高中数学第二章平面解析几何初步2.2.2第2课时直线的两
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2.直线l与x轴交点A(a,0)；与y轴交点B(0，b)，其中a≠0，b≠0，
则得直线方程 ax＋by＝1，叫做直线的截距式方程.
3.若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)且线段P1P2的 x1 x2
中点M的坐标为(x，y)，则
___2___ y1 y2
.
___2___
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
解 设BC的中点为M(x0，y0)， 则 x0＝5＋2 0＝52，y0＝－4＋2 －2＝－3. ∴M52，－3， 又BC边上的中线经过点A(－3,2).
y－2 x－－3 ∴由两点式得－3－2＝52－－3， 即10x＋11y＋8＝0. 故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
∵A(2，－1)，C(4,1)，由直线方程的两点式可得直线 AC 的
y－1 x－4
方程为
＝，
－1－1 2－4
即x－y－3＝0.
同理可由直线方程的两点式得直线 BC 的方程为
y－2 x－2 ＝，
1－2 4－2 即x＋2y－6＝0.
要点二 直线的截距式方程 例2 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的 直线l的方程. 解 设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b. ①当 a≠0，b≠0 时，设 l 的方程为ax＋by＝1. ∵点(4，－3)在直线上，
2 ，
故满足条件的直线有3条.
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5.求过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的
方程. 解 ①若直线过原点，则 k＝－43， ∴y＝－34x，即 4x＋3y＝0. ②若直线不过原点，设ax＋ay＝1，即 x＋y＝a.
∴a＝3＋(－4)＝－1， ∴x＋y＋1＝0. 故直线方程为4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0.
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2.经过 P(4,0)，Q(0，－3)两点的直线方程是( C )
A.4x＋3y＝1
B.3x＋4y＝1
C.4x－3y＝1
D.3x－4y＝1
解析 因为由点坐标知直线在x轴，y轴上截距分别为4，－3，
所以直线方程为4x＋－y3＝1.
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3.经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为( B )
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即 kx－y＋2k＋3＝0，它与坐标轴的交点分别为 M(0，2k＋3)、 N－2－3k，0. 再由 12＝12|OM|·|ON|＝21|2k＋3|×|－2－3k|， 可得|4k＋9k＋12|＝24，
即 4k＋9k＋12＝24，或 4k＋9k＋12＝－24.
解得
k＝23或
3y.2经－y过1 两 点 P1(x1 ， y1) ， P2(x2 ， y2) 的 直 线 的 斜 率 k ＝ _x_2_－__x1_(x1≠x2).
[预习导引]
1y1.≠两y点2的确直定线一方条程直yy线2－－.y经y11＝过x两x2－－点xxP11，1(x叫1，做y直1)，线的P2两(x2点，式y2)方且程x1≠. x2，
第二章——
第2课时 直线的两点式方程
[学习目标] 1.掌握直线方程的两点式的形式，了解其适用范围. 2.了解直线方程截距式的形式，特征及其适用范围. 3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
[知识链接] 1.直线的点斜式方程为 y－y0＝k(x－x0) . 2.直线的斜截式方程为 y＝kx＋b.
∴4a＋－b3＝1， 若a＝b，则a＝b＝1，直线的方程为x＋y－1＝0. 若a＝－b，则a＝7，b＝－7，直线的方程为x－y－7＝0. ②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或 3x＋4y＝0.
规律方法 (1)当直线与两坐标轴相交时，一般可考虑用 截距式表示直线方程，用待定系数法求解. (2)选用截距式时一定要注意条件，直线不能过原点.
跟踪演练2 求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的 直线l的方程. 解 设直线的两截距都是a，则有 ①当 a＝0 时，直线为 y＝kx，将 P(2,3)代入得 k＝32， ∴l：3x－2y＝0； ②当 a≠0 时，直线设为ax＋ay＝1，即 x＋y＝a，
把P(2,3)代入得a＝5， ∴l：x＋y＝5. ∴直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
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1.过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( A )
A.y＝x＋3
B.y＝－x＋1
C.y＝x＋2
D.y＝－x－2
y－1 x＋2 解析 代入两点式得直线方程4－1＝1＋2，
整理得y＝x＋3.
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课堂小结 1.求直线的两点式方程的策略以及注意点 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要 判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直 于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.
A.x＝2
B.y＝2
C.x＝3
D.x＝6
解析 由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，
所以直线方程为y＝2，
故选B.
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4.求过点P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直 线的条数. 解 设过点P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的 直线的斜率为k， 则有直线的方程为y－3＝k(x＋2)，
规律方法 (1)首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应 形式的要求，对含有字母的则需分类讨论；(2)注意问题叙 述的异同，例1中第一问是表示的线段，所以要添加范围； 第二问则表示的是直线.
跟踪演练1 已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)， C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程. 解 ∵A(2，－1)，B(2,2)，A、B两点横坐标相同， ∴直线AB与x轴垂直， 故其方程为x＝2.
要点一 直线的两点式方程
例1 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边的方程； 解 ∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
y－－4 x－5
∴由两点式得
＝，
－2－－4 0－5
即2x＋5y＋10＝0. 故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5).
则得直线方程 ax＋by＝1，叫做直线的截距式方程.
3.若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)且线段P1P2的 x1 x2
中点M的坐标为(x，y)，则
___2___ y1 y2
.
___2___
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
解 设BC的中点为M(x0，y0)， 则 x0＝5＋2 0＝52，y0＝－4＋2 －2＝－3. ∴M52，－3， 又BC边上的中线经过点A(－3,2).
y－2 x－－3 ∴由两点式得－3－2＝52－－3， 即10x＋11y＋8＝0. 故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
∵A(2，－1)，C(4,1)，由直线方程的两点式可得直线 AC 的
y－1 x－4
方程为
＝，
－1－1 2－4
即x－y－3＝0.
同理可由直线方程的两点式得直线 BC 的方程为
y－2 x－2 ＝，
1－2 4－2 即x＋2y－6＝0.
要点二 直线的截距式方程 例2 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的 直线l的方程. 解 设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b. ①当 a≠0，b≠0 时，设 l 的方程为ax＋by＝1. ∵点(4，－3)在直线上，
2 ，
故满足条件的直线有3条.
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5.求过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的
方程. 解 ①若直线过原点，则 k＝－43， ∴y＝－34x，即 4x＋3y＝0. ②若直线不过原点，设ax＋ay＝1，即 x＋y＝a.
∴a＝3＋(－4)＝－1， ∴x＋y＋1＝0. 故直线方程为4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0.
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2.经过 P(4,0)，Q(0，－3)两点的直线方程是( C )
A.4x＋3y＝1
B.3x＋4y＝1
C.4x－3y＝1
D.3x－4y＝1
解析 因为由点坐标知直线在x轴，y轴上截距分别为4，－3，
所以直线方程为4x＋－y3＝1.
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3.经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为( B )
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即 kx－y＋2k＋3＝0，它与坐标轴的交点分别为 M(0，2k＋3)、 N－2－3k，0. 再由 12＝12|OM|·|ON|＝21|2k＋3|×|－2－3k|， 可得|4k＋9k＋12|＝24，
即 4k＋9k＋12＝24，或 4k＋9k＋12＝－24.
解得
k＝23或
3y.2经－y过1 两 点 P1(x1 ， y1) ， P2(x2 ， y2) 的 直 线 的 斜 率 k ＝ _x_2_－__x1_(x1≠x2).
[预习导引]
1y1.≠两y点2的确直定线一方条程直yy线2－－.y经y11＝过x两x2－－点xxP11，1(x叫1，做y直1)，线的P2两(x2点，式y2)方且程x1≠. x2，
第二章——
第2课时 直线的两点式方程
[学习目标] 1.掌握直线方程的两点式的形式，了解其适用范围. 2.了解直线方程截距式的形式，特征及其适用范围. 3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
[知识链接] 1.直线的点斜式方程为 y－y0＝k(x－x0) . 2.直线的斜截式方程为 y＝kx＋b.
∴4a＋－b3＝1， 若a＝b，则a＝b＝1，直线的方程为x＋y－1＝0. 若a＝－b，则a＝7，b＝－7，直线的方程为x－y－7＝0. ②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或 3x＋4y＝0.
规律方法 (1)当直线与两坐标轴相交时，一般可考虑用 截距式表示直线方程，用待定系数法求解. (2)选用截距式时一定要注意条件，直线不能过原点.
跟踪演练2 求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的 直线l的方程. 解 设直线的两截距都是a，则有 ①当 a＝0 时，直线为 y＝kx，将 P(2,3)代入得 k＝32， ∴l：3x－2y＝0； ②当 a≠0 时，直线设为ax＋ay＝1，即 x＋y＝a，
把P(2,3)代入得a＝5， ∴l：x＋y＝5. ∴直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
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1.过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( A )
A.y＝x＋3
B.y＝－x＋1
C.y＝x＋2
D.y＝－x－2
y－1 x＋2 解析 代入两点式得直线方程4－1＝1＋2，
整理得y＝x＋3.
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课堂小结 1.求直线的两点式方程的策略以及注意点 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要 判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直 于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.
A.x＝2
B.y＝2
C.x＝3
D.x＝6
解析 由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，
所以直线方程为y＝2，
故选B.
12345
4.求过点P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直 线的条数. 解 设过点P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的 直线的斜率为k， 则有直线的方程为y－3＝k(x＋2)，
规律方法 (1)首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应 形式的要求，对含有字母的则需分类讨论；(2)注意问题叙 述的异同，例1中第一问是表示的线段，所以要添加范围； 第二问则表示的是直线.
跟踪演练1 已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)， C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程. 解 ∵A(2，－1)，B(2,2)，A、B两点横坐标相同， ∴直线AB与x轴垂直， 故其方程为x＝2.
要点一 直线的两点式方程
例1 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边的方程； 解 ∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
y－－4 x－5
∴由两点式得
＝，
－2－－4 0－5
即2x＋5y＋10＝0. 故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5).