高考数学一轮复习训练： 不等式选讲课时训练 选修4-5

选修4­5 不等式选讲
第1课时 绝对值不等式
1. 解不等式1<|x －1|<3.
解：原不等式可化为1<x －1<3或－3<x －1<－1， 解得不等式的解集为(－2，0)∪(2，4)． 2. 解不等式|x ＋1|＋|x －2|＜4.
解：当x<－1时，不等式化为－x －1＋2－x<4，
解得－3
2
<x<－1；
当－1≤x≤2时，不等式化为x ＋1＋2－x<4， 得－1≤x≤2；
当x>2时，不等式化为x ＋1＋x －2<4，
解得2<x<5
2
.
∴ 原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52. 3. 解不等式|x 2
－2x ＋4|>2x.
解：原不等式等价于x 2
－2x ＋4<－2x ①，
或x 2
－2x ＋4>2x ②. 解①得解集为∅，
解②得解集为{x|x∈R 且x≠2}．
∴ 原不等式的解集为{x|x∈R 且x≠2}．
4. 解不等式x 2
－|x|－2<0.
解：(解法1)当x≥0时，x 2
－x －2<0， 解得－1<x<2，∴ 0≤x<2；
当x<0时，x 2
＋x －2<0，解得－2<x<1， ∴ －2<x<0.
∴ 原不等式的解集为{x|－2<x<2}．
(解法2)原不等式可化为|x|2
－|x|－2<0， 解得－1<|x|<2.
∵ |x|≥0，∴ 0≤|x|<2，∴ －2<x<2. ∴ 原不等式的解集为{x|－2<x<2}．
5. 已知满足不等式|2x ＋a|＋|x －3|≤4的x 的最大值为3，求实数a 的值．
解：因为x 的最大值为3，所以x≤3，即不等式为|2x ＋a|＋3－x≤4，所以|2x ＋a|≤x ＋1，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，
－x －1≤2x＋a≤x＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x≥－1，
x ≥－a －13，x ≤1－a ，
因为x 的最大值为3，所以1－a ＝3，即a ＝－2.
6. 已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2
－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．
解：f(x)的最小值为3－|a 2
－2a|，
由题设，得|a 2
－2a|<3，解得a∈(－1，3)． 7. 已知函数f(x)＝|x|－|x －3|. (1) 解关于x 的不等式f(x)≥1；
(2) 若存在x 0∈R ，使得关于x 的不等式m ≤f(x 0)成立，求实数m 的取值范围．
解：(1) 原不等式等价于不等式组①：⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，－x ＋（x －3）≥1或②：⎩
⎪⎨⎪⎧0＜x ＜3，
x ＋（x －3）≥1或③：
⎩
⎪⎨⎪⎧x≥3，x －x ＋3≥1.不等式组①无解；解不等式组②得2≤x＜3；解不等式组③得x≥3，所以原不等式的解集为[2，＋∞)．
(2) 由题意知m≤f (x)max ，因为f(x)＝|x|－|x －3|≤|x－x ＋3|＝3，所以f(x)max ＝3，所以m≤3，即m∈(－∞，3]．
8. 已知函数f(x)＝|1－x|－|2＋x|. (1) 求f(x)的最大值；
(2) |2t －1|≥f(x)恒成立，求实数t 的取值范围． 解：(1) f(x)＝|1－x|－|2＋x|≤|1－x ＋2＋x|＝3， 当且仅当x≤－2时等号成立，∴ f(x)max ＝3. (2) 由|2t －1|≥f(x)恒成立得|2t －1|≥f(x)max ， 即|2t －1|≥3，2t －1≥3或2t －1≤－3， 解得t≥2 或 t≤－1，
∴ 实数t 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 9. 已知关于x 的不等式|ax －1|＋|ax －a|≥1(a>0)． (1) 当a ＝1时，求此不等式的解集；
(2) 若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．
解：(1) 当a ＝1时，得2|x －1|≥1, 即|x －1|≥1
2
，
解得x≥32或x≤1
2
，
∴ 不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞. (2) ∵ |ax－1|＋|ax －a|≥|a－1|， ∴ 原不等式解集为R 等价于|a －1|≥1. ∴ a ≥2或a≤0. ∵ a>0，∴ a ≥2.
∴ 实数a 的取值范围是[2，＋∞)． 10. 设函数f(x)＝|2x ＋1|－|x －2|. (1) 求不等式f(x)>2的解集；
(2) ∀x ∈R ，f (x)≥t 2
－112
t ，求实数t 的取值范围．
解：(1) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x<－1
2
，
3x －1，－12
≤x<2，
x ＋3，x ≥2，
当x<－1
2时，－x －3>2，x<－5，∴ x<－5；
当－1
2
≤x<2时，3x －1>2，x>1，∴ 1<x<2；
当x≥2时，x ＋3>2，x>－1，∴ x ≥2.
综上所述，不等式f(x)＞2的解集为{x|x>1或x<－5}．
(2) f(x)min ＝－52，若∀x ∈R ，f (x)≥t 2
－112t 恒成立，
则只需f(x)min ＝－52≥t 2－11t 2，解得1
2≤t ≤5.
即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，5.
11. 设函数f(x)＝|2x －1|－|x ＋1|. (1) 求不等式f(x)≤0的解集D ；
(2) 若存在实数x∈{x|0≤x≤2}，使得3x ＋2－x>a 成立，求实数a 的取值范围． 解：(1) 当x≤－1时，由f(x)＝－x ＋2≤0得x≥2，所以x ∈∅；
当－1<x≤12时，由f(x)＝－3x≤0得x≥0，所以0≤x≤1
2；
当x>12时，由f(x)＝x －2≤0得x≤2，所以1
2
<x ≤2.
综上，不等式f(x)≤0的解集D ＝{x|0≤x≤2}．
(2) 3x ＋2－x ＝3x ＋2－x ，由柯西不等式得(3x ＋2－x)2
≤(3＋1)[x ＋(2
－x)]＝8，∴ 3x ＋2－x ≤22，当且仅当x ＝3
2时取“＝”， ∴ a 的取值范围是(－∞，
22)．
第2课时 不等式证明的基本方法
1. 已知x≥1，y ≥1，求证：x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2
＋x ＋y.
证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1＝(1－y)[yx 2
－(1＋y)x ＋1]＝(1－y)(xy －1)(x －1)，
∵ x ≥1，y ≥1，∴ 1－y≤0，xy －1≥0，x －1≥0. 从而左边－右边≤0，
∴ x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2
＋x ＋y. 2. (2017·苏州期末)已知a ，b ，x ，y 都是正数，且a ＋b ＝1，求证：(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy. 证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数，
所以(ax ＋by)(bx ＋ay)＝ab(x 2＋y 2)＋xy(a 2＋b 2
)
≥ab ·2xy ＋xy(a 2＋b 2)＝(a ＋b)2
xy.
又a ＋b ＝1，所以(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy. 当且仅当x ＝y 时等号成立．
3. 已知x ，y ，z ∈R ，且x ＋2y ＋3z ＋8＝0.求证：(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2
≥14.
证明：因为[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](12＋22＋32
)
≥[(x －1)＋2(y ＋2)＋3(z －3)]2
＝(x ＋2y ＋3z －6)2＝142
，
当且仅当x －11＝y ＋22＝z －3
3，即x ＝z ＝0，y ＝－4时，取等号，
所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2
≥14.
4. 已知函数f(x)＝|2x －1|＋|x ＋1|，函数g(x)＝f(x)＋|x ＋1|的值域为M. (1) 求不等式f(x)≤3的解集；
(2) 若t∈M，求证：t 2
＋1≥3t
＋3t.
(1) 解：依题意，得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1.
2－x ，－1＜x ＜12，
3x ，x ≥1
2
，于是得f(x)≤3⇒⎩
⎪⎨⎪
⎧x≤－1，－3x≤3
或
⎩⎪⎨
⎪⎧－1＜x ＜12，2－x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x≥12，
3x ≤3，
解得－1≤x ≤1.即不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}． (2) 证明：g(x)＝f(x)＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x－1－2x －2|＝3，
当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时，取等号，∴M ＝[3，＋∞)．
原不等式等价于t 2
－3t ＋1－3t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝（t －3）（t 2
＋1）t
.
∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2
＋1＞0.
∴（t －3）（t 2
＋1）t ≥0.∴t 2＋1≥3t
＋3t.
5. (2017·苏、锡、常、镇二模)已知a ，b ，c 为正实数，求证：b 2
a ＋c 2
b ＋a
2
c
≥a ＋b ＋c.
证明：∵ a，b ，c 为正实数，∴ a ＋b 2a ≥2b ，b ＋c 2b ≥2c ，c ＋a
2c ≥2a ，
将上面三个式子相加得a ＋b ＋c ＋b 2a ＋c 2b ＋a
2c
≥2a ＋2b ＋2c ，
∴ b 2a ＋c 2b ＋a
2c
≥a ＋b ＋c.
6. 设a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，求证：1a 1＋1a 2＋1
a 3≥9.
证明：因为a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＝(a 1＋a 2＋a 3)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥3(a 1a 2a 3)13·3⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 1·1a 2·1a 31
3＝9(当且仅当a 1＝a 2＝a 3时等号成立)，所以1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.
7. 已知正数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，求1x ＋2y ＋3
z
的最小值．
解：1x ＋2y ＋3z ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＋42y ＋93z (x ＋2y ＋3z)
＝1＋4＋9＋2y x ＋3z x ＋4x 2y ＋12z 2y ＋9x 3z ＋18y
3z
≥14＋2
2y x ·4x 2y ＋23z x ·9x 3z ＋212z 2y ·18y 3z
＝36， 当且仅当x ＝y ＝z ＝1
6
时等号成立，
∴ 1x ＋2y ＋3
z
的最小值为36. 8. 已知x ＞0，y ＞0，z ＞0且xyz ＝1，求证：x 3＋y 3＋z 3
≥xy ＋yz ＋zx. 证明：∵ x＞0，y ＞0，z ＞0，
∴ x 3＋y 3＋z 3
≥3xyz.
同理x 3＋y 3＋1≥3xy，y 3＋z 3＋1≥3yz，x 3＋z 3
＋1≥3xz.
将以上各式相加，得3x 3＋3y 3＋3z 3
＋3≥3xyz＋3xy ＋3yz ＋3zx.
∵ xyz ＝1，∴ x 3＋y 3＋z 3
≥xy ＋yz ＋zx.
9. 已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋2b ＋4c ＝3.求1a ＋1＋1b ＋1＋1
c ＋1
的最小值，并指出取
得最小值时a ，b ，c 的值．
解：∵ a＋2b ＋4c ＝3，∴ (a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)＝10. ∵ a ，b ，c 为正数，
∴ 由柯西不等式得[(a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)]·⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥(1＋2＋
2)2.
当且仅当(a ＋1)2＝2(b ＋1)2＝4(c ＋1)2
时，等式成立．
∴1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥11＋6210
， ∴ 2(c ＋1)＋22(c ＋1)＋4(c ＋1)＝10，
∴ c ＝8－527，b ＝152－177，a ＝23－1027
.
10. 已知a ＋b ＋c ＝1，a ，b ，c ＞0.求证：
(1) abc≤1
27；
(2) a 2＋b 2＋c 2
≥3abc.
证明：(1) a ＋b ＋c≥3·3
abc ，而a ＋b ＋c ＝1⇒abc ≤127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13
时取等
号．
(2) 由柯西不等式得a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c)2
＝13，由(1)知3abc ≤13
，
∴ a 2＋b 2＋c 2
≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c ＝时取等号．
11. 已知函数f(x)＝3x ＋6，g(x)＝14－x.若存在实数x 使f(x)＋g(x)＞a 成立，求实数a 的取值范围．
解：存在实数x 使f(x)＋g(x)＞a 成立， 等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a. ∵ f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ＝3×x ＋2＋1×14－x ，
由柯西不等式得，(3×x ＋2＋1×14－x)2
≤(3＋1)·(x＋2＋14－x)＝64， ∴ f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取等号． 故实数a 的取值范围是(－∞，8)．。