精品解析：2020届高三年级上学期第三次月考数学试题(解析版)

2019~2020学年度高三年级上学期第三次月考数学试卷
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{
}
2
9A x Z x =∈<，121B x x ⎧⎫
=<⎨⎬-⎩⎭
，则A B =I （ ）
A. {}2,1,0--
B. {}2,1,0,2--
C. ()33,1,32⎛
⎫-⋃
⎪⎝⎭ D. 3,32⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
算出,A B 后可得它们的交集. 【详解】{}2,1,0,1,2A =--，由121
x <-得
2301x x ->-，解得3
2x >或1x <，因此{}2,1,0,2A B ⋂=--，故选B.
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题，求分式不等式的解集时要注意等价转化. 2.设x ∈R ，则“20x -≥”是“11x -≤”的（ ） A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
首先解两个不等式，再根据充分、必要条件的知识选出正确选项.
【详解】由20x -≥解得2x ≤.由11x -≤得111,02x x -≤-≤≤≤.所以“20x -≥”是“11x -≤”的必要而不充分条件 故选：C
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值不等式的解法，属于基础题. 3.设2log 3a =，4log 6b =，0.15c -=，则（ ）
A. a b c >>
B. b a c >>
C. c a b >>
D. c b a >>
【答案】A 【解析】 【分析】
先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,a b ,再由中间值1可得三者的大小关系. 【详解】()2log 31,2a =∈
，()422log 6log 1,log 3b ==，()0.1
50,1c -=∈，因此a b c >>，故选：
A.
【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的
单调性比较大小,属于基础题.
4.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P (X <2)等于
A. 715
B.
815
C. 1415
D. 1
【答案】C 【解析】 【分析】
根据超几何分布的概率公式计算各种可能的概率，得出结果 【详解】由题意，知X 取0，1，2，X 服从超几何分布， 它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，
即P(X ＝0)＝27210715C C =，P(X ＝1)＝11732
10
715C C C =⋅，P(X ＝2)＝232101
15C C =， 于是P(X<2)＝P(X ＝0)＋P(X ＝1)＝7714
151515
+= 故选C
【点睛】本题主要考查了运用超几何分布求概率，分别求出满足题意的情况，然后相加，属于中档题． 5.已知圆M ：()()2
2
124x y -++=和直线l ：y x m =+；若直线l 与圆M 相交于A ，B 两点，MAB
∆的面积为2，则m 值为（ ） A. -1或3 B. 1或5
C. -1或-5
D. 2或6
【答案】C 【解析】
【分析】
利用垂径定理表示224AB d =-,再由面积可得2d =
,利用点到直线距离列方程求解即可.
【详解】圆M ：()()2
2
124x y -++=，可得()1,2M -，半径2r =. ∴圆心M 到直线l 的距离1232
2
m
m d +++=
=
.
∵MAB ∆的面积为2，224AB d =-， ∴
21
2422
d d ⨯-⨯=， 解得2d =.
∴
322
m +=，解得1m =-或-5.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,利用垂径定理表示弦长是解题的关键,属于基础题. 6.函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >， 0>ω， 2π
ϕ<
）的部分图象如图， 1324
f π⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
（ ）
A. 62
-
B. 3
C. 22
-
D. -1
【答案】D 【解析】
【详解】根据函数()()002f x Asin x A πωϕωϕ⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
＞，＞，
＜的部分图象知， 2，
7412T π=﹣34ππ=，∴T=2πω
=π，解得ω=2；
由五点法画图知，ω×3π+φ23
π=+φ=π，解得φ=3π，∴f （x ）
sin （2x+3π）， ∴1324f π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
sin （﹣
1312π+3π）
sin （﹣34π）=﹣1，故选D ． 【名师点睛】解决函数()()sin f x A x ωϕ=+综合性问题的注意点 （1）结合条件确定参数,,A ωϕ的值，进而得到函数的解析式．
（2）解题时要将x ωϕ+看作一个整体，利用整体代换
的
方法，并结合正弦函数的相关性质求解． （3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．
7.已知双曲线2222:1x y C a b
-=（0,0a b >>）的焦距为4，其与抛物线2
:3
E y x =交于
,A B 两点，O 为
坐标原点，若OAB ∆为正三角形，则C 的离心率为（ ）
A.
2
【答案】C 【解析】 【分析】
设OAB ∆的边长为2m ，则)
,A
m ，利用A 在抛物线上可得1m
=，把)
A
代入双曲线方程，
结合2
224a b c +==可求出a b ==
.
【详解】设OAB ∆的边长为2m ，由抛物线和双曲线均关于x 轴对称， 可设))
,,,A
m B
m -，
又23
m =
，故1m =，所以)
A ，
故2
231
1a b -=，又2c =，即224a b +=，解得a b ==
则c
e a
==
故选C ．
【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．
8.设函数()f x '是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数， ()10f -= ，且当0x > 时，()()
0xf x f x ->'，
则使得()0f x >成立的x 的取值范围是 （ ）
A. ()()-1,01⋃+∞，
B. ()()--10,1∞⋃，
C. ()()--1-1,0∞⋃，
D. ()()0,11,⋃+∞
【答案】A 【解析】 设g （x ）=
()f x x
，则g （x ）的导数为：g′（x ）=2()()xf x f x x -'，
∵当x ＞0时，xf′（x ）﹣f （x ）＞0， 即当x ＞0时，g′（x ）恒大于0， ∴当x ＞0时，函数g （x ）为增函数， ∵f （x ）为奇函数
∴函数g （x ）为定义域上的
偶函数 又∵g（﹣1）=(1)
1
f --=0， ∵f（x ）＞0， ∴当x ＞0时，
()f x x ＞0，当x ＜0时，()
f x x
＜0， ∴当x ＞0时，g （x ）＞0=g （1），当x ＜0时，g （x ）＜0=g （﹣1）， ∴x＞1或﹣1＜x ＜0
故使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）， 故答案为A ．
点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集．
9.已知函数()()2
1ln 10210x x f x x x x ⎧-+≤=⎨-++>⎩
，函数()()g x f x x m =--在定义域内恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A. 513,11,44⎛⎫⎛⎫
-
-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. 131,
4⎛⎫
⎪⎝⎭
C. 131,4⎛⎫- ⎪⎝
⎭
D. 513,
44⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
函数()()g x f x x m =--在定义域内恰有三个不同的零点，则函数()f x 的图象与y x m =-的图象恰有三个不同的交点,数形结合找到临界位置,平移函数y x m =-即可得解
【详解】函数()()g x f x x m =--在定义域内恰有三个不同的零点，则函数()f x 的图象与y x m =-的图象恰有三个不同的交点.
由221x x x m -++=-得: 210x x m ---=, 相切时有: 14(1)0m ∆=++=得5
4
m =-
; 由221x x m x -++=-得2310x x m -+-=, 相切时有: 94(1)0m ∆=--=得134m =
. ()()1
0,1ln 1,'()1
x f x x f x x ≤=-+=-+
在(0,1)处切线斜率为'(0)1f =-. 如图所示，函数13
4
y x =-
的图象与函数()f x 的图象相切，函数|1|y x =-的图象过点()0,1，函数1y x =+的图象过点()0,1，函数5
4
y x =+
的图象与函数()f x 的图象相切，从而结合图象可知实数m 的取值范围为513,11,44⎛⎫⎛⎫
-
-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
故选:A.
【点睛】本题主要考查了利用数形结合研究函数的零点,将其转化为两个函数的交点,准确作图是解题的关键,属于中档题.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
10.已知复数33i
z i
--=，则z 的虚部为______. 【答案】3 【解析】 【分析】
利用复数的乘法和除法运算可得13z i =-,进而可得其共轭复数,从而可得解. 【详解】()333313i i
z i i i i i
----===--=--，从而13z i =+，z 的虚部为3. 故答案为:3.
【点睛】本题主要考查了复数的运算及共轭复数和虚部的概念,属于基础题.
11.9
12x x ⎫-⎪⎭展开式中的常数项为______.
【答案】212
- 【解析】 【分析】
利用二项展开式的通项公式即可求出.
【详解】因为993r
r 2
2+19
911=()()22
r r
r r r r T C x
x C x
----=-，
令
9302
r
-=，解得3r =， 所以展开式中常数项为3
3
49121=()2
2
T C -=-
. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式，属于中档题.
12.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳
马”P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，1AD =，则该“阳马”的最长棱长等于______；外接球表面积等于______.
【答案】 (1). 3 (2). 9π 【解析】 【分析】
分别求各边长即可得最长棱,通过补成长方体可得球半径.
【详解】如图，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为长方形，且2PA AB ==，1AD =， 所以22,5,PB PD ==2222222213PC PA AB BC =++=++=.
最长棱为:3.
该几何体可以通过补体得长方体,所以其外接球的半径为
1322
PC =. 则其外接球的表面积为2
3492ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭
，故答案为：3；9π.
【点睛】本题主要考查了四棱锥的几何特征及外接球问题,属于基础题.
13.在ABC ∆中，4AC =，3BC =，30ACB ∠=︒，点E 为边AC 的中点，2133
AD AB AC =+u u u v u u u v u u u v
，则
CA CB ⋅=u u u v u u u v ______；CD BE ⋅=u u u v u u u v
______.
【答案】 (1). 3 (2). 236
【解析】 【分析】
直接利用数量积的定义可得CA CB ⋅u u u r u u u r ,利用CA u u u r ，u u r CB 做基底表示CD uuu r 和BE u u u r
,再由向量的运算律直接求解即可.
【详解】取两个基底向CA u u u r ，u u r
CB ，易知其夹角为30°，且4CA =u u u r ，3CB =u u u r ， ∴cos30
CA CB CA CB ⋅=⋅⋅︒u u u r u u u r u u u r u u u r 34363=⨯⨯=.
又2133CD CA AD CA AB AC =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()
212333
CA CB CA CA CB =+--=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
12
BE CE CB CA CB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
∴22112323
3CD BE CB CA CB CA CB CB ⎛⎫⋅=⋅-=⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2
1263323633=⨯-⨯=-.
故答案为：63，236-.
【点睛】本题主要考查了向量的计算,利用基底表示向量并运算是解题的关键,属于基础题.
14.“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，第
()*N ,2n n n ∈≥行的数字之和为______；去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，
10，5，则此数列的前46项和为______.
【答案】 (1). 12n - (2). 2037 【解析】 【分析】
由n 次二项式系数对应杨辉三角形的第1n +行，从而求系数和即可得第一个空, 若去除所有为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，…，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，进而找到第46项所在的位置,利用每一行的和为等比数列的基础上减去等差数列的和,即可得解.
【详解】n 次二项式系数对应杨辉三角形的第1n +行，例如：()2
2121x x x +=++，系数分别为1，2，1，
对应杨辉三角形的第三行：
令1x =，就可以求出该行的系数和，第1行为02，第2行为12，第3行为22，依此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，即杨辉三角第(
)
*
,2n n N n ∈≥行的数字之和为12n -，
杨辉三角的前n 行的所有项的和为12
2112
n
n n S -==--.
若去除所有为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，…，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则()
12
n n n T +=
，且945T =，可得当9n =即第11行，再加上第12行的前1个数（去除两边的1），所有项的个数和为46，则杨辉三角形的前11行所有项的和为11
1121S =-. 则此数列前46项的和为11
1121112112037S -+=-=.
故答案为：12n -，2037.
【点睛】本题属于二项式和等差等比数列的综合题,以杨辉三角为背景处理和的问题,属于难题.
15.已知正实数a ，b 满足23a b +=，则22212
2
a b a b +-+
+的
最小值是_______．
【答案】
13
5
【解析】 【分析】
由22212
2a b a b +-+
+=2a+1a +()2(2)4222
b b b +-+++，代换后利用基本不等式即可求解． 【详解】正实数a ，b 满足2a +b=3， ∴2a+b+2=5，
则22212
2a b a b +-+
+=2a+1a +()2(2)4222b b b +-+++=2a+b+2+122a b ++﹣4 =1+
122a b ++=1+15（12
2a b ++）[2a+（b+2）] =1+15（4+242b a a b +++）()11445≥++=13
5
，
当且仅当242b a a b +=+且2a +b=3即a=54，b=1
2
时取等号，
即22212
2
a b a b +-+
+的最小值是135． 故答案为
13
5
【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.已知函数()2
sin 22sin 6x f x x π⎛
⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）若将()f x 的图象向左平移6π
个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值；
（3）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若3
22
A f ⎛⎫=
⎪⎝⎭，7b c +=，ABC ∆的面积为
a 的长.
【答案】（1）π， 5,36ππk πk π⎡
⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）最大值为2，最小值为1
2；（3）5. 【解析】 【分析】
(1)化简函数为
()sin 216f x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，由周期公式可得周期，再由
3222,2
6
2k x k k Z π
π
π
ππ+≤-
≤
+∈可得减区间； （2）先得到()sin 216g x x π⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭，再求得72,666x πππ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
，结合正弦函数的性质可得最值； （3）先由三角方程得3
A π
=
，再由面积公式得8bc =，结合余弦定理可得解.
【详解】（1）()1sin 21cos 22cos 2162x x x x f x π⎛⎫=++-=-+ ⎪⎝
⎭sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，
最小正周期22
T π
π=
=，
令
3222,2
6
2k x k k Z π
π
πππ+≤-
≤
+∈得单调减区间为5,36ππk πk π⎡
⎤++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈.
（2）由已知得()sin 216g x x π⎛
⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭，0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
， ∴()max 26g x g π⎛⎫==
⎪⎝⎭，∴()min
1
22
g x g π⎛⎫== ⎪⎝⎭. （3）∵3sin 1262A f A π⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，∴1sin 62A π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭， ∵56
6
6A π
π
π
-
<-
<
，∴3
A π=， 又13sin 2323ABC S bc bc π∆=
==，∴8bc =， 根据余弦定理()2
2
2
2
2cos 33
a b c bc b c bc π
=+-=+-，
又7b c +=，∴5a =.
【点睛】本题主要三角函数图像性质进而解三角形的综合题，涉及三角恒等变换的化简、正弦型函数的周期单调区间及最值、余弦定理和面积公式，属于中档题.
17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，
60BCD ∠=︒，2PA PD ==，E 为BC 的中点，点Q 在侧棱PC 上.
（1）求证：AD PB ⊥；.
（2）若Q 是PC 的中点，求二面角E DQ C --的余弦值； （3）若
PQ
PC
λ=，当//PA 平面DEQ 时，求λ的值.
【答案】（1）见解析；（2）21
7
；（3）23λ=.
【解析】
分析：（1）先利用等腰三角形的“三线合一”和面面垂直的性质得到线面垂直，再利用菱形的对角线垂直得到线线垂直，进而建立空间直角坐标系，利用两直线的方向向量数量积为0进行求解；（2）先求出两平面的法向量，再利用法向量的夹角公式进行证明；（3）利用三点共线设出Q 的坐标，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，利用两向量数量积为0进行求解. 详解：（1）取AD 的中点O ，连结OP ，OB ，BD ， ∵ PA PD =， ∴ PO AD ⊥，
∵ 侧面PAD ⊥底面ABCD ， 平面PAD ⋂平面ABCD AD =， ∴ PO ⊥底面ABCD ，
∵ 底面ABCD 是菱形，60BCD ∠=︒， ∴ BA BD =，BO AD ⊥，
以O 为原点，分别以OA u u u v ，OB uuu v ，OP uuu v
方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -， 由题意可得()0,0,0O ，()1,0,0A
，()
B
，()C -，()1,0,0D -
，()
E -，()0,0,1P ，
()2,0,0AD =-u u u v
，
()
1PB -u u u v ， ∵ ·0AD PB =u u u v u u u v
，∴ AD PB ⊥.
（2
）由题意，11,,22Q ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，
设平面DQC 的一个法向量()1,,n x y z =u v
，()
DC =-u u u v
，12DQ ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
u u u v ，
由11·0·0n DC n DQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩u v u u u v u v u u u v
，即0
102x x z ⎧-+=+=，
令x =1y =
，z =
1n =
u v
，
又平面EDQ 的一个法向量()21,0,0n =u u v
，
由1212
12
·cos ,7n n n n n n ==⋅u v u u v
u v u u v u v u u v ， 右图可知，二面角E DQ C --
.
（3）∵ PQ PC λ=u u u v u u u v
，01λ<<，
易得()
2,1Q λλ--，
设平面DEQ 的一个法向量()3,,n x y z =u u v
，
()
DE =u u u v
，()
2,1DQ λλ=-+-u u u v
，
由33·0·0n DE n DQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u v u u u v
u u v u u u v
，即(
)()02110
x y z λλ⎧=⎪
⎨-++-=⎪⎩， 取21z λ=-，得()31,0,21n λλ=--u u v
，
又()1,0,1PA =-u u u v
，
∵ //PA 平面DEQ ，∴ 3·0PAn =u u u v u u v
， 即()()()11210λλ-+--=，得2
3
λ=， 所以当2
3
λ=
时，//PA 平面DEQ . 点睛：本题考查空间中垂直的转化、空间向量在立体几何中的应用等知识，意在考查学生的空间想象能力和基本计算能力.
18.已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，对*N n ∀∈都有1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-成立.
（1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （3）2
1
n
n i
i S a
==
∑，21
n
n i
i T b
==
∑，求证：6n n S T -<.
【答案】（1）证明见解析；（2）1122n
n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，1122n
n b n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）将条件中两式分别相加和相减即可得等比和等差的递推关系，从而得证；
（2）由（1）可得1
12n n n a b -⎛⎫+= ⎪
⎝⎭
，()12121n n a b n n -=+-=-，从而可解得{}n a 和{}n b 的通项公式；
（3）由221
1
n n
n n i i
i i S T a b
==-=
-∑∑()()1
n
i i i i i a b a b ==+-∑，设()()n n n n n c a b a b =+-，则
()1
1212n n c n -⎛⎫
=-⋅ ⎪
⎝⎭
，进而利用错位相减即可得解.
【详解】（1）利用等差数列与等比数列的定义证明即可. ∵1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-，
∴()()1142n n n n a b a b +++=+，()()11448n n n n a b a b ++-=-+， 即()111
2
n n n n a b a b +++=
+，112n n n n a b a b ++=-+-； 又111a b +=，111a b -=， ∴{}n n a b +是首项为1，公比为
1
2
的等比数列；{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列. （2）由（1）结合等差、等比的通项公式可得.
由（1）可得：1
12n n n a b -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()12121n n a b n n -=+-=-.
从而1
12212n n a n -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
，1
12212n n b n -⎛⎫
=-+ ⎪
⎝⎭
，
即1122n
n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，1122n
n b n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
. （3）证明：()2
2221
1
1
n n n
n n i
i
i
i
i i i S T a b a
b
===-=
-=-∑∑∑()()1
n
i
i
i
i
i a b a b ==+-∑，
设()()n n n n n c a b a b =+-，则()1
1212n n c n -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭
，
()0
1
2
1
1111135212222n n n S T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=⨯+⨯+⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L ，
()1
2
3
11111352222n n S T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1
11232122n n
n n -⎛⎫
⎛⎫
++-⋅+-⋅ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
L ，
由上下两式错位相减得：()()12311111111221222222n n
n n S T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=+⨯++++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
L ，
即()1
162362n n n S T n -⎛⎫-=-+⋅< ⎪⎝⎭
.
【点睛】本题主要考查了利用递推关系证明等差等比数列及错位相减求和，属于中档题.
19.如图，已知椭圆
2
2 :
1
4
x
O y
+=的右焦点为F，点,B C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线:2
l y=-上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M .
（1）当直线PM过椭圆的右焦点F时，求FBM
∆的面积；
（2）记直线,
BM BP的斜率分别为
12
,k k，求证：
12
k k⋅为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，再利用三角形的面积公式进行求解；（2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和斜率公式进行证明．
试题解析：（1）由题意(0,1),(0,1)
B C-，焦点3,0)
F，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM
1
1
3
y
+=
-
，即
3
1
y x
=-，
联立，
2
21
4
{
3
1
x
y
y x
+=
=-
，解得
83
{
1
7
x
y
=
=
，或
{
1
x
y
=
=-
（舍），即
831
()
77
M.
连BF，则直线BF1
1
3
y
=，即330
x=，
而2
BF a
==，
22
83123
33
773
7
27
1(3)
d
+⨯-
===
+
.
故1133
22277
MBF S BF d ∆=
⋅=⨯⨯=
（2）设(,2)P m -，且0m ≠，则直线PM 的斜率为
1(2)10k m m
---=
=-，
则直线PM 的方程为1
1y x m
=-
-， 联立2
21
1{
14
y x m
x y =-
-+=，化简得2248
(1)0x x m m
+
+=， 解得2
2284(,)44
m m M m m --++，
所以
，21(2)3
0k m m
--=
=--，
所以1233
44
m k k m ⋅=-
⨯=-为定值. 考点：直线与椭圆的位置关系．
【易错点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及定值问题的探究，属于中档题；处理直线与圆锥曲线的位置关系时，往往设出直线方程，再与圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系和平行、垂直或对称等知识进行求解，但易忽视的问题是：一是直线是否存在斜率，二是判别式的值是否为正. 20.已知函数()()()f x g x h x =，其中函数()x
g x e =，()2
h x x ax a =++.
（1）求函数()g x 在点()()
1,1g 处的切线方程； （2）当02a <<时，求函数()f x 在[]2,x a a ∈-上
最大值；
（3）当0a =时，对于给定的正整数k ，问：函数()()()2ln 1F x ef x k x =-+是否有零点？请说明理由.（参考数据 2.718e ≈ 1.649e ≈， 4.482e e ≈，ln 20.693≈）
【答案】（1）y ex =；（2）()
2
2a
a a e +；（3）当1k =时，函数()F x 无零点；当2k ≥时，函数()F x 有
零点，理由见解析. 【解析】 【分析】
（1）由导数可得切线斜率，进而由点斜式即可得切线方程；
（2）先求得()()()'20x
f x x x a e =++=，可得x a =-或2x =-，再比较2a -和2-的大小，利用函数单
调性可得最大值；
（3）先证明1k =，函数()()12
2ln 1x F x e x x +=-+无零点，构造()x
e p x e x =⋅，()()3
2ln 1x q x x
+=，利用()max min ()p x q x >可证得，2k ≥，函数()()()2ln 1F x e f x k x =⋅-+有零点，利用零点存在性定理即可证得.
【详解】（1）()'x
g x e =，故()'1g e =，()1g e =，∴切线方程为()1y e e x -=-，即y ex =.
（2）()()2
x
f x
x a x e
a ++=，()()()'20x f x x x a e =++=，可得x a =-或2x =-.
①22a -≥-，即01a <≤时，()f x 在[]2,a a --上递减，在[],a a -上递增， ∴()()max f x f a =；
②22a -<-，即12a <<时，()f x 在[]2,2a --上递增，[]2,a --递减，在[],a a -上递增，
()()222(4)1,(2)1a f e a f a e a a --=-<=+>
∴()()(){}
()max max 2,f x f f a f a =-=； 综上所述，()()()
2
max 2a
f x f a a a e ==+；
（3）1k =，函数()()12
2ln 1x F x e
x x +=-+无零点，
2k ≥，函数()()()2ln 1F x e f x k x =⋅-+有零点.
理由如下：
1k =时，证明22ln 20x
ex e x -->即可，即证明()3
2ln 1x x e e x x +⋅>
. 令()x
e p x e x =⋅，()()3
2ln 1x q x x +=， 而()()121'x e x p x x
+-=， 令()'0p x >，解得：1x >，令()'0p x <，解得：1x <， ∴()()2
min 1p x p e ==，
()()
4
223ln 'x q x x -+=
，
令()'0q x >，解得：2
30x e -<<， 令()'0q x <，解得：2
3x e ->， 故()223max
2
3
q x q e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭，
∴()3
2ln 1x x e e x x
+⋅>， 故命题得证.
当2k ≥时，()()2
2ln 1x F x e e x k x =⋅-+，
()121ln 2 1.12050.614024e F k k ⎛⎫=--≈-< ⎪⎝⎭
，,()x F x →+∞→+∞，
所以2k ≥，函数()()()2ln 1F x e f x k x =⋅-+有零点.
【点睛】本题主要考查了利用函数的导数求函数的最值，第二问分两种情况讨论是本题的难点，通过构造
()x
e p x e x =⋅，()()32ln 1x q x x
+=，是解题的关键，属于难题.。