数学分析第二十二章课件各种积分间的关系与场论的初步

1

zx2

x,
y


z
2 y

x,
y
dxdy
S
Dxy
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当 S : x x(u, v), y y(u, v), z z(u, v),(u, v) D 时
dS EG F2 dudv 其中 E xu2 yu2 zu2 , G xv2 yv2 zv2 ,
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习题
1求
提示: 分段积分
r a, 0 及 4
y yx ra

o
4
y0 a x
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2.Ｌ为球面 x2 y2 z2 R2在第一卦限与三个坐标
面的交线 , 求其形心 .
z
解: 如图所示 , 交线长度为
R L2
l 3 ds 3 2 R 3 R
L1
4
2
由对称性 , 形心坐标为
L3 o R
R y
z y x 1
x ds
l L1 L2 L3
任取(i ,i , i )
Si
, max 1in
i的直径，作和式
n
f (i ,i , i ) si
i 1
若当 max 1in
si 0 时,上述和式极限存在，则称此
极限为
在曲线S上的第一类曲面积分，记为
f (x, y, z)dS
S
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解：
x2ds y2ds z2ds
L
L
L
x2ds 1 (x2 y2 z2 )ds
L
3L
a2 ds 2 a3
3L
3
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定义 21.2
设 S是空间光滑曲面 z z x, y ,(x, y) Dxy ,
义在 S上. 对于D的任意分法为 i 相应得到S的分法Si
义在 L上. L的两端点为A,B. 依次用分点 A A0, A1, , An B
将L分为 n小段，每小段的弧长记为 si ，不妨将第 i
小段弧也记为 si ，任取 (i ,i , i ) si ，作和式 n
f (i ,i , i ) si
i 1
若当 max 1in
1
zx2

x,
y

z
2 y

x,
y

a a2 x2 y2
dS
a
则

Sz
S
a2 x2 y2 dxdy
2
a2 h2
d
a
rdr 2a ln a
0
0
a2 r2
h
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例5. 计算 (x y z)ds ,其中S : x2 y2 z2 a2, z 0
从A至B依次插入分点 A A0 , A1, , An B ,它将曲线L分为
n 段.记第 i段弧长为 si (i 1, 2, .n). 在第i 段 上任取一点(i ,i , i ),
则第 i 弧段的质量近似于 f (i ,i , i ) si 从而L 的质量就近似于
f (i ,i , i )
si
当 max 1in
si 0
时,上述和式的极限就是L的质量
n
M
lim 0
i 1
f (i ,i , i )Si
这种定义在曲线L的和式的极限,就称为 f (x, y, z) 在L 的第一型曲线积分.
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2
定义 21.1
设 L是空间中一条有限长的光滑曲线,
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f (x, y, z)ds如何计算？
S
定理 S：z z x, y ,(x, y) Dxy，是光滑曲面，Dxy是有界闭区域
(Dxy为S在Oxy面上的投影），f 在S上连续，则
f (x, y)在S上 的第一型曲面积分存在，且
f (x, y, z)ds f (x, y, z x, y)
解: (1)
2 b2 a2
(2)
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小结
1.第一型曲线积分
设有空间的曲线段L，密度函数为 f (x, ，y, z求) 其质量
n
L
f (x, y, z)ds
lim 0
i 1
f (i ,i , i )Si
n
特别的,当 L为平面曲线时.
xi , 便得到 f 沿L对 y 或对 z 的第二型曲线积分:
f (x, y, z)dy 或 f (x, y, z)dz
L
L
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定理21.3 设函数 f (x, y, z) 定义在空间光滑曲线弧 AB
AB : x x(t), y y(t), z z(t), t 上的连续函数，t 对应于A，
L
0
ab
2
a2 b2 b2 a2 cos 2 d cos 2
40
2
2
ab a2 ab b2 3 ab
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6
例2 计算 I x2ds，其中L为球面 x2 y2 z2 a2 L 被平面 x y z 0 所截得的圆周.
F xu xv yu yv zu zv
f (x, y, z)ds f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) EG F 2 dudv
S
D
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说明 1）公式的记忆：“代进去”
2）S的方程为x x y, z , y, zDyz 或 y y z, x , z, x Dzx 时公式如何
L
f (x, y)ds lim 0
i 1
f (i ,i )Di
2.定理
设L 为光滑曲线 x x(t) , y y(t) , z z(t) , t
f (x, y, z)在L上连续.则
L
f
(x,
y, z)ds



f
z t ,
y t , z(t)
分存在,且
L f (x, y, z)ds



f
xt,
yt, zt
x2 t y2 t z2 t dt
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第一型曲线积分的性质
(1) f (x, y, z)ds f (x, y, z)ds
AB
BA
(2) [ f (x, y, z) g(x, y, z)]ds f (x, y, z)ds g(x, y, z)ds
y

x
x ax
x2
,0

x

a
则

a
x2

0
ax x2
4x
ax x2
a 2x 2 ax x2

dx

a3 6
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例2.求在力 F y,x,x y z 作用下，质点由A到B所做的功
(1) AB 是螺旋线 L1 : x a cos t, y a sint,z bt,0 t 2 (2) AB 是直线段 L2 : x a, y 0,z t,0 t 2b
(x y z)ds
S
a(cos sin sin sin cos) a4 sin2 d d a3
D
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§2. 第二型曲线积分与曲面积分
1.变力作功与第二型曲线积分
定义21.3 设函数 f (x, y, z) 定义在空间光滑曲线弧L上,L的两端点
为A,B.从A,B给 AB 一个分法: A M0, M1, , Mn B,其中 Mi (xi , yi , zi ),
记 Mi1Mi 的弧长为
式
si ,
xi
n
xi
xi1, 任取(i ,i , i ) Mi1Mi ,作和
f (i ,i , i ) xi.
x2 t y2 t z2(t)dt
特别 当L 为平面光滑曲线 x (t) , y (t) , t
f (x, y)在L上连续,则
f (x, y)ds

f
t , t
2 t 2 t dt
L

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t 对应于B，且 AB 自身不相交，则函数 f 沿有向曲线 L 的第二型
曲线积分 f (x, y, z)dx. ，且有
AB

f (x, y, z)dx f (x(t), y(t), z(t)) x(t)dt
AB

类似地有， f (x, y, z)dy f (x(t), y(t), z(t)) y(t)dt AB

f (x, y, z)dz f (x(t), y(t), z(t)) z(t)dt
AB
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例1. 计算
其中
(1) AB 是上半圆周 x2 y2 ax y 0
(2) AB 是上半圆周 y 0 0 x a
解: (1)
AB
参数方程：
S
x a cos sin,
解：

y

a
sin
sin ,
z a cos,
0 2 , 0
2
a sin sin a cos sin 0

a
cos
cos
asin cos
a
sin

E a2 sin2 , G a2 , F 0
求 I L xyds .
解：设 x a cos , y x a sin , 0
2
ds x2 ( ) y2 ( )d a2 sin2 b2 cos2 d

I xyds 2 ab sin cos a2 sin2 b2 cos2 d
si 0时上述和式极限存在，则称此
极限为
在曲线L上的第一类曲线积分，记为
f (x, y, z)ds .总的来说,就是
n
L
L f (x, y, z)d优s秀课件li，m精0 彩i无1 限f！(i ,i , i ) si
3
定理21.1
设L 为光滑曲线 x x(t) y y(t) z z(t) t f (x, y, z)在L上连续.则 f (x, y, z) 在L上的第一型曲线积
i 1
若当 max 1in
si 0 时,
的极限存在,则称该极限为函数
f
沿有向曲线
L对x 的第二型曲线积分,记为 f (x, y, z)dx, 或 f (x, y, z)dx.
L
AB
如果在上述求和时,分别用 yi yi yi1 或
zi zi zi1代替
AB
AB
AB
(3) kf (x, y, z)ds k f (x, y, z)ds
AB
AB
(4) f (x, y, z)ds f (x, y, z)ds f (x, y, z)ds
AB
AC
CB
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例1
设L
是椭圆
x2 a2

y2 b2
1
在第一象限部分，
S
D
5）当S是Oxy平面上的平面块D时。第一类曲面积分就是二重积分
f (x, y)ds f (x, y)dxdy
S
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dS
例4
计算曲面积分
S
z
，其中S为球面
x2 y2 z2 a2在平面 z h (0 h a) 之上的部分.
解： D : x2 y2 a2 h2
第二十一章 曲线积分与曲面积分
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i §1. 第一型曲线积分与曲面积分
背景：前面，求几何体的质量 1.第一型曲线曲、面积分
我们的问题是,设有空间的曲线段L，其上每点有线性密度, 如何
求其质量为简单起见,设空间曲线段L是可以求长的,其端点为A,B又设
密度函数f (x, y, z) 在曲线L上连续,我们来求这曲线段L的质量.
3）当 f (x, y, z) 1 时，为曲面S的面积公式
4)当光滑曲面S由参数方程：x xu,v, y y(u,v), z (u,v) ,u,v D
时面积元素 ds EG F2 dudv 这时
f (x, y, z)ds f (x(u, v), y u, v, z u, v) EG F 2 dudv