梓潼县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

梓潼县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－1
2
），则不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为（ ）
A ．（0，＋∞）
B ．（－∞，－1
2
）
C ．（－12，＋∞）
D ．（－1
2
，0）
2． 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，3}，B={0，1，4}，则（∁U A ）∪B 为（ ）
A ．{0，1，2，4}
B ．{0，1，3，4}
C ．{2，4}
D ．{4}
3． 下列说法中正确的是（ ） A ．三点确定一个平面 B ．两条直线确定一个平面
C ．两两相交的三条直线一定在同一平面内
D ．过同一点的三条直线不一定在同一平面内 4． 定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足：＜0，且f （2）=4，则不等式f （x ）﹣
＞0的解集为（ ） A ．（2，+∞）
B ．（0，2）
C ．（0，4）
D ．（4，+∞）
5． 冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表所示．
杂质高 杂质低 旧设备 37 121 新设备
22
202
根据以上数据，则（ ） A ．含杂质的高低与设备改造有关 B ．含杂质的高低与设备改造无关 C ．设备是否改造决定含杂质的高低
D ．以上答案都不对
6． 已知P （x ，y ）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y 的最大值是（ ）
A ．6
B ．0
C ．2
D ．2
7．如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，点P从A点沿半圆弧运动至B点，设∠AOP＝x，将动点P到A，B 两点的距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）
8．已知x，y满足约束条件，使z=ax+y取得最小值的最优解有无数个，则
a的值为（）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
9．函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2.3）D．（3，4）
10．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）
A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}
11．如图是七位评委为甲，乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图（其中m，n为数字0～9中的一个），则甲歌手得分的众数和乙歌手得分的中位数分别为a和b，则一定有（）
A．a＞b B．a＜b
C ．a=b
D ．a ，b 的大小与m ，n 的值有关 12．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2
π
ϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最
小距离为
2π
，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）1111] A ．6π B ．3π C ．2
π D ．23π
二、填空题
13．一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件i ＜m 中的整数m 的值是 ．
14．若函数y=ln （﹣2x ）为奇函数，则a= ．
15．设双曲线
﹣
=1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．若∠F 1MF 2=90°，则△F 1MF 2的面积
是 ．
16．在△ABC 中，若角A 为锐角，且=（2，3），=（3，m ），则实数m 的取值范围是 ．
17．已知圆C 1：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1，圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值 ．
18．在平面直角坐标系中，(1,1)=-a ，(1,2)=b ，记{}
(,)|M O M λμλμΩ==+a b ，其中O 为坐标原点，
给出结论如下：
①若(1,4)(,)λμ-∈Ω，则1λμ==；
②对平面任意一点M ，都存在,λμ使得(,)M λμ∈Ω； ③若1λ=，则(,)λμΩ表示一条直线； ④{}(1,)
(,2)(1,5)μλΩΩ=；
⑤若0λ≥，0μ≥，且2λμ+=，则(,)λμΩ表示的一条线段且长度为 其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
19．已知﹣2≤x ≤2，﹣2≤y ≤2，点P 的坐标为（x ，y ）
（1）求当x，y∈Z时，点P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率；（2）求当x，y∈R时，点P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率．
20．．
（1）求证：
（2），若．
21．已知集合A={x|x2+2x＜0}，B={x|y=}
（1）求（∁R A）∩B；
（2）若集合C={x|a＜x＜2a+1}且C⊆A，求a的取值范围．
22．已知函数
3
()
1
x
f x
x
=
+
，[]2,5
x∈．
f x的单调性并且证明；
（1）判断()
f x在区间[]2,5上的最大值和最小值．
（2）求()
23．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知tanA=，c=．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若三角形△ABC的面积为，求角C．
24．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA﹣sinC（cosB+sinB）=0．（1）求角C的大小；
（2）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b的值．
梓潼县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】
【解析】选C.f （x ）的定义域为x ∈R ，
由f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－1
2）得
f （－x ）＝（e x －e －x ）（12－x ＋1－1
2）
＝（e x －e －x ）（－12x ＋1＋1
2）
＝（e －x －e x ）（12x ＋1－1
2）＝f （x ），
∴f （x ）在R 上为偶函数，
∴不等式f （x ）＜f （1＋x ）等价于|x |＜|1＋x |，
即x 2＜1＋2x ＋x 2，∴x ＞－1
2
，
即不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为{x |x ＞－1
2}，故选C.
2． 【答案】A
【解析】解：∵U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，3}，
∴C U A={2，4}， ∵B={0，1，4}， ∴（C U A ）∪B={0，1，2，4}．
故选：A ．
【点评】本题考查集合的交、交、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
3． 【答案】D
【解析】解：对A ，当三点共线时，平面不确定，故A 错误； 对B ，当两条直线是异面直线时，不能确定一个平面；故B 错误；
对C ，∵两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，∴当三条直线两两相交且共点时，不一定在同一个平面，如墙角的三条棱；故C 错误； 对D ，由C 可知D 正确． 故选：D ．
4．【答案】B
【解析】解：定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：＜0．
∵f（2）=4，则2f（2）=8，
f（x）﹣＞0化简得，
当x＜2时，
⇒成立．
故得x＜2，
∵定义在（0，+∞）上．
∴不等式f（x）﹣＞0的解集为（0，2）．
故选B．
【点评】本题考查了构造已知条件求解不等式，从已知条件入手，找个关系求解．属于中档题．
5．【答案】
A
【解析】
独立性检验的应用．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】根据所给的数据写出列联表，把列联表的数据代入观测值的公式，求出两个变量之间的观测值，把观测值同临界值表中的数据进行比较，得到有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．
【解答】解：由已知数据得到如下2×2列联表
杂质高杂质低合计
旧设备37 121 158
新设备22 202 224
合计59 323 382
由公式κ2=≈13.11，
由于13.11＞6.635，故有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．
【点评】本题考查独立性检验，考查写出列联表，这是一个基础题．
6．【答案】A
解析：解：由作出可行域如图，
由图可得A（a，﹣a），B（a，a），
由，得a=2．
∴A（2，﹣2），
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，
∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．
7．【答案】
【解析】选B.取AP的中点M，
则P A＝2AM＝2OA sin∠AOM
＝2sin x
2
，
PB＝2OM＝2OA·cos∠AOM＝2cos x
2，
∴y＝f（x）＝P A＋PB＝2sin x
2＋2cos x
2
＝22sin（x
2
＋
π
4
），x∈[0，π]，根据解析式可知，只有B选项符合要求，
故选B.
8．【答案】D
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=ax+y，得y=﹣ax+z，
若a=0，此时y=z，此时函数y=z只在B处取得最小值，不满足条件．
若a＞0，则目标函数的斜率k=﹣a＜0．
平移直线y=﹣ax+z，
由图象可知当直线y=﹣ax+z和直线x+y=1平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，此时﹣a=﹣1，即a=1．
若a＜0，则目标函数的斜率k=﹣a＞0．
平移直线y=﹣ax+z，
由图象可知当直线y=﹣ax+z，此时目标函数只在C处取得最小值，不满足条件．
综上a=1．
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．
9．【答案】A
【解析】解：∵f（0）=﹣2＜0，f（1）=1＞0，
∴由零点存在性定理可知函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（0，1）．
故选A
【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理，这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可，属于基础题．
10．【答案】A
【解析】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，
集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，
∴M∪N={x|x≥﹣2}，
故选A．
【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．
11．【答案】C
【解析】解：根据茎叶图中的数据，得；
甲得分的众数为a=85，
乙得分的中位数是b=85；
所以a=b．
故选：C．
12．【答案】A
【解析】
考点：三角函数的图象性质．
二、填空题
13．【答案】6．
【解析】解：第一次循环：S=0+=，i=1+1=2；
第二次循环：S=+=，i=2+1=3；
第三次循环：S=+=，i=3+1=4；
第四次循环：S=+=，i=4+1=5；
第五次循环：S=+=，i=5+1=6；输出S，不满足判断框中的条件；
∴判断框中的条件为i＜6？
故答案为：6．
【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题
14．【答案】4．
【解析】解：函数y=ln（﹣2x）为奇函数，
可得f（﹣x）=﹣f（x），
ln（+2x）=﹣ln（﹣2x）．
ln（+2x）=ln（）=ln（）．
可得1+ax2﹣4x2=1，
解得a=4．
故答案为：4．
15．【答案】9．
【解析】解：双曲线﹣=1的a=2，b=3，
可得c2=a2+b2=13，
又||MF
1
|﹣|MF2||=2a=4，|F1F2|=2c=2，∠F1MF2=90°，
在△F1AF2中，由勾股定理得：
|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2
=（|MF1|﹣|MF2|）2+2|MF1||MF2|，
即4c2=4a2+2|MF1||MF2|，
可得|MF1||MF2|=2b2=18，
即有△F1MF2的面积S=|MF1||MF2|sin∠F1MF2=×18×1=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义与a、b、c之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．
16．【答案】．
【解析】解：由于角A为锐角，
∴且不共线，
∴6+3m＞0且2m≠9，解得m＞﹣2且m．
∴实数m的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题．
17．【答案】5﹣4．
【解析】解：如图，圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A （2，﹣3），半径为1，圆C 2的圆心坐标（3，4），半径为3，
|PM|+|PN|的最小值为圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，
即：﹣
4=5
﹣4．
故答案为：
5
﹣4．
【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，考查两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．
18．【答案】②③④
【解析】解析：本题考查平面向量基本定理、坐标运算以及综合应用知识解决问题的能力． 由(1,4)λμ+=-a b 得1
24λμλμ-+=-⎧⎨
+=⎩
，∴21λμ=⎧⎨=⎩，①错误；
a 与
b 不共线，由平面向量基本定理可得，②正确；
记OA =a ，由OM μ=+a b 得AM μ=b ，∴点M 在过A 点与b 平行的直线上，③正确； 由2μλ+=+a b a b 得，(1)(2)λμ-+-=0a b ，∵a 与b 不共线，∴1
2
λμ=⎧⎨=⎩，∴2(1,5)μλ+=+=a b a b ，
∴④正确；
设(,)M x y ，则有2x y λμλμ=-+⎧⎨=+⎩，∴2133
1133x y x y λμ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，∴200x y x y -≤⎧⎨+≥⎩且260x y -+=，∴(,)λμΩ表示的一
条线段且线段的两个端点分别为(2,4)、(2,2)-
，其长度为
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：如图，点P所在的区域为长方形ABCD的内部（含边界），
满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的点的区域为以（2，2）为圆心，2为半径的圆面（含边界）．
（1）当x，y∈Z时，满足﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2的点有25个，
满足x，y∈Z，且（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的点有6个，
依次为（2，0）、（2，1）、（2，2）、（1，1）、（1，2）、（0，2）；
∴所求的概率P=．
（2）当x，y∈R时，
满足﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2的面积为：4×4=16，
满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4，且﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2的面积为：=π，
∴所求的概率P==．
【点评】本题考查的知识点是几何概型概率计算公式，计算出满足条件和所有基本事件对应的几何量，是解答的关键，难度中档．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵，
∴a n+1=f（a n）=，
则，
∴{}是首项为1，公差为3的等差数列；
（2）由（1）得，=3n﹣2，
∵{b n}的前n项和为，
∴当n ≥2时，b n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣2n ﹣1=2n ﹣1
， 而b 1=S 1=1，也满足上式，则b n =2n ﹣1
，
∴
=
=（3n ﹣2）2n ﹣1，
∴
=20+4•21+7•22+…+（3n ﹣2）2n ﹣1，①
则2T n =21+4•22+7•23+…+（3n ﹣2）2n
，②
①﹣②得：﹣T n =1+3•21+3•22+3•23+…+3•2n ﹣1﹣（3n ﹣2）2n ，
∴T n =（3n ﹣5）2n
+5．
21．【答案】
【解析】解：（1）A={x|x 2
+2x ＜0}={x|﹣2＜x ＜0}，
B={x|y=}={x|x+1≥0}={x|x ≥﹣1}，
∴∁R A={x|x ≤﹣2或x ≥0}， ∴（∁R A ）∩B={x|x ≥0}；…
（2）当a ≥2a+1时，C=∅，此时a ≤﹣1满足题意； 当a ＜2a+1时，C ≠∅，
应满足
，
解得﹣1＜a
≤﹣； 综上，a
的取值范围是
．…
22．【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）最小值为，最大值为2.5. 【解析】
试题分析：（1）在[]2,5上任取两个数12x x <，则有1212123()
()()0(1)(1)x x f x f x x x --=<++，所以()f x 在[]
2,5上是增函数；（2）由（1）知，最小值为(2)2f =，最大值为5
(5)2
f =.
试题解析：
在[]2,5上任取两个数12x x <，则有
12121233()()11x x f x f x x x -=
-++12123()
(1)(1)
x x x x -=
++0<，
所以()f x 在[]2,5上是增函数． 所以当2x =时，min ()(2)2f x f ==， 当5x =时，max 5()(5)2
f x f ==. 考点：函数的单调性证明．
【方法点晴】本题主要考查利用定义法求证函数的单调性并求出单调区间，考查化归与转化的数学思想方法.先在定义域内任取两个数12x x <，然后作差12()()f x f x -，利用十字相乘法、提公因式法等方法化简式子成几个因式的乘积，判断最后的结果是大于零韩式小于零，如果小于零，则函数为增函数，如果大于零，则函数为减函数.1 23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意知，tanA=，
则
=
，即有sinA ﹣sinAcosC=cosAsinC ，
所以sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin （A+C ）=sinB ，
由正弦定理，a=b ，则=1；…
（Ⅱ）因为三角形△ABC 的面积为
，a=b 、c=，
所以S=absinC=a 2
sinC=
，则
，①
由余弦定理得， =
，②
由①②得，cosC+sinC=1，则2sin （C+）=1，sin （C+）=，
又0＜C ＜π，则C+
＜
，即C+
=
，
解得C=
…．
【点评】本题考查正弦定理，三角形的面积公式，以及商的关系、两角和的正弦公式等，注意内角的范围，属于中档题．
24．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）∵由题意得，sinA=sin （B+C ）， ∴sinBcosC+sinCcosB ﹣sinCcosB ﹣sinBsinC=0，…（2分）
即sinB （cosC ﹣
sinC ）=0，
∵sinB≠0，
∴tanC=，故C=．…（6分）
（2）∵ab×=，
∴ab=4，①
又c=2，…（8分）
∴a2+b2﹣2ab×=4，
∴a2+b2=8．②
∴由①②，解得a=2，b=2．…（12分）
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．。