安徽省合肥市瑶海区第三十八中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(沪科版)

2023-2024学年度九年级第一学期期中考试
数学试卷
温馨提示：
亲爱的同学，你拿到的试卷共八大题，满分150分，时间120分钟．希望你仔细审题，认真作答，遇到困难时请不要轻易放弃，相信你一定会取得好成绩．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.二次函数2(1)2y x =-++图象的顶点所在的象限是（
）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限2.在平面直角坐标系中，将二次函数2(1)3y x =++的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（
）A.2(3)2
y x =++ B.2(1)2y x =-+ C.2(1)4y x =-+ D.2(3)4y x =++3.对于反比例函数5y x =
，下列说法正确的是（）A .图象经过点(2,3)- B.图象位于第一、三象限
C.当0x <时，y 随x 的增大而增大
D.当0x >时，y 随x 的增大而增大
4.二次函数23y x x n =++的图象与x 轴有一个交点在y 轴右侧，则n 的值可以是（
）A.2- B.0 C.2 D.4
5.己知二次函数22y ax bx c =++，若a ，b ，c 满足20a b c -+=，20a b c ++<，则（
）
A.0b >，20
b a
c -≤ B.0b <，20b ac -≤C.0b >，20b ac -≥ D.0b <，20b ac -≥6.如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数k y x
=的图象交于点()()232A B m -，，，，则不等式k ax b x +>的解是（）
A.30x -<<或2x >
B.3x <-或02
x <<
C.20x -<<或2x >
D.30x -<<或3
x >7.一杠杆装置如图．杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F 甲、F 乙、F 丙、F 丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F F F F <<<乙甲丁丙，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（）
A.甲同学
B.乙同学
C.丙同学
D.丁同学
8.如图，抛物线=B 2+B +≠0的对称轴为1x =，与x 轴的一个交点位于()2,0，()3,0两点之间．下列结论：①20a b +=；②0bc <；③13
a c >-；④若1x ，2x 为方程20ax bx c ++=的两个根，则1230x x ⋅-<<．其中正确结论的个数是：（）
A.1
B.2
C.3
D.4
9.如一次函数y ax b =+与反比例函数c y x
=
的图像如图所示，则二次函数2y ax bx c =++的大致图象是（）
A. B. C. D.
10.已知二次函数223y ax ax =-+（其中x 是自变量），当03x <<时对应的函数值y 均为正数，则a 的取值范围为：（
）A.01a << B.1a <-或3
a >
C.30a -<<或0<<3a
D.10a -<<或0<<3
a 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.已知y 是x 的二次函数，下表给出了y 与x 的几对对应值：x
…-2-101234…y …11a 323611…
由此判断，表中=a _______．
12.某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为_______元．
13.如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数3y x =和n y x
=的图象的四个分支上，则n 的值=______．
14.如图，点A ，B 分别在函数()0a y a x
=
>图象的两支上（A 在第一象限），连接AB 交x 轴于点C ．点D ，E 在函数b y x =(0b <，0x <)图象上，AE x 轴，BD y ∥轴，连接DE ，BE ．
（1）若2AC BC =，ABE 的面积为9，则a b -的值为______．
（2）在（1）的条件下，若四边形ABDE 的面积为14，则经过点D 的反比例函数解析式为______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15.已知抛物线24y x x a =-+的顶点在直线41y x =-上，求抛物线的顶点坐标．
16.已知函数2y x bx c =-++（b ，c 为常数）的图象经过点()0,3-，()6,3--．
（1）求b ，c 的值．
（2）当40x -≤≤时，求y 的最大值．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17.已知反比例函数y ＝
2k x -的图象经过点A （3，﹣2）．（1）求k 的值．
（2）点C （x 1，y 1），B （x 2，y 2）均在反比例函数y ＝
2k x -的图象上，若0＜x 1＜x 2，直接写出y 1，y 2的大小关系．
18.如图，一次函数3y x =+的图象与反比例函数k y x
=的图象交于点(),4A m ，与x 轴交于点B ，与y 轴交于点()03C ，．
（1）求反比例函数解析式；
（2）已知P 为反比例函数k y x
=上图象上的一点，2OBP OAC S S =△△，求点P 的坐标．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19.甲船从A 处起以15nmile/h 的速度向正北方向航行，这时乙船从A 的正东方向20nmile 的B 处起以20nmile/h 的速度向西航行，多长时间后，两船的距离最小？最小距离是多少？
20.如图，抛物线26y ax bx =++经过点()2,0A -、()4,0B ，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上的一个动点，设点D 的横坐标为()14m m <<，连接AC 、BC 、BD 、CD ．
（1）请直接写出抛物线的表达式．
（2）求BCD △面积的最大值．
六、（本题满分12分）
21.如图，一次函数2y x =的图象与反比例函数(0)k y x x
=>的图象交于点()4,A n ．将点A 沿x 轴正方向平移m 个单位长度得到点,B D 为x 轴正半轴上的点，点B 的横坐标大于点D 的横坐标，连接,BD BD 的中点C 在反比例函数(0)k y x x
=>的图象上．
（1）求,n k 的值；
（2）当m 为何值时，AB OD ⋅的值最大?最大值是多少?
七、（本题满分12分）
22.如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD 和抛物线AED 构成，其中3m AB =，4m BC =，取BC 中点O ，过点O 作线段BC 的垂直平分线OE 交抛物线AED 于点E ，若以O 点为原点，BC 所在直线为x 轴，OE 为y 轴建立如图所示平面直角坐标系，抛物线AED 的顶点()0,4E ．请回答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT ，SMNR ，若075m FL NR ==．，求两个正方形装置的间距GM 的长．
八、（本题满分14分）
23.如图，抛物线2y x bx c =-++经过()1,0A -，()0,3C 两点，并交x 轴于另一点B ，点M 是抛物线的顶
点，直线AM 与y 轴交于点D ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H 是x 轴上一动点，分别连接MH ，DH ，求MH DH +最小值；
（3）若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q ，使得以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有满足条件的点Q 的坐标，并写出求解点Q 坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年度九年级第一学期期中考试
数学试卷
温馨提示：
亲爱的同学，你拿到的试卷共八大题，满分150分，时间120分钟．希望你仔细审题，认真作答，遇到困难时请不要轻易放弃，相信你一定会取得好成绩．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.二次函数2(1)2y x =-++图象的顶点所在的象限是（
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限【答案】B
【解析】
【详解】根据抛物线2(1)2y x =-++，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限．解：2(1)2y x =-++ ，∴顶点坐标为()
1,2-，∴顶点在第二象限．
故选：B ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
2.在平面直角坐标系中，将二次函数2(1)3y x =++的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（
）A.2(3)2
y x =++ B.2(1)2y x =-+ C.2(1)4y x =-+ D.2(3)4y x =++【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．
【详解】解：由二次函数2(1)3y x =++的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为2(1)2y x =-+；
故选B ．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．3.对于反比例函数5y x =，下列说法正确的是（）
A.图象经过点(2,3)
- B.图象位于第一、三象限C.当0x <时，y 随x 的增大而增大
D.当0x >时，y 随x 的增大而增大
【答案】B
【解析】【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：()2365k ⨯-=-≠= ，点()2,3-不满足关系式，因此A 选项不符合题意；
50k => ；
∴它的图象在第一、三象限，因此B 选项符合题意；
∴当0x <时，它的图象在第三象限，y 随x 的增大而增小，因此C 选项不符合题意；
∴当0x >时，它的图象在第一象限，y 随x 的增大而增小，因此D 选项不符合题意．
故选：B ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4.二次函数23y x x n =++的图象与x 轴有一个交点在y 轴右侧，则n 的值可以是（
）A.2
- B.0 C.2 D.4
【答案】A
【解析】
【分析】根据根与系数的关系可得：123x x +=-，12x n x ⋅=，二次函数23y x x n =++的图象与x 轴有一个交点在y 轴右侧，可得1x ，2x 为异号，从而可求解．
【详解】解：设二次函数23y x x n =++的图象与x 轴交点的横坐标为1x 、2x ，
即一元二次方程230x x n ++=的根为1x 、2x ，
由根与系数的关系得：123x x +=-，12x n x ⋅=，
二次函数23y x x n =++的图象与x 轴有一个交点在y 轴右侧，1x ∴，2x 为异号，
0n ∴<，
故选A ．
【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用．
5.己知二次函数22y ax bx c =++，若a ，b ，c 满足20a b c -+=，20a b c ++<，则（）
A.0b >，20
b a
c -≤ B.0b <，20b ac -≤C.0b >，20
b a
c -≥ D.0b <，20
b a
c -≥【答案】D
【解析】【分析】根据等式性质得到2a c b +=，进而利用不等式的性质可判断0b <；再根据二次函数的性质可判断其图象与x 轴有交点，利用0∆≥判断求解即可．
【详解】解：∵20a b c -+=，
∴2a c b +=，
∵20
a b c ++<∴40b <，则0b <；
∵当=1x -时，20a b y c -=+=，
∴二次函数22y ax bx c =++的图象与x 轴有交点，
∴()2224440b ac b ac ∆=-=-≥，则20b ac -≥，
故选：D ．
【点睛】本题考查等式的性质、不等式的性质、二次函数的图象与x 轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与x 轴的交点问题是解答的关键．
6.如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数k y x
=的图象交于点()()232A B m -，，，，则不等式k ax b x +>的解是（）
A.30x -<<或2
x > B.3x <-或02x <<C.20x -<<或2
x > D.30x -<<或3
x >【答案】A
【解析】【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B 的坐标，然后直接利用图象法求解即可．
【详解】解：∵()23A ，
在反比例函数图象上，∴326k =⨯=，∴反比例函数解析式为6y x
=，∵()2B m -，
在反比例函数图象上，∴632
m ==--，∴()32B --，
，由题意得关于x 的不等式k ax b x +>
的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，∴关于x 的不等式k ax b x
+>
的解集为30x -<<或2x >，故选：A ．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题的关键是正确求出点B 的坐标．
7.一杠杆装置如图．杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F 甲、F 乙、F 丙、F 丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F F F F <<<乙甲丁丙，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（）
A.甲同学
B.乙同学
C.丙同学
D.丁同学
【答案】C
【解析】【分析】根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，以及水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值即可判断．
【详解】解：根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂可得，
∵阻力×阻力臂是个定值，即水桶的重力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变，∴动力越小，动力臂越大，即拉力越小，压力的作用点到支点的距离最远，
∵F 丙最小，
∴丙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远．
故选：C
【点睛】本题考查反比例函数的应用，确定水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值是本题关键．
8.如图，抛物线=B 2+B +≠0的对称轴为1x =，与x 轴的一个交点位于()2,0，()3,0两点之间．下列结论：①20a b +=；②0bc <；③13
a c >-；④若1x ，2x 为方程20ax bx c ++=的两个根，则1230x x ⋅-<<．其中正确结论的个数是：（）
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】B
【解析】【分析】由图象得0a <，0c >，由对称轴12b x a
=-=得20b a =->，20a b +=，0bc >；抛物线与x 轴的一个交点位于()2,0，()3,0两点之间，由对称性知另一个交点在(1,0)-，(0,0)之间，得
0y a b c =-+<，于是13
a c <-，进一步推知30c a -<<，由根与系数关系知1230x x -<< ；【详解】解：开口向下，得0a <，与y 轴交于正半轴，0c >，
对称轴12b x a
=-=，20b a =->，20a b +=，故①符合题意；0bc >故②0bc <不符合题意；
抛物线与x 轴的一个交点位于()2,0，()3,0两点之间，对称轴为1x =，
故知另一个交点在(1,0)-，(0,0)之间，
故=1x -时，0
y a b c =-+<∴(2)0a a c --+<，得13a c <-，故③13a c >-不符合题意；
由13a c <-，0a <，0c >知30c a
-<<，∵1x ，2x 为方程20ax bx c ++=的两个根，
∴12c
x x a
= ∴1230x x -<< ，故④符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查二次函数图象性质，一元二次方程根与系数关系，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用特殊点是解题的关键．
9.如一次函数y ax b =+与反比例函数c y x
=
的图像如图所示，则二次函数2y ax bx c =++的大致图象是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a 、b 、c 的正负，再根据抛物线的对称轴为x =-
2b a ，找出二次函数对称轴在y 轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数y 1=ax +c 图象过第一、二、四象限，
∴a ＜0，b ＞0，
∴-2b a
＞0，∴二次函数y 3=ax 2+bx +c 开口向下，二次函数y 3=ax 2+bx +c 对称轴在y 轴右侧；
∵反比例函数y 2=
c x
的图象在第一、三象限，∴c ＞0，
∴与y 轴交点在x 轴上方．
满足上述条件的函数图象只有选项A ．
故选：A ．
【点睛】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a 、b 、c 的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系．
10.已知二次函数223y ax ax =-+（其中x 是自变量），当03x <<时对应的函数值y 均为正数，则a 的取值范围为：（
）A.01
a << B.1a <-或3a >C.30a -<<或0<<3
a D.10a -<<或0<<3a 【答案】D
【解析】【分析】首先根据题意求出对称轴212a x a -=-
=，然后分两种情况：0a >和0a <，分别根据二次函数的性质求解即可．
【详解】∵二次函数223y ax ax =-+，∴对称轴212a x a
-=-
=，当0a >时，
∵当03x <<时对应的函数值y 均为正数，
∴此时抛物线与x 轴没有交点，
∴()22430a a ∆=--⨯<，
∴解得0<<3a ；
当0a <时，
∵当03x <<时对应的函数值y 均为正数，
∴当3x =时，9630y a a =-+≥，
∴解得1a ≥-，
∴10a -<<，
∴综上所述，
当03x <<时对应的函数值y 均为正数，则a 的取值范围为10a -<<或0<<3a ．
故选：D ．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是分两种情况讨论．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.已知y 是x 的二次函数，下表给出了y 与x 的几对对应值：x
…-2-101234…y …11a 323611…
由此判断，表中=a _______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据表格得出二次函数的对称轴为直线1x =，由此即可得．
【详解】解：由表格可知，0x =和2x =时的函数值相等，则二次函数的对称轴为直线0212
x +==，因此，=1x -和3x =的函数值相等，即6a =，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
12.某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为_______元．
【答案】70
【解析】
【分析】设降价x 元，利润为W ，根据题意得出方程，然后求出取最大值时的x 值即可得到售价．
【详解】解：设降价x 元，利润为W ，
由题意得：W=(80-50-x)(200+20x)，
整理得：W=-20x 2+400x+6000=-20(x-10)2+8000，
∴当x=10时，可获得最大利润，
此时每顶头盔的售价为：80-10=70（元），
故答案为：70．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出式子是解题关键．
13.如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数3y x =和n y x
=的图象的四个分支上，则n 的值=______．
【答案】3
-【解析】
【分析】根据正方形和双曲线的中心对称性，AC 、BD 的交点为O ，如图，过点A 作AM x ⊥轴于M ，过点D 作DN y ⊥轴于N ，证明()AAS AMO DNO ≌△△得到AMO DNO S S =△△，利用反比例函数系数k 的几何意义求解即可．
【详解】：根据正方形和双曲线的中心对称性，AC 、BD 的交点为O ，如图，过点A 作AM x ⊥轴于M ，过点D 作DN y ⊥轴于N ，则90AMO DNO ∠=∠=︒，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴90MON AOD ∠=∠=︒，AO OD =，
∴90AOM DON AON ∠=∠=︒-∠，
∴()AAS AMO DNO ≌△△，
∴AMO DNO S S =△△，∵12AMO S n =
△，32DNO S =△，∴1322n =，则3n =±，∵反比例函数n y x
=的图象位于第二、四象限，∴3n =-，
故答案为：3-．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的性质和系数k 的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k 的几何意义是解答的关键．
14.如图，点A ，B 分别在函数()0a y a x
=
>图象的两支上（A 在第一象限），连接AB 交x 轴于点C ．点D ，E 在函数b y x =(0b <，0x <)图象上，AE x 轴，BD y ∥轴，连接DE ，BE ．
（1）若2AC BC =，ABE 的面积为9，则a b -的值为______．
（2）在（1）的条件下，若四边形ABDE 的面积为14，则经过点D 的反比例函数解析式为______．
【答案】
①.12②.3y x =-【解析】
【分析】（1）设,
a A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求,bm a E a m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求A B y AC y BC =-，从而可求2,2a B m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，2,2
b D m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由()192E B AE y y ⋅-=，即可求解；（2）可求5BDE S = ，由()152
E B BD x x -=，即可求解．【详解】（1）解：设,
a A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， AE x ∥轴，b a x m ∴=，解得：bm x a
=，,bm a E a m ⎛⎫∴ ⎪⎝
⎭，2AC BC = ，
2AC BC ∴
=，A B y AC y BC
∴=-，2B
a
m y ∴=-，
解得：2B a y m
=-，2a a x m ∴=-，解得：2x m =-，∴2,2a B m m ⎛⎫--
⎪⎝⎭， BD y ∥轴，
2,2b D m m ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭
，A E
AE x x ∴=-bm m a
=-， ABE 的面积为9，
()192
E B AE y y ∴⋅-=，1922bm a a m a m m ⎛⎫⎛⎫∴-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，解得：12a b -=；
故答案：12．
（2）解： 四边形ABDE 的面积为14，
1495BDE S ∴=-= ，
由（1）得：D B
BD y y =-22b a m m ⎛⎫=-
-- ⎪⎝⎭2a b m -=，()152
E B BD x x ∴-=，12522a b bm m m a -⎛⎫∴⨯⋅+= ⎪⎝⎭
，12
a b -= 解得：3b =-，
3y x
∴=-；故答案：3y x
=-．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，设辅助未知数列出方程是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15.已知抛物线24y x x a =-+的顶点在直线41y x =-上，求抛物线的顶点坐标．
【答案】()
2,7【解析】
【分析】根据抛物线解析式写出顶点坐标，代入直线解析式求出即可．
【详解】解： 抛物线()2
2424y x x a x a =-+=-+-，
∴顶点坐标为()2,4a -，
顶点在直线41y x =-上，47a ∴-=，解得：11a =，
∴顶点坐标为()2,7．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线顶点坐标公式是解题的关键．
16.已知函数2y x bx c =-++（b ，c 为常数）的图象经过点()0,3-，()6,3--．
（1）求b ，c 的值．
（2）当40x -≤≤时，求y 的最大值．
【答案】（1）6b =-，3c =-；
（2）当3x =-时，y 的值最大，最大值为6，
【解析】
【分析】（1）把点()0,3-，()6,3--代入解析式，即可求解；
（2）把解析式化为顶点式()2
26336y x x x =---=-++，可得当3x =-时，y 的值最大，最大值为6．【小问1详解】
解：∵函数2y x bx c =-++（b ，c 为常数）的图象经过点点()0,3-，()6,3--，
∴33663c b c =-⎧⎨--+=-⎩
，
解得：63b c =-⎧⎨=-⎩
；【小问2详解】
由（1）得：函数解析式为()2
26336y x x x =---=-++，∴抛物线开口向下，对称轴为直线3x =-，且当3x =-时，y 的值最大，最大值为6，
∵40x -≤≤，
∴当3x =-时，y 的值最大，最大值为6.
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17.已知反比例函数y ＝
2k x -的图象经过点A （3，﹣2）．（1）求k 的值．
（2）点C （x 1，y 1），B （x 2，y 2）均在反比例函数y ＝
2k x -的图象上，若0＜x 1＜x 2，直接写出y 1，y 2的大小关系．
【答案】（1）8k =；（2）12y y <．
【解析】
【分析】（1）将点A 的坐标代入反比例函数的解析式即可得；
（2）根据反比例函数的增减性即可得．
【详解】解：（1）由题意，将点(3,2)A -代入2k y x -=得：232k -=-，解得8k =；
（2）由（1）得：反比例函数的解析式为6y x
=-，∴在每一象限内，y 随x 的增大而增大，
1122,),((,)C x y B x y 均在反比例函数6y x
=-的图象上，且120x x <<，12y y ∴<．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题关键．
18.如图，一次函数3y x =+的图象与反比例函数k y x
=的图象交于点(),4A m ，与x 轴交于点B ，与y 轴
交于点()03C ，．
（1）求反比例函数解析式；
（2）已知P 为反比例函数k y x
=上图象上的一点，2OBP OAC S S =△△，求点P 的坐标．【答案】（1）4
y x
=（2）点()2,2P 或()
2,2--【解析】
【分析】（1）先把点A 坐标代入一次函数解析式求出m 的值，进而求出点A 的坐标，再把点A 坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可；
（2）先求出3OB =，3OC =，过点A 作AH y ⊥轴于点H ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，如图所示，根据2OBP OAC S S =△△可得
11222OB PD OC AH ⋅=⨯⋅，求出2PD =，则点P 的纵坐标为2或2-，由此即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵把点(),4A m 代入3y x =+，
∴34m +=，解得：1m =，
∴()1,4A ，
点()1,4A 在反比例函数k y x
=的图象上，144k ∴=⨯=，反比例函数的解析式为4y x =
．【小问2详解】
：对于3y x =+，当0y =时，3x =-，
∴()30B -，
，3OB ∴=，
∵()0,3C ，
3
OC ∴=过点A 作AH y ⊥轴于点H ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，如图所示．
∵2OBP OAC S S =△△，
11222OB PD OC AH ∴⋅=⨯⋅．11323122
PD ∴⨯⨯=⨯⨯⨯，解得2PD =．
∴点P 的纵坐标为2或2-．
将2y =代入4y x
=得2x =，将2y =-代入4y x =
得2x =-，∴点()2,2P 或()2,2--．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19.甲船从A 处起以15nmile/h 的速度向正北方向航行，这时乙船从A 的正东方向20nmile 的B 处起以20nmile/h 的速度向西航行，多长时间后，两船的距离最小？最小距离是多少？
【答案】0.64h 后，两船的距离最小，最小距离是12nmile ．
【解析】
【分析】可设x 小时后，两船相距y nmile ，写出y 2于x 的二次函数关系式，再把关系式配方可得到多长时间后，两船的距离最小；并求出最小距离即可．
【详解】解：根据题意画出示意图如下：
设x 小时后，两船相距y nmile ，根据题意，得：
y 2＝（15x ）2＋（20−20x ）2
＝225x 2＋400−800x ＋400x 2
＝（25x −16）2＋144
∴当x ＝1625
=0.64h 时，y 2有最小值144，则y 的最小值为12，答：0.64h 后，两船的距离最小，最小距离是12nmile ．
【点睛】本题考查了二次函数在行程问题中的应用及勾股定理在实际问题中的应用，根据题意正确地列出函数关系式并配方是解题的关键．
20.如图，抛物线26y ax bx =++经过点()2,0A -、()4,0B ，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上的一个动点，设点D 的横坐标为()14m m <<，连接AC 、BC 、BD 、CD ．
（1）请直接写出抛物线的表达式．
（2）求BCD △面积的最大值．
【答案】（1）233642
y x x =-
++（2）6
【解析】
【分析】（1）设抛物线的表达式为()()12y a x x x x =--，结合点()2,0A -、()4,0B 即可求解；
（2）如图，过点D 作y 轴的平行线交BC 于点H ，直线BC 的表达式为362
y x =-
+，设点236,342m m D m 骣琪-琪桫++，则点3,62H m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，设BCD △面积为S ，结合213622
HDC DHB s S S HD OB m m =+=⨯⨯=-+ ，即可求解．【小问1详解】
解：设抛物线的表达式为()()12y a x x x x =--，
∵点()2,0A -、()4,0B ，
∴()()
24y a x x =+-()
228a x x =--228ax ax a =--，故86a -=，解得34
a =-，故抛物线的表达式为233642y x x =-
++；【小问2详解】由抛物线的表达式233642
y x x =-
++知，当0x =时，6y =，∴点()0,6C ，如图，过点D 作y 轴的平行线交BC 于点H ，
设直线BC 的表达式为y kx b =+，点()0,6C ，点()4,0B ，
则604b k b =⎧⎨=+⎩，解得326
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故直线BC 的表达式为362
y x =-+，设点236,342m m D m 骣琪-琪桫++，则点3,62H m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，则设BCD △面积为S ，
则HDC DHB
S S S =+△△12
HD OB =⨯⨯213336642422m m m ⎛⎫=⨯-+++-⨯ ⎪⎝⎭
2362m m =-+，∵302
-<，则S 有最大值，当62322m =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
时，S 的最大值为6．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
六、（本题满分12分）
21.如图，一次函数2y x =的图象与反比例函数(0)k y x x
=>的图象交于点()4,A n ．将点A 沿x 轴正方向平移m 个单位长度得到点,B D 为x 轴正半轴上的点，点B 的横坐标大于点D 的横坐标，连接,BD BD 的中点C 在反比例函数(0)k y x x
=>
的图象上．（1）求,n k 的值；
（2）当m 为何值时，AB OD ⋅的值最大?最大值是多少?
【答案】（1）8n =，32
k =（2）当6m =时，AB OD ⋅取得最大值，最大值为36
【解析】
【分析】（1）把点()4,A n 代入2y x =，得出8n =，把点()4,8A 代入(0)k y x x
=>，即可求得32k =；（2）过点C 作x 轴的垂线，分别交,AB x 轴于点,E F ，证明ECB FCD △≌△，得出,BE DF CE CF ==，进而可得(8),4C ，根据平移的性质得出,(48)B m +，(12),0D m -，进而表示出AB OD ⋅，根据二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：把点()4,A n 代入2y x =，
∴24n =⨯，
解得：8n =；
把点()4,8A 代入(0)k y x x
=
>，解得32k =；【小问2详解】
∵点B 横坐标大于点D 的横坐标，
∴点B 在点D 的右侧，
如图所示，过点C 作x 轴的垂线，分别交,AB x 轴于点,E F
，∵AB DF ∥，
∴B CDF ∠=∠，
在ECB 和FCD 中，
BCE DCF BC CD B CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，∴()ASA ECB FCD ≌，
∴,BE DF CE CF ==，
∵8A EF y ==，
∴4CE CF ==，
∴(8),4C ，
∵将点A 沿x 轴正方向平移m 个单位长度得到点B ，
∴,(48)B m +，
∴4BE DF m ==-，
∴(12),0D m -，
∴12OD m =-，
∴()()2
12636AB OD m m m ⋅=-=--+，
∴当6m =时，AB OD ⋅取得最大值，最大值为36．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．七、（本题满分12分）
22.如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD 和抛物线AED 构成，其中3m AB =，4m BC =，取BC 中点O ，过点O 作线段BC 的垂直平分线OE 交抛物线AED 于点E ，若以O 点为原点，BC 所在直线为x 轴，OE 为y 轴建立如图所示平面直角坐标系，抛物线AED 的顶点()0,4E ．请回答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT ，SMNR ，若075m FL NR ==．，求两个正方形装置的间距GM 的长．
【答案】（1）2144
y x =-
+（2）1m 2【解析】
【分析】（1）先根据坐标与图形性质求得点A 、D 、E 的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）设G 、L 坐标，根据坐标与图形性质列方程求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，()2,0B -，()2,0C ，()2,3A -，()2,3D ，
设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，
将()2,3A -、()2,3D 、()0,4E 代入，
得4234234a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得1404a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩
，∴抛物线的解析式为2144y x =-
+；【小问2详解】
解：根据题意，设(),3G t -，则()0.75,3F t --，()0.75,3.75L t --，
将L 坐标代入2144y x =-
+中，得()213.750.7544
t =---+，解得14t =或74t =-（舍去），∴()112m 42GM =⨯=，答：两个正方形装置的间距GM 的长为1m 2
．【点睛】本题考查二次函数的综合应用、正方形的性质，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形性质是解答的关键．
八、（本题满分14分）
23.如图，抛物线2y x bx c =-++经过()1,0A -，()0,3C 两点，并交x 轴于另一点B ，点M 是抛物线的顶
点，直线AM 与y 轴交于点D ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H 是x 轴上一动点，分别连接MH ，DH ，求MH DH +最小值；
（3）若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q ，使得以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有满足条件的点Q 的坐标，并写出求解点Q 坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）223
y x x =-++
（2（3）()1,3或()1,1或()
1,5【解析】
【分析】（1）利用待定系数求解即可；
（2）先利用待定系数法求直线AM 的表达式，进而求得点D 坐标，作点D 关于x 轴的对称点D ¢，连接D M '交x 轴于H '，则D M '的长即为MH DH +最小值，利用两点坐标公式求解即可；
（3）设()
223m m P m -++，，()1,Q n ，分三种情况：当DM 、PQ 为对角线时；当DP 、MQ 为对角线时；当DQ 、PM 为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式列方程组求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线2y x bx c =-++经过()1,0A -，()0,3C 两点，
∴103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩
，∴该抛物线的表达式为223y x x =-++；
【小问2详解】
解：由()2
22314y x x x =-++=--+得顶点坐标()1,4M ，设直线AM 的表达式为y kx s =+，
将点()1,0A -、()1,4M 代入，得04k s k s -+=⎧⎨+=⎩，解得22k s =⎧⎨=⎩
，∴直线AM 的表达式为22y x =+，
当0x =时，2y =，则()0,2D ,
作点D 关于x 轴的对称点D ¢，连接D M '交x 轴于H '，连接D H '，如图，
则()0,2D '-，D H DH '=，
∴MH DH MH D H D M ''+=+≥（当D ¢、H 、M 共线时取等号），
则D M '的长为MH DH +最小值，
∵D M '==，
∴MH DH +；
【小问3详解】
解：对称轴上存在点Q ，使得以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形．
由题意，设()
223m m P m -++，
，由()222314y x x x =-++=--+知抛物线的对称轴为1x =，
故设()1,Q n ，分三种情况：
当DM 、PQ 为对角线时，DM 、PQ 的中点重合，
∴20112423m m m n +=+⎧⎨+=-+++⎩，解得03m n =⎧⎨=⎩
，∴()1,3Q ；
当DP 、MQ 为对角线时，DP 、MQ 的中点重合，
∴()
20112234m m m n +=+⎧⎪⎨+-++=+⎪⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩，∴()1,1Q ；
当DQ 、PM 为对角线时，DQ 、PM 的中点重合，
∴20112423m n m m +=+⎧⎨+=-++⎩，解得05m n =⎧⎨=⎩
，∴()1,5Q ，
综上，满足题意的点Q 坐标为()1,3或()1,1或()1,5．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，坐标与图形，轴对称的性质，两点坐标距离公式，平行四边形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，运用分类讨论思想是解题的关键．。