将某 一组成环增大，封闭环却随之减小，该组成环即称为 “减环”。
L2
L3 L∑ L4
L1
L2、L3 、 L4为减环
L2
L3
L4
L5
L∑
L1
L2、L3 、 L5为减环
三、尺寸链的分类 1.按不同生产过程来分
（2）相关尺寸链：具有公共环的两个以上尺寸链组。即构成尺 寸链中的一个或几个环，分布在两个或两个以上的尺寸链中。
按其尺寸联系形态，又可分为并联、串联、混联三种。
L1
L2 L3
L4
L5
L∑
A∑
A2
L1
L2
L3
L∑
A∑
A2
A1
A1
并联
串联
B1
B2
A∑
A2
B3
共同基面
B∑
C2 C1 C∑
A1
共同基面
混联
尺寸链原理与计算
§1 尺寸链的定义和组成
一、尺寸链 尺寸链指的是在零件加工或机器装配过程中，由相互联系
的尺寸形成的封闭尺寸组。
A3
A1 A∑
A2
L2
L3 L∑ L4
L1
L2
L3 L∑ L4
L1
A1 A∑
A3
A2
1.尺寸链的分类 (1)出现在零件中，称之为零件尺寸链 (2)由工艺尺寸组成，称之为工艺尺寸链 (3)出现在装配中，称之为装配尺寸链
L4
L1 L3
2．已知封闭环，求组成环
根据设计要求的封闭环基本尺寸及公差（或偏差），反过
来计算各组成环基本尺寸及公差（或偏差），称为“尺寸链的
反计算”。
如齿轮零件
轴向尺寸加工，
采用的工序如 10±0.15 图，现需控制
幅板厚度10土
0.15，如何控制
40
L1、L2、L3
零件图
L1
工序一
L2
工序二
l3
即“最短尺寸链原则”。
三、概率解法
极值解法特点：
优点：简便、可靠、可保证不出现不合格品。
缺点：根据
T
N 1
Ti
关系式所分配给各组成环公差过于严格。
i 1
甚至无法加工。不够科学、不够合理。
概率解法就可以克服极值解法的缺点，使其应用更为 科学、合理。
概率解法的数学依据：
在大批大量生产中，一个尺寸链中的各组成环尺寸的获得，
2 i
i 1
-3δ +3δ
反映了封闭环误差与组成环误差间的基本关系。
1. 各环尺寸与公差的计算
(1)各环平均尺寸之间的关系：封闭环的平均尺寸等于增环
的平均尺寸之和与减环平均尺寸之和的差。
m
n1
A0 Ai Ai
i1
im1
(2) 各环公差之间的关系：封闭环的公差等于组成环公差平 方和的平方根。
T0
公共环同属于不同尺寸链中，公共环尺寸及公差改变将 同时影响各个尺寸链，所以，在解尺寸链时，一般不轻易改 变公共环尺寸。
§2 尺寸链的计算方法
尺寸链的计算方法，有如下两种： (1) 极值解法：这种方法又叫极大极小值解法。它是按误差综合 后的两个最不利情况，即各增环皆为最大极限尺寸而各减环皆 为最小极限尺寸的情况；以及各增环皆为最小极限尺寸而各减 环皆为最大极限尺寸的情况，来计算封闭环极限尺寸的方法。
彼此并无关系，因此可将它们看成是相互独立的随机变量。相
互独立的随机变量。经大量实测数据后，从概率的概念来看，
有两个特征数：
（1）算术平均值 A ——这数值表示尺寸分布的集中位置。 （2）均方根偏差 δ ——这数值说明实际尺寸分布相对算术平
均值的离散程度。
A(算术平均）
独立随机变量之和的均方差为:
N 1
i 1
i 1
i 1
i 1
i1
i1
即：
N 1
T Ti i 1
结论：封闭环公差等于所有组成环公差之和，它比任何组成环
公差都大。所以应用中应注意：
(1) 在零件设计中，应选择最不重要的环作为封闭环。
(2) 封闭环公差确定后，组成环数愈多，则分到每一环的公
差应愈小。所以在装配尺寸链中，应尽量减小尺寸链的环数。
工序三
工序1；车外圆，车两端面后得L1=40 工序2；车一端幅板，至深度L2. 工序3：车另一端帽板，至深度L3。并保证10士0.15。
由上述工序安排可知，幅板厚度10士0.15是按尺寸L1、 L2、l3加工后间接得到的。因此,为了保证10士15，势必对L1， L2，L3的尺寸偏差限制在一定范围内。即已知封闭环L∑ =10 士0.15，求出各组成环L1，L2，L3尺寸的上下偏差。
A1 A2
封闭环 A∑
2. 封闭环
在零件加工或机器装配过程中，
最后自然形成（即间接获得或间 接保证）的尺寸。表示方法：下
L2
L3 L∑ L4
L1
标加∑或0，如A∑、L∑或 A0、L0。
L2
L3 L∑ L4
L1
2.1 封闭环的特点： (1) 由于封闭环是最后形成的，因此在加工或装配完成前,它
是不存在的。 (2) 封闭环的尺寸自己不能保证，是靠其它相关尺寸来保证
寸位干几个不平行的平面内。
3．按照构成尺寸链各环的几何特征，可分为： (1) 长度尺寸链：所有构成尺寸的环，均为直线长度量。 (2) 角度尺寸链：构成尺寸链的各环为角度量，或平行度、
垂直度等。
AΣ
A1 A2
A3
4．按照尺寸键的相互联系的形态，又可分为： （1）独立尺寸链：所有构成尺寸链的环，在同一尺寸链中。
二、极值解法
1、各环极限尺寸计算 当增环为最大极限尺 寸，而减环为最小极 限尺寸时，封闭环为 最大极限尺寸。
A 2min
A∑max T2
ΔsA2 A2
A 2max A 1min
ΔsA2 A∑ A∑min
T1
AHale Waihona Puke A A max 1max 2min
A1 A 1max
ΔsA1
ΔsA1
同理：
A A A min 1min 2max 三环尺寸链极限尺寸计算关系图
的基本尺寸及公差（或偏差），称为“尺寸链的正计算”。这
种计算主要用在审核图纸，验证设计的正确性。如下例：
例如齿轮减速箱装配 后，要求轴承左端面 与左端轴套之间的间 隙为L∑ 。此尺寸可通 过事先检验零件的实 际尺寸L1、L2、L3、 L4、L5 ，就可预先知 L∑的实际尺寸是否合 格?
L5
L∑ L2
2. 尺寸链的含义 尺寸链的含义包含两个意思：
(1)封闭性：尺寸链的各尺寸应构成封闭形式（并且是按照 一定顺序首尾相接的。
(2)关联性：尺寸链中的任何一个尺寸变化都将直接影响其 它尺寸的变化。
二、尺寸链的有关术语
1. 尺寸键的环 构成尺寸链的每一个尺寸都称为“环”。
可分为
组成环 Ai
增环 减环
当多环尺寸键计算时，则封闭环的极限尺寸可写成一般 公式为：
m
n
A A A max
imax
imin
i1
i1
m
n
A A A min
imin
imax
i1
i1
2.各环上、下偏差的计算
根据上述的几个式子可得出封闭环上、下偏差计算的一般公式：
m n
m n
s A A m a A x ( A im a A x im ) i( nA i A i)
§3 尺寸链计算的基本公式 一、尺寸链中基本尺寸、偏差及公差之间的关系：
T/2 T/2 Δm A
Am
A max Δs A
A min A
Δx A
尺寸链计算所用符号
尺寸链各环的基本尺寸计算
下图为多环尺寸链
A1
A2
A4
A5
A∑
A3
A6
各环的基本尺寸可写成等式为：
也即：
A 1 A 2 A A 3 A 4 A 5 A 6
的。
2.2 封闭环的重要性:
(1) 体现在尺寸链计算中，若封闭环判断错误，则全部分析 计算之结论，也必然是错误的。
(2) 封闭尺寸通常是精度较高，而且往往是产品技术规范或 零件工艺要求决定的尺寸。
在装配尺寸链中，封闭环往往代表装配中精度要求的尺寸； 而在零件中往往是精度要求最低的尺寸，通常在零件图中不予 标注。
2．按照各构成尺寸所处的空间位置，可分：
(1) 直线尺寸链：尺寸链全部尺寸位于两
L2
L3 L∑ L4
根或几根平行直线上，称为线性尺寸链。
L1
(2) 平面尺寸链: 尺寸键全部尺寸 位于一个或几个平行平面内。
A5 A4
A3
A6 AΣ
A6
A2 A1
A7
AΣ
A5
A4
(3) 空间尺寸链: 尺寸链全部尺
A1
A2 A3
(1) 工艺尺寸链：在零件加工工序中，由有关工序尺寸、设 计尺寸或加工余量等所组成的尺寸链。
(2) 装配尺寸链：在机器设计成装配中，由机器或部件内若 干个相关零件构成互相有联系的封闭尺寸链。包含零件尺寸、 间隙、形位公差等。
(3) 工艺系统尺寸链：在零件生产过程中某工序的工艺系统 内，由工件、刀具、夹具、机床及加工误差等有关尺寸所形 成的封闭尺寸链。