2019届河南省驻马店市高三上学期期末考试数学(文)试题(word版)

驻马店市2018～2019学年度第一学期期终考试
高三数学（文科）试题
第Ⅰ卷
一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，且，则实数的值为（）
A. 0
B. 1
C.
D.
【答案】C
2.已知集合满足，，若，则集合（）
A. B. C. D.
【答案】B
3.设为数列的前项和，若，，则（）
A. 2
B. -2
C. 1
D. -1
【答案】A
4.在一组样本数据为，，，（，，，，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为（）
A. B. C. 1 D. -1
【答案】D
5.已知命题：函数的图像恒过定点；命题：若函数为偶函数，则函数
的图象关于直线对称，则下列命题为真命题的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
6.已知是双曲线的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为（）
A. 2
B. 4
C.
D.
【答案】A
7.已知实数，满足约束条件，则目标函数的最大值为（）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【答案】C
8.已知函数（，）的图像经过点，且关于直线对称，则下列结论
正确的是（）
A. 在上是减函数
B. 函数的最小正周期为
C. 的解集是，
D. 的一个对称中心是
【答案】D
9.在中，，，、分别为的三等分点，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
10.函数的部分图像大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
11.已知三棱锥的三视图如图所示，则该几何体最长棱的长度为（）
A. B. C. 3 D. 4
【答案】C
12.已知函数在上的最大值为3，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
第Ⅱ卷
二、填空题（将答案填在答题纸上）
13.向量，，若向量，共线，且，则的值为__________．
【答案】-8
14.函数在点处的切线方程是____．
【答案】
15.设是椭圆上一点，以为圆心的圆与轴相切，切点为椭圆的焦点，圆与轴相交于不同的两点，，若为等边三角形，则椭圆的离心率为____．
【答案】
16.已知锐角的三个内角的余弦值分别等于钝角的三个内角的正弦值，其中，若
，则的最大值为____．
【答案】
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，且，，，. （1）求数列和的通项公式；
（2）若，设的前项和为，求.
【答案】（1），.（2）
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）由a1＝3，a n＝2n+1得S n＝n（n+2）．则n为奇数，c n．“分组求和”，利用“裂项求和”、等比数列的前n项和公式即可得出．
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
∵，，，，∴
∴或，且是正项等比数列，
∴，，
∴，.
（2）由（1）知
∴
∴
=
=.
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若三棱锥的体积为，求的长.
【答案】（1）见证明；(2)
【解析】
【分析】
（1）取的中点，的中点，连接，，，由题意可证平面，则有，又由等腰三角形得，则平面，得到，再由勾股数得，可得平面，从而得到结论.
（2）转换底面，即可写出三棱锥的体积公式，解得a，即可求的长．
【详解】（1）取的中点，的中点，连接，，.
由已知得，四边形是梯形，，.∴，∴，
又∵，∴，且，∴平面，
∴，由已知得，∴，又与相交，
∴平面，
∴，又∵，∴，
∴平面且平面，
∴平面平面
（2）设，则，
，
解得，又∵，且=1+=10,
∴2+10=12,
从而.
【点睛】本题考查面面垂直的判定定理，考查了空间点线面的关系，考查三棱锥的体积，属于中档题．19.某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本，并称出它们的重量（单位：克），重量值落在内的产品为合格品，否则为不合格品. 注：表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图.
（1）根据上面表1中的数据在图2中作出甲流水线样本的频率分布直方图；
（2）若以频率作为概率，试估计从两条流水线上分别任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多
少；
（3）由以上统计数据完成下面列联表，并回答有多大的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关.
参考公式：，其中
【答案】（1）见解析；（2）从甲流水线上任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为；从乙流水线上任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.9.（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据所给的每一组的频数和样本容量求出每一组的频率，作出频率分布直方图．
（2）根据所给的样本中的合格品数，除以样本容量做出合格品的频率，可估计从两条流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率；
（3）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据求出观测值，同临界值进行比较，得到有90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．
【详解】（1）甲流水线样本的频率分布直方图如下：
（2）由表1知甲流水线样本中合格品数为，
故甲流水线样本中合格品的频率为，
由图1知乙流水线样本中合格品的频率为，
据此可估计从甲流水线上任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为；
从乙流水线上任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.9.
（3）由（2）知甲流水线样本中合格品数为30，乙流水线样本中合格品数为.
列联表如下：
∵，
∴有的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关.
【点睛】本题考查频率分步直方图，考查列联表，观测值的求法，考查了互斥事件概率的求法，属于中档题.
20.已知抛物线的顶点在坐标原点，其焦点在轴正半轴上，为直线上一点，圆与轴相切（为圆心），且，关于点对称.
（1）求圆和抛物线的标准方程；
（2）过的直线交圆于，两点，交抛物线于，两点，求证：.
【答案】（1）的标准方程为.的标准方程为（2）见证明
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得，解得a、p,即可求出圆与抛物线的标准方程，
（2）设l的斜率为k，那么其方程为y＝k（x+2），根据韦达定理和弦长公式即可证明．
【详解】（1）设抛物线的标准方程为，则焦点的坐标为.
已知在直线上，故可设
因为，关于对称，所以，解得
所以的标准方程为.
因为与轴相切，故半径，
所以的标准方程为.
（2）由（1）知，直线的斜率存在，设为，且方程为
则到直线的距离为，
所以，
由消去并整理得：.
设，，则，，.
所以
因为，，，所以
所以，即.
【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查圆的标准方程与抛物线的标准方程，突出抽象思维能力与运算能力的考查，属于中档题．
21.已知函数
（1）求函数的单调区间和的极值；
（2）对于任意的，，都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）对f（x）求导，再求导，得到二次导数恒大于0，又，得到及的x的范围，即可得到函数的单调区间及极值.
（2）由题意，只需，结合（1）可得最小值为，比较与得到最大值，可求得结论.
【详解】（1）∵，，其中是的导函数.
显然，，因此单调递增，
而，所以在上为负数，在上为正数，
因此在上单调递减，在上单调递增,
当时，取得极小值为f(0)=1，无极大值.
∴的极小值为1,无极大值.单增区间为，单减区间为.
（2）依题意，只需
由（1）知，在上递减，在上递增，
∴在上的最小值为；
最大值为和中的较大者
而，
因此，
∴在上的最大值为
所以，，解得或.
∴实数的取值范围是：.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调区间、极值和最值的应用，考查了不等式的解法，考查运算求解能力，属于较难题．
22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位，直线参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为：.
（1）若射线与曲线交于点，求.
（2）若直线与曲线交于，两点，点坐标为，且点在上方，点在下方，求的值.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）将代入曲线C的极坐标方程中，即可求得结果．
（2）将直线l的参数方程代入，得，利用根与系数的关系、参数的意义得出结果．【详解】（1）将代入得.
∴
（2）曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为
将（为参数）化为（为参数）代入，
得
设，两点对应的参数分别为，，
则，.
∴
【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程，考查了用极坐标解决长度问题，考查了一元二次根与系数的关系、参数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23.已知函数.
（1）时，求不等式解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）当a＝-1时，对x分类去绝对值，求出每种情况下的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意得当x∈时，f（x）≤2x恒成立，化简可得|x+a|≤1，即﹣1﹣x≤a≤1﹣x，由此求得a 的取值范围．
【详解】（1）当时，不等式可化为，
①当时，不等式为，解得；
②当时，不等式为，无解；
③当时，不等式为，解得；
综上，原不等式的解集为：
（2）因为的解集包含，则不等式可化为，即.
解得，
由题意知，解得
所以实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，属于中档题．
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