数学人教版九年级下册分类讨论思想

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九年级数学下册常考【压轴题】类型+解题思路

九年级数学下册常考【压轴题】类型+解题思路中考数学常考压轴题类型1、线段、角的计算与证明中考的解答题一般是分两到三部分的。

第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。

第二部分往往就是开始拉分的中难题了。

对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。

2、一元二次方程与函数在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。

几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。

相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。

中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。

一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。

但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合。

3、多种函数交叉综合问题初中数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。

这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。

所以，在中考中面对这类问题，一定要做到避免失分。

4、列方程(组)解应用题在中考中，有一类题目说难不难，说不难又难，有的时候三两下就有了思路，有的时候苦思冥想很久也没有想法，这就是列方程或方程组解应用题。

方程，可以说是初中数学当中最重要的部分，所以也是中考中必考内容。

从近年来的中考来看，结合时事热点考的比较多，所以还需要考生有一些生活经验。

实际考试中，这类题目几乎要么得全分，要么一分不得，但是也就那么几种题型，所以考生只需多练多掌握各个题类，总结出一些定式，就可以从容应对了。

5、动态几何与函数问题整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。

而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。

数学人教版九年级下册九年级下复习课 ——— 分类讨论

中考数学专题复习——分类讨论教学设计新宾一中吴雪松中考数学专题复习——分类讨论一、教材分析1、教材的地位和作用本节教材是初中数学九年级中考专题复习的内容。

是初中数学的重要内容之一。

正确应用分类思想，是完整解题的基础。

而在中考中，分类讨论思想也贯穿其中，几乎在全国各地的中考试卷中都会有这类试题，由此可见分类思想的重要性。

鉴于这种认识，我认为，本节课有着广泛的实际应用。

2、学情分析九年级学生有较强的自我发展意识，有一定的分析和归纳能力。

但初中学生分类意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类。

这就需要教师在教学中结合教材，创设情景，启发诱导，从而培养学生自觉应用分类讨论的意识。

3、教学重难点根据以上对教材的地位和作用，以及学情分析，结合新课标对本节课的要求，我将本节课的重、难点确定为：分类讨论思想的应用和分类的标准。

二、教学目标分析知识与技能：1、通过本专题的复习，让同学们再次体会分类讨论思想在解题中的应用；2、培养学生思维的严谨性和周密性，提高解题正确性与完整性。

过程与方法：引导学生通过观察分析、类比归纳的探究，加深对分类讨论数学思想的认识。

情感态度与价值观: 通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学思维的严谨性和周密性。

三、教学方法分析本节课我采用多媒体辅助教学，以分组合作学习为主要方式进行教学。

在教法上主要运用趣味教学法、引导发现法、合作探究法和直观演示法等。

四、教学过程分析1、回顾知识点,了解概念2、创设情境，提出问题3、合作研讨，纳入体系4、典例引导，同类训练5、总结反思、自我评价分类讨论思想（方法）介绍在解答某些数学问题时，因为存在一些不确定的因素，解答无法用统一的方法或结论不能给出统一的表述，对这类问题依情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这种解题的方法叫分类讨论法.分类讨论涉及初中数学的所有知识点，其关键是弄清引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，分情况加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案。

2020年九年级数学中考复习——常用数学思想方法之【分类讨论思想】

2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.
3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
e
故答案为：5；
m
1 2
m s；
11. 24或 6 或 8
解：已知三角形的周长为 3 e 4 e m 12，设另一个与它相似的三角形的周长为 x，
2 与 3 是对应边时，两三角形相似，
m 2，
12 3
解得 m h；与 4 是对应边时，
两三角形相似，
12
m
2，
4
解得 m ；
2 与 5 是对应边时，
A. 34
B. 30
C. 30 或 34
D. 30 或 36
【解】：当 m 4 时， t h，、b 是关于 x 的一元二次方程 2
4 e m 12， m h 不符合；
同理， m 4 时，不符合题意；当 m 时，、b 是关于 x 的一元二次方程 2
12 e s e 2 m 0 的两根， 12 e s e 2 m 0 的两根，
m
1 2
e 3 与坐标轴分别交于点 A、B，与直线
m
交于点 C，
线段 OA 上的点 Q 以每秒 1 个长度单位的速度从点 O 出发向点 A 作匀速运动，运动时

分类讨论思想巧解数学难题-非常实用-适合九年级学生使用

分类讨论专题在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．综合中考考点考查规律，分类讨论的知识点大致可分为一下三大类：1. 代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等.2. 几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.3. 综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论．代数类考点1 与数与式有关的分类讨论 1. 化简：|x-1|+|x-2|2. 已知α、β是关于x 的方程x 2+x+a=0的两个实根。

(1)求a 的取值范围； (2)试用a 表示|α|+|β|。

3. 代数式a ab b ab ab ||||||++的所有可能的值有（） A. 2个B. 3个C. 4个D. 无数个考点2 与方程有关的分类讨论4. 解方程：①（a -2）x =b -1 ②试解关于x 的方程111=--x )x (5. 关于x 的方程22(21)10k x k x +-+=有实数根，则k 的取值范围是（）A ．4k ≤ B.104k k ≤≠或 C.k<14 D. k ≥146. 已知关于x 的方程22(4)(4)0kx k x k +++-= （1）若方程有实数根，求k 的取值范围（2）若等腰三角形ABC 的边长a=3，另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根，求ΔABC 的周长.考点3 函数部分7. 一次函数y kx b x =+-≤≤，当31时，对应的y 值为19≤≤x ，则kb 的值是（）。

A. 14B. -6C. -4或21D. -6或148. 设一次函数21y ax a 的图象不经过第一象限，求a 的取值范围。

人教版初三数学下册复习专题《点在线段(延长线上)的分类讨论》

教案复习专题《点在线段(延长线上)的分类讨论》教学目标：了解化动为静，数形结合的方法理解运动过程中的运动方向和运动过程掌握动点在线段（延长线上）的几种情况教学重点：点在线段（延长线上）的分类讨论的几种情况教学难点：动点问题中化动为静，分类讨论的方法教学方法:自主探究，小组讨论设备支持：多媒体教室，PPT,几何画板学情分析：九年级级学生已经学了相似三角形、锐角三角函数、建立方程模型解决问题的知识，理解了数形结合、分类讨论的数学方法，分析问题、解决问题的能力已经很强，只是在分类讨论的时候可能不完整，会漏解。

教学过程：一、新课导入：同学们，动点问题一直是中考考题中的热点问题，动点的数量一般1到3 个，运动的范围一般在线段，射线或折线上。

其中以点在线段或射线上的题型最为常见。

当动点运动到xx线段上的图形和动点运动到线段延长线上的图形有很大差别。

但一般“图形改变，求法不变”。

今天这节课，我们就来一起探究一下点在线段(延长线上)的分类讨论。

二、例题分析例：如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（－3, 0），(0, 6).动点P 从点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C 从点B 出发，沿射线BO 方向以每秒2个单位的速度运动。

以CP ,CO 为邻边构造□PCOD ，延长线上取点E 使PE ＝AO 。

设点P (1)当点C 运动到线段OB 的中点时，求t 的值及点E (2)当点C 在线段OB 上时，求证：四边形ADEC 为平行四边形。

(3)在线段PE 上取点F ,使PF ＝1，过点F 作MN ⊥截取FM ＝2,FN ＝1,且点M 、N 分别在第一、四象限当点M 、N 中有一点落在四边形ADEC 上时，求出所有满足条件的t 的值三、小结：（1）图形改变，求法不变：两个图形虽然不同，但边与边，角与角之间的关系往往没有改变一解如何求得，另一解参照前面同样的方法（2）分类讨论四、巩固练习：试一试：如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC,对角线AC⊥BE,AD＝4cm,∠ADC﹦45°,BC＝3cm.(1)点E为BC延长线上的动点，点F在线段CD上（点F与点C不重合），且满足∠AFC＝∠ADE,求证：△AD F∽△DCE（2）点E为射线BC上的动点，点F 在射线CD上，仍满足∠AFC＝∠ADE，当△ADF的面积为2cm2时，求BE的长DEAC B F。

数学思想之分类讨论

数学思想之分类讨论分类讨论是在题目部分条件缺失或不明确的情况下，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法．掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．一、代数（一）数、式1、若x 的相反数为3，y ＝5，则x ＋y 的值为（）．（D ）（A ）－8 （B ）2 （C ）8或－2 （D ）－8或22、若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则（C ）A ．5或－1B ．－5或1;C ．5或1D ．－5或－1 3、已知│x│=4，│y│=12，且xy<0，则xy=_______．（－8） 4、已知||3,||2,0,x y xy x y ==<+=且则_______．（±1）5、若a 、b 在互为倒数，b 、c 互为相反数，m 的绝对值为 1，则2()abb c m m m++-的值是______．（0或－2）6、已知11||1,||a a a a-=+则的值为（）（B ）. .5 3 .51A C ±7、化简|1|x -（10－2x 或8或2x －10）8、已知：数3、6、x ，三个数中的一个数是另两个数的比例中项，求x ．（23，12，±23）（二）函数、方程1、在同一坐标系中，正比例函数-3y x =与反比例函数ky x=的图象的交点的个数是（）（A ） A ．0个或2个 B ．l 个 C ．2个 D ．3个2、一次函数y=kx+b ，当－3≤x ≤l 时，对应的y 值为l ≤y ≤9，则kb 值为（）（D ） A ．14 B ．－6 C ．－4或21 D ．－6或143、已知关于x 的方程m 2x 2＋（2m ＋1）x ＋1＝0有实数根，求m 的取值范围．（m≥－41）二、几何（一）锐角与钝角1、已知：△ABC 中，∠A=40°，AB 、AC 边上的高所在直线相交于H ，求∠BHC ．(140°或40°)2、等腰三角形面积是2，腰长是5，求底角的正切值．（2或21） 3、在△ABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与直线AC 相交所得的锐角为50°，•则底角∠B 的大小为__________．（20°或70°）4、△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BD 为AC 边上的高，BD ＝3，∠ACB 的度数是__ _____．（300或600）5、△ABC 中，AB=AC ，CH 是AB 上高，CH=53AB ，BC=10，求（1）tgB ；（2）若正方形DEFG 内接于△ABC ，使D 在AB 上，G 在AC 上，E 、F 在BC 上，求正方形边长．（tgB=3或tgB=31；1053或710） 6、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=15，AD=8，CD=13，sinB=54，求BC ．（22或12）（二）等腰三角形1、等腰三角形的两条边分别为5cm ，6cm ，则周长为 cm ．（16或17）2、等腰三角形的一边长为3cm ，周长是13cm ，那么这个等腰三角形的腰长是（）（A ） A ．5cm B ．3cm C ．5cm 或3cm D ．不确定3、若等腰三角形的一个内角为50°，则其他两个内角为（）（D ） A ．50°，80° B ．65°， 65°C ．50°，65°D ．50°，80°或 65°，65° 4、等腰三角形的一个内角为70°，则其顶角为______．（70°或40°） 5、已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______．（6，8或9，5）6、已知：在平面直角坐标系中有两点A （－1，1），B （3，2），在x 轴上找出点C ，使△ABC 为等腰三角形．（（3，0）（－5，0）（±13+3，0）（811，0）） 7、直线y=33x+1与x 轴交于点A ，与y 轴交于B ，求（1）∠BAO 的余弦值；（2）是否存在点C ，使△ABC 是底角为30°的等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点C 坐标；若不存在，请说明理由．（（1）cos ∠BAO=23；（2）（－33，0）或（0，3）） 8、在等腰三角形中，如果有两条中线的长分别为3厘米和32厘米，那么这个等腰三角形的周长为厘米．（8+27或22+45）9、为了美化环境，计划在某小区内用30m 2•的草皮铺设一块边长为10m 的等腰三角形绿地，请你求出等腰三角形绿地的另两边．（①当10；②当10为腰且三角形为锐角三角形时，另两边为10，当10为腰且三角形为钝角三角形时，另两边为10，10、在△ABC 中，正方形DEFG 的顶点D 、E 在BC 边上，顶点F 、G 分别在AC 、AB 边上，如果△ABC 是等腰三角形，且腰长为10cm ，底边长为12cm ，求正方形DEFG 的边长．（524或49240）（三）直角三角形1、已知Rt △ABC 中，a=3，b=4，求c ．（5或7）2________．（23、Rt △ABC 中，sinA=54，c=10，求b ．（6或350）（四）相似1、要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，•已有三角形框架甲，它的三边长分别为50cm ，60cm ，80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，•那么符合条件的三角形框架乙共有（）（C ）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种 2、两个相似三角形的对应中线的比为2∶3，其中一个三角形的周长是20cm ，则另一个三角形的周长为 cm ．（30或340） 3、在△ABC 中，AB ＝8厘米，AC ＝6厘米，点D 、E 分别在边AB 、AC 边上，且以点A 、D 、E 为顶点的三角形和以点A 、B 、C 为顶点的三角形相似．如果AD ＝2厘米，那么AE ＝厘米．（23或38） 4、RtΔABC 中，∠C=90º ，BC=8，AC=6，则其内接正方形的边长为．（340或37120） 5、已知等腰梯形ABCD ，AB ∥CD ，AD=BC=10，DC=13，tgA=0．75，E 是AB 上一点，如果△AED 相似△BCE ，求BE 的长．（229，25或4） 6、Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，以C 为圆心，BC 为半径作圆交AB 于D ，如果点E 在CB 的延长线上，且△ABE 与△ACD 相似，求BE ．（310或6） 7、已知二次函数y=92x 2+322x+2的图像与x 轴、y 轴交于点A 、B ，一次函数y=－2x+b 图像经过B 点，并与x 轴交于点C ，若D 在x 轴上，且∠BCD=∠ABD ，求图像经过B 、D 两点的一次函数解析式．（y=－522x+2或y=42x+2）（五）圆1、已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的弦，且AB=8cm，CD=6cm，AB∥CD，则AB与CD 之间的距离为__________．（1cm或7cm）2、已知⊙O1和⊙O2相切于点P，半径分别为1cm和3cm．则⊙O1和⊙O2的圆心距为________．（2cm 或4cm）3、若半径为3，5的两个圆相切，则它们的圆心距为（）（C）A．2 B．8 C．2或8 D．1或44、已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是________．（1或5）5、若半径为1cm和2cm的两圆相外切，•那么与这两个圆相切、且半径为3cm的圆的个数为（）A．5个B．4个C．3个D．2个（A）6、⊙O1与⊙O2相交于AB，且AB=24，两圆的半径分别为r1=15，r2=13，求两圆的圆心距．（14或4）7、已知AB是⊙O的直径，AC、AD是弦，AB=2，AC=2，AD=1，求∠CAD的度数．（105°或15°）8、已知O是△ABC的外心，∠A为最大角，∠BOC的度数为y°，∠BAC的度数为x°，求y与x的函数关系式．（y=2x（0<x<90）或y=360°－2x（90<x<180））9、已知半径为3，5的两圆的两条公切线相互垂直，求圆心距．（82或22）10、已知半径为2和3的两圆相交于点A、B，且AB=22，求A、B与两圆心组成的四边形面积．（2±2）11、已知⊙O的直径AB=6cm，P为⊙O外一点，PA、PC切⊙O于A、C，C为弧AB的三等分点，求PC．（3或33）（六）位置1、点A在x轴上，且点A到原点的距离为4，则点A的坐标为．（（4，0）或（－4，0））2、线段AB=7cm，在直线AB上画线段BC=3cm，则线段AC= ．（10cm或4cm）3、已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC= 15 ，则AB的长为．（3+5或4+25）4、平面上A、B两点到直线k距离分别是2－3与2＋3，则线段中点C到直线k的距离是．（2或3）5、已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4cm，线段OB的长度为6cm，E、F分别为线段OA、OB的中点，则线段EF的长度为cm．（1cm或5cm）6、已知 y=kx ＋3与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求其函数解析式．（3163+=x y 或3163+-=x y ） 7、抛物线y ＝ax 2＋c 与y 轴交点到原点的距离为3，且过点（1，5）,求这个函数的解析式．（y ＝2x 2＋3或y ＝8x 2－3）8、已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形的一边所成的角的正弦值是21，设梯形面积为y ，梯形中较短的底边长为x ，求y 与x 的函数关系．（y=－95x 2+38x+4（0<x<6）或y=－92x 2+32x+4（0<x<6））9、已知，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ，AB ∶CD=6∶5，∠C 、∠D 的平分线都与AB 交于N ，M 两点，且N ，M 把AB 三等分，若梯形周长为76，求梯形中位线的长．（22或15418）10、如图，路灯A 的高度为7米，在距离路灯正下方B 点20米处有一墙壁CD ，CD ⊥BD ，如果身高为1.6米的学生EF 站立在线段BD 上（EF ⊥BD ，垂足为F ，EF <CD ），他的影子的总长度为3米, 求该学生到路灯正下方B 点的距离BF 的长.（10.125米或18米）11、设方程023=--xx 的两根为x 1、x 2，且x 1<x 2，（1）求出x 1、x 2的值；（2）若A （x 1，0），B（x 2，0），C （0，x 2），D （－x 1，x 2+1），点O 为坐标原点，在△AOC 、△BOC 、△CDB 、△ACB 中是否有相似三角形．如果有，指出哪几对并证明；（3）若E 是y 轴上点，且满足它与A 、B 、C 三点组成的四边形面积，恰好等于四边形ABDC 的面积，求点E 的坐标．（（1）x 1=－1，x 2=3；（2）△AOC ∽△DCB ；（3）（0，23-）或（0，215））12、已知直线y=－33x+334，与x 轴相交于点A ，并经过B 点，已知OB=2，（1）求A 、B 的坐标；（2）若点E 在线段OA 上，点F 在线段EA 上，EF=2，分别过E 、F 作OA 垂线EM 、FN ，点M 、N 在△OAB 的边上，设OE=x ，那么x 为何值时，在△OAB 内且夹在直线EM 与FN 之间的面积为△OAB 面积的一半．（（1）A （4，0），B （1，3）；（2）23（舍231±））（第24题图）三、综合题（说明：分类讨论思想是综合题中常见的数学思想，运用分类讨论思想的综合题比比皆是，因此在这里我们仅选取了部分常见的体现不同解题思路的综合题供老师们参考）（一）等腰三角形1、如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上，有一个动点P ，PH ⊥OA ，垂足为H ，△OPH 的重心为G ．（1）当点P 在弧AB 上运动时，线段GO 、GP 、GH 中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设PH=x, GP=y 求y 关于x 的函数解析式,并写出函数定义城；（3）如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 长.（答案：（1）GH=2；（2）y=233631x +（0<x<6）；（3）6或2）2、已知，在ABC ∆中()A B ∠<∠，8,AB AC ==7cos 8A =. （1）求BC 的长（如图a ）；（2）P 、Q 分别是AB 、BC 上的点，且:2:1BP CQ =，连结PQ 并延长，交AC 的延长线于点E ，设,CQ x CE y ==（如图b ）.①求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的定义域；②当x 为何值时，PEA ∆是等腰三角形？27.（1）BC=4（2）①()2022x y x x∴=<<-②若AP AE =，8AP <，8AE >，矛盾∴AP AE =不存在. …1分若AE PE =，则A APE ∠=∠,,APE B A B ∠>∠∠<∠ ，矛盾∴AE PE =不存在.………………………………………………… 1分若AP EP =，过点P 作PM AE ⊥,垂足为点M .822AE yAM +∴==………………………………………………………1分 872cos 828y AM A AP x +∴===-………………………………………………1分整理得7212x y +=，又22x y x ∴=-，解得126,45x x ==（舍）……1分AB CQPABC 图a图b∴当65x =时，PEF ∆是等腰三角形. …………………………………1分3、如图5，在以O 为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB 与小圆相切于点A ，与大圆相交于B ，大圆的弦BC ⊥AB ，过点C 作大圆的切线交AB 的延长线于D ，OC 交小圆于E ．（1）求证：△AOB ∽△BDC ；（2）设大圆的半径为x ，CD 的长为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域．（3） △BCE 能否成为等腰三角形？如果可能，求出大圆半径；如果不可能，请说明理由．25．解：（1）略；（2）函数解析式为122-=x x y ，定义域为1>x ．（3）当EB =EC 时，∠ECB =∠EBC ，而∠ECB =∠OBC ，∴EB ≠EC ．当CE =CB 时，OC =CE +OE =CB+OE=2+1=3．………………………………（1分）当BC =BE 时，∠BEC =∠ECB =∠OBC ，则△BCE ∽△OCB ．………………（1分）则,OCBCBC CE =设OC = x ,则CE =1-x ,x x 221=-,2171±=x (负值舍去). ∴OC =2171+.…………………………………………………………………（1分）综上所述，△BCE 能成为等腰三角形，这时大圆半径为3或2171+．（二）直角三角形1、如图，在△ABC 中，AB=AC=5cm ，cosB=54，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM=∠B ．（1）设BP=x ，CM=y ．求 y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域．（2）当△PCM 为直角三角形时, 求点P 、B 之间的距离．（答案：（1）y=582xx +-（0<x<8）；（2）425或4）2、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝5，AD ＝6，BC ＝12，点E 在 AD 边上，且AE ：ED ＝1：2，连接CE ，点P 是AB 边上的一个动点，（P 不与A ，B 重合）过点P 作PQ ∥CE，交BC 于Q ，设BP ＝x ，CQ ＝y ，（1）求CosB 的值；ABPCM（2）求 y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）连接EQ ，试探索△EQC 有无可能是直角三角形，若可能，试求出x 的值，若不能，请简要说明理由。

九年级数学中考二轮专题思想方法复习——分类讨论思想

2021年九年级数学中考二轮专题思想方法复习——分类讨论思想一、分类思想：是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。

分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。

分类必须有一定的标准，标准不同分类的结果也就不同。

分类要做到不遗漏，不重复。

分类后，对每个类进行研究，使问题在各种不同的情况下，分别得到各种结论，这就是讨论。

分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧，做到举一反三，触类旁通。

二、引起分类讨论的原因主要有：1．涉及的数学概念是分类进行的2．涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的3．解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论4．某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等三、分类讨论的步骤：第一，确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围；第二，正确选择分类标准，合理分类；第三，逐类、逐段分类讨论；第四，归纳并做出结论。

四、主要分类有：1.数与代数中的分类2.几何中图形位置关系不确定的分类。

3.动点引起的分类（一）.数与代数中的分类1.概念中的分类例.1.|m-n| =n-m,且|m| =4,|n| =3,则(m+n)²=（）解∵|m| =4,|n| =3,所以 m=±4,n=±3,又∵|m-n| =n-m,所以 n-m ≥0,n ≥m. 当 n=3时,m 可能取的值为-4, (m+n)²＝1; 当 n=-3 时,m 可能取值为-4,则(m+n)²＝49, 所以(m+n)²的值是 49 或 1.小结：绝对值概念是一个需要分类讨论的概念,只有通过分类讨论后,得到的结论才是完整的,正确的,如不分类讨论,就很容易出现错误.练习．（1）已知||3,||2,0,x y xy x y ==<+=且则______（2）已知a ，b 为有理数，且ab>0，则的值为( )2..(2009 年钦州)当 b ≠0 时,比较1+b 与1 的大小; 解∵b ≠0 时, ∴ b>0 或 b<0. 当 b>0 时,1+b>1; 当 b<0 时,1+b<1.小结：用分类讨论可以判断大小。

初中数学解题常用的数学思想方法

初中数学解题常用的数学思想方法数学学习分为好多个环节，比如预习、上课、作业、复习、考试等等，而上课的部分是非常关键的环节。

小编整理了初中数学解题常用的数学思想方法，欢迎参考借鉴。

初中数学解题常用的数学思想方法1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义;使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。

2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。

数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。

在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。

如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。

3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查;这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。

4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。

为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。

5、配方法：就是把一个代数式设法构造成平方式，然后再进行所需要的变化。

配方法是初中代数中重要的变形技巧，配方法在分解因式、解方程、讨论二次函数等问题，都有重要的作用。

6、换元法：在解题过程中，把某个或某些字母的式子作为一个整体，用一个新的字母表示，以便进一步解决问题的一种方法。

换元法可以把一个较为复杂的式子化简，把问题归结为比原来更为基本的问题，从而达到化繁为简，化难为易的目的。

7、分析法：在研究或证明一个命题时，又结论向已知条件追溯，既从结论开始，推求它成立的充分条件，这个条件的成立还不显然;则再把它当作结论，进一步研究它成立的充分条件，直至达到已知条件为止，从而使命题得到证明。

分类讨论思想在初中数学解题中的若干应用

分类讨论思想在初中数学解题中的若干应用摘要分类讨论思想是初中数学中重要的数学思想之一。

本文主要从数与式、解方程、几何和函数的四个方面，通过典型例题的浅析，阐明了分类讨论思想在初中数学解题中的若干应用。

最后对如何提高初中生分类讨论思想应用水平提出若干建议，旨在帮助学生能够更好的认识和理解分类讨论思想，并将分类讨论思想运用到实际的解题当中去。

【关键词】：^p ：分类讨论思想；初中数学；解题能力 Abstract The thought of classified discussion is one of the important mathematal thoughts in junior middle school mathemats.In this paper, from the four aspects of number and formula, solving equation, geometry and function, through the analysis of typal eles, the author epounds the lation of classified discussion in junior high school mathemats problem-solving.Finally, some suggestions are put forward on how to improve the lation level of the classified discussion ideas of junior high school students, in order to help students better understand and understand the classified discussion ideas, and ly the classified discussion ideas to the actual problem-solving.Key words：Classified Discussion Thought; Junior Middle School Mathemats; Problem Solving Ability 目录 1 引言 1 2 分类讨论思想概述 2 3 分类讨论思想在初中数学解题中的若干应用 3 3.1 分类讨论思想在数与式的应用 3 3.2 分类讨论思想在解方程的应用 4 3.3分类讨论思想在几何的应用 6 3.4分类讨论思想在函数的应用 8 4 提高初中生分类讨论思想应用能力的几点建议 11 4.1 课堂中加强数学思想的渗透 12 4.2 加强学生基础知识的学习 12 4.3提高意识，增加练习量 12 4.4 端正学生学习态度 13 5 结论 13 致谢 15 参考文献 16 1 引言数学史不仅需要考虑到新概念和新定理，更加需要关注数学思想方法的形成发展。

人教版初三数学下册分类讨论思想教学设计

分类讨论思想教学设计知识目标：①通过利用导数求函数的极值、最值、单调区间等问题对字母参数进行分类讨论②培养学生对字母参数进行分类讨论的能力情感目标：培养学生分类讨论的意识教学重点：运用分类讨论解题的基本环节教学难点：如何对参数有效合理的分类教学方法：合作探究式教学考纲要求：掌握常见的分类讨论的方法与思想并应用，能根据所给出的研究对象按照某个标准分类来解决不定问题。

考情预测：分类讨论思想，近几年在高考中频繁出现，已成为了高考命题的一个热点，其中含有参数的函数性质问题是考查的重点。

教具：多媒体辅助教学教学过程：【思想方法诠释】1．分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解（或分割）成若干个基础性问题，通过基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题（或综合性问题）分解为小问题（或基础性问题），优化解题思路，降低问题难度．2．分类讨论的常见类型：（1）由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身就是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．（2）由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．（3）由数学运算引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．（4）由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等．（5）由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．【核心要点突破】题型一由数学概念引起的分类讨论例1 已知函数,满足f(c2)=(1)求常数c的值; (2)解不等式f(x)>题型二由运算引起的分类讨论【例2】已知函数(1)求f(x)的值域;(2)设函数g(x)=ax-2,x∈［-2,2］,若对于任意x1∈［-2,2］,总存在x0,使得g(x0)=f(x1)成立,求实数a的取值范围.变式训练已知函数f(x)=e x-e-x.(1)证明:函数f(x)的导数f′(x)≥2;(2)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求实数a的取值范围.题型三由定理、公式等引起的分类【例3】设等比数列{a n}的公比为q,前n项和S n>0(n=1,2,…).（1）求q的取值范围；（2）设b n=a n+2-3/2 a n+1，记{b n}的前n项和为T n，试比较S n与T n的大小.题型四由参数变化引起的分类讨论【例4】已知m∈R,求函数f(x)=(4-3m)x2-2x+m在区间[0,1]上的最大值.【思想方法小结】1.涉及的数学概念是分类定义的.2.运算有关的公式、运算性质与法则是分类给出的.3.由题中所给的限制条件或研究对象的性质而引发的.4.数学问题中参数的不同取值会导致不同结果的.5.涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的.6.有实际问题的实际意义引起的.7.复杂数学问题或非常规数学问题需要分类解决的.在运用分类讨论问题时,我们要明确分类的原因是什么、对象是什么、分几个类别.不仅要掌握分类的原则,而且要把握分类的时机,重视分类的合理性与完整性.【跟踪模拟训练】一、选择题1．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）2．已知函数的定义域的R，则实数a的取值范围是（）3．正三棱柱的侧面展开图是两边长分别为2和4的矩形，则它的体积为（）4.“直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”是“直线l的斜率等于-2”的（）(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件5．对任意两实数a、b,定义运算“*”如下：a*b=,则函数的值域为（）二、填空题6．设为椭圆的两个焦点．P为椭圆上一点．已知P，是一个直角三角形的三个顶点，且，则的值为7.过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1作切线，所得切线方程是__________.8.将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b、c,则方程x2+bx+c=0有实根的概率____三、解答题9．已知函数（a≠0）定义域为，值域为[-5，1]，求常数a,b的值。

分类讨论解的情况洋葱数学九年级

分类讨论解的情况洋葱数学九年级洋葱数学是一款专注于数学学习的在线教育平台，为广大学生提供了丰富的数学学习资源和个性化的学习方案。

其中，九年级数学课程作为初中数学的重要环节，涵盖了多个重要的数学知识点和概念。

本文将以分类讨论的方式，系统地介绍洋葱数学九年级数学课程中的内容。

一、代数与函数代数与函数是数学中的重要分支，也是九年级数学课程的核心内容之一。

在洋葱数学九年级课程中，代数与函数的学习主要包括以下几个方面：1.1 一元一次方程与不等式九年级学生将学习如何解一元一次方程和不等式，并掌握解题的方法和技巧。

通过洋葱数学的学习，学生可以了解到方程和不等式的基本概念、性质和解法，提高其解题能力。

1.2 二次根式与二次方程二次根式和二次方程是九年级数学中的重要内容。

通过洋葱数学的学习，学生可以了解到二次根式和二次方程的定义和性质，学习如何解二次方程，并掌握应用二次方程解决实际问题的方法。

1.3 函数与图像在洋葱数学九年级课程中，学生将学习函数的基本概念、性质和图像。

通过学习，学生可以了解到常见函数的定义和性质，学习如何绘制函数图像，并应用函数解决实际问题。

二、几何与图形几何与图形是九年级数学课程的另一个重点内容。

在洋葱数学九年级课程中，几何与图形的学习主要包括以下几个方面：2.1 三角形与四边形九年级学生将学习三角形和四边形的相关知识。

通过洋葱数学的学习，学生可以了解到三角形和四边形的定义、性质和判定条件，学习如何计算三角形和四边形的周长和面积，并应用相关知识解决实际问题。

2.2 相似与全等相似与全等是几何学中的重要概念。

通过洋葱数学的学习，学生可以了解到相似与全等的定义和性质，学习如何判断两个图形是否相似或全等，并应用相关知识解决实际问题。

2.3 圆与圆的位置关系在洋葱数学九年级课程中，学生将学习圆的相关知识。

通过学习，学生可以了解到圆的基本概念、性质和判定条件，学习如何计算圆的周长和面积，并应用相关知识解决实际问题。

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题型一代数类
几何类：
题型一代数类
在三角形中：
题型一代数类
•例3、等腰三角形的一个内角为70°，则其顶角为____． •例4、等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形的周长是（）
例5：如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点，过P点作直线截△ABC，截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有（ C ）条。 A．1 B． 2 C．3 D．4
题型一代数类
在函数中：
题型一代数类
例12、一次函数y=kx+b，当－3≤x≤l时，对应的y值为l≤y≤9，则kb=
题型一代数类
例13、已知函数y＝(k－3)x2 ＋2x＋1的图象与 x轴有交点，则k的取值范围是
题型一代数类
综合类：
题型三综合类
例14.已知等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，动点P在直线BC 上运动（不与点B，C重合）．（1）如图1，点P在线段BC上，作∠APQ=30°，PQ交AC于点Q．
分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想.
分类讨论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难度较大，在中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有选拔性.
常见的需分类讨论的知识点有三大类:
（1）代数类:有绝对值、方程及根的定义,函数的定义以及点 (坐标未给定)所在象限等.
【例 11】在半径为5 cm的⊙O中，弦AB=6 cm，弦CD=8 cm，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离是 .
解:过点O作AB，CD的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接OA，OC.
在Rt△OAE中，
在Rt△OCF中，
No Image
①当AB，CD在圆心O的同侧时，如图①，AB和CD之间的距离为EF=4-3=1(cm); ②当AB，CD在圆心O的异ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ时，如图②，AB和CD之间的距离为EF=4+3=7(cm). ∴AB和CD之间的距离为1 cm或7 cm.
在四边形形中：
题型一代数类
例 9 、矩形一个角的平分线分矩形一边为 1cm 和 3 cm 两部分，则这个矩形的面积为 ______________
题型一代数类
在圆中：
题型一代数类
例 10 、已知⊙O1 和⊙O2 相切于点 P ，半径分别为 1cm 和 3cm ．则⊙O1 和⊙O2 的圆心距为 _____________.
【例题 2】已知直角三角形两边x，y的长满足 x 2 4 y 2 5 y 6 =0，则第三边长为.
解：∵ 两个非负数的和为0，这两个非负数都为0, ∴x2-4=0且y2-5y+6=0.∴x2=4，(y-2)(y-3)=0. 又∵x＞0，∴x=2，y=2或y=3. 当x=2，y=2时，x，y都是直角边，第三边为斜边，根据勾股定理第三边为；当x=2，y=3，且x，y都是直角边时，根据勾股定理第三边为斜边即；当x=2，y=3，且y为斜边时，根据勾股定理第三边为另一条直角边即
（2）几何类:有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.
（3）综合类:代数与几何类分类情况的综合运用.
分类的原则: (1)分类中的每一部分是相互独立的; (2)一次分类按一个标准; (3)分类讨论应逐级进行.
题型一代数类
代数类：
题型一代数类【例题 1】已知|a|=5，|b|=3，且ab＜0，求a-b的值．解：∵|a|=5，|b|=3， ∴a=±5，b=±3． ∵ab＜0， ∴a，b异号． ∴当a=5，b=-3时，a-b=5-（-3）=8．当a=-5，b=3时，a-b=-5-3=-8．故a-b的值为8或-8．
B
P
A
C
例6、如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝ 4题型一， P 是代数类 AC 的中点，过 P 点的直线交 AB 于点 Q ，若以 A ， P ， Q 为顶点的三角形和以 A ， B ， C 为顶点的三角形相似，则 AQ 的长为 __________．
题型一代数类
①求证：△ABP∽△PCQ；
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题型三综合类
已知等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，动点P在直线BC上运动（不与点B，C重合）．（1）如图1，点P在线段BC上，作∠APQ=30°，PQ交AC于点Q．
②当△APQ是等腰三角形时，求AQ的长．
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